学年北师大版必修2直线圆的位置关系学案word版.docx
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学年北师大版必修2直线圆的位置关系学案word版
4.2
4.2.1 直线与圆的位置关系
预习课本P126~128,思考并完成以下问题
1.直线与圆的位置关系有哪几种?
2.过圆外一点和圆上一点的切线的方程应分别怎样求?
3.直线被圆所截得的弦长公式是什么?
弦长公式是怎样推导出来的?
1.直线与圆有三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
判断方法
几何法:
设圆心到直线的距离d=
d<r
d=r
d>r
代数法:
由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ=0
Δ<0
[点睛] 判断直线与圆的位置关系,一般常用几何法,因为代数法计算繁琐,书写量大,易出错,几何法则较简洁,但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时,常用代数法.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.( )
(2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交.( )
答案:
(1)√
(2)√
2.设直线l过点P(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是( )
A.±1 B.±
C.±D.±
解析:
选C 设l:
y=k(x+2),即kx-y+2k=0.
又l与圆相切,∴=1.∴k=±.
3.直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.
解析:
圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25.故圆心为(3,4),半径r=5.又直线方程为2x-y+3=0,所以圆心到直线的距离为d==,所以弦长为2=2×=2=4.
答案:
4
直线与圆位置关系的判断
[典例]
(1)已知直线l:
x-2y+5=0与圆C:
(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
[解] [法一 代数法]
由方程组
消去y后整理,得5x2-50x+61=0.
∵Δ=(-50)2-4×5×61=1280>0,
∴该方程组有两组不同的实数解,
即直线l与圆C相交.
[法二 几何法]
圆心(7,1)到直线l的距离为d==2.∵d<r=6,∴直线l与圆C相交.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:
利用d与r的关系.
(2)代数法:
联立方程之后利用Δ判断.
上述方法中最常用的是几何法.
[活学活用]
1.直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相离
C.相交或相切D.相切
解析:
选C 直线x-ky+1=0恒过定点(-1,0),而(-1,0)在圆上,故直线与圆相切或相交.
2.设m>0,则直线l:
(x+y)+1+m=0与圆O:
x2+y2=m的位置关系为( )
A.相切 B.相交
C.相切或相离D.相交或相切
解析:
选C 圆心到直线l的距离为d=,圆的半径为r=,∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴d≥r,故直线l和圆O相切或相离.
切线问题
[典例]
(1)若圆C:
x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A.2 B.3
C.4D.6
(2)过点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程为________.
[解析]
(1)因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理,即l2=d2-r2,所以切线长最短时该点到圆心的距离最小,转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意易知圆心C(-1,2),半径长r=,点(a,b)在直线y=x-3上,所以点(a,b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y=x-3的距离d,易求d==3,所以切线长的最小值为==4.
(2)∵(-1-2)2+(4-3)2=10>1,
∴点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时,l的方程是x=-1,不满足题意.
设直线l的斜率为k,则切线l的方程为y-4=k(x+1),
即kx-y+4+k=0.
圆心(2,3)到切线l的距离为=1,
解得k=0或k=-,
因此,所求直线l的方程y=4或3x+4y-13=0.
[答案]
(1)C
(2)y=4或3x+4y-13=0
(1)过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.
(2)过圆外一点(x0,y0)的切线方程的求法
设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.
(3)求切线长最小值的两种方法
①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值;
②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
[活学活用]
1.圆x2+y2=4在点P(,-1)处的切线方程为( )
A.x+y-2=0B.x+y-4=0
C.x-y-4=0D.x-y+2=0
解析:
选C ∵()2+(-1)2=4,∴点P在圆上.
∵切点与圆心连线的斜率为-,∴切线的斜率为,
∴切线方程为y+1=(x-),即x-y-4=0.
2.点P是直线2x+y+10=0上的动点,PA,PB与圆x2+y2=4分别相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为________.
解析:
如图所示,因为S四边形PAOB=2S△POA.又OA⊥AP,
所以S四边形PAOB=2×|OA|·|PA|
=2=2.
为使四边形PAOB面积最小,当且仅当|OP|达到最小,即为点O到直线2x+y+10=0的距离:
|OP|min==2.
故所求最小值为2=8.
答案:
8
弦长问题
[典例] 如果一条直线经过点M且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.
[解] 圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l=8,于是弦心距d===3.
因为圆心O(0,0)到直线x=-3的距离恰为3,所以直线x=-3是符合题意的一条直线.设直线y+=k(x+3)也符合题意,即圆心到直线kx-y+=0的距离等于3,于是=3,解得k=-.
故直线的方程为3x+4y+15=0.
综上可知,满足题意的直线有两条,对应的方程分别为x=-3和3x+4y+15=0.
求弦长的两种方法
涉及直线被圆截得的弦长问题时,解法有以下两种:
(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,所以利用勾股定理d2+2=r2求解,这是常用解法.
(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐,一般不用.
[活学活用]
1.在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________.
解析:
因为圆心(2,-1)到直线x+2y-3=0的距离d==,所以直线x+2y-3=0被圆截得的弦长为2=.
答案:
2.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________.
解析:
设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,
|CA|==.
∴半弦长===.
∴最短弦的长为2.
答案:
2
层级一 学业水平达标
1.直线3x+4y+12=0与圆C:
(x-1)2+(y-1)2=9的位置关系是( )
A.相交并且直线过圆心 B.相交但直线不过圆心
C.相切D.相离
解析:
选D 圆心C(1,1)到直线的距离d==,圆C的半径r=3,则d>r,所以直线与圆相离.
2.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于( )
A.B.
C.1D.5
解析:
选A 圆的方程可化为(x-2)2+(y+2)2=2,则圆的半径r=,圆心到直线的距离d==,所以直线被圆截得的弦长为2=2=.
3.以点(2,-1)为圆心,且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x+2)2+(y-1)2=9D.(x-2)2+(y+1)2=9
解析:
选D 圆心到直线3x-4y+5=0的距离d==3,即圆的半径为3,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.
4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.0或4B.0或3
C.-2或6D.-1或
解析:
选A 由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离d==.又d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.故选A.
5.若a2+b2=2c2(c≠0),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )
A.B.1
C.D.
解析:
选D 圆心到直线的距离d==,设弦长为l,圆的半径为r,则2+d2=r2,即l=2=.
6.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.
解析:
根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程,解方程求a.
圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以2+12=22,
解得a=4±.
答案:
4±
7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为____________________.
解析:
令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0).因为直线x+y+3=0与圆相切,
所以圆心到直线的距离等于半径,
即r==,
所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
答案:
(x+1)2+y2=2
8.点M,N在圆x2+y2+kx+2y+4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的半径是________.
解析:
由题知,直线x-y+1=0过圆心,
即-+1+1=0,∴k=4.
∴r==1.
答案:
1
9.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2,求此圆的方程.
解:
因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,
故设圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2,
则有2+()2=9b2,
解得b=±1,故所求圆的方程为
(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
10.设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,求圆的方程.
解:
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心为(a,b),半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上
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