九年级数学似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化沪教版.docx
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九年级数学似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化沪教版.docx
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九年级数学似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化沪教版
相似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化
一、一周知识概述
(一)相似三角形的性质
1、相似三角形的性质
(1):
相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
其符号语言:
如图
①∵△ABC∽△A′B′C′,AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,
②∵△ABC∽△A′B′C′,BF=CF,B′F′=C′F′,
③∵△ABC∽△A′B′C′,∠BAE=∠CAE,∠B′A′E′=∠C′A′E′,
温馨提示:
三角形的高、中线、角平分线是三角形的重要线段,在涉及以上线段的证明或计算时,要注意运用相似三角形的性质定理
(1).
2、相似三角形的性质
(2):
相似三角形的周长的比等于相似比.
如图,其符号语言:
温馨提示:
性质定理
(1)与
(2)可简记为:
相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比.
3、相似三角形的性质(3):
相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
(二)出入相补原理与测量
如:
如图,P是矩形ABCD的对角线BD上任意一点,过点P分别作两组对边的平行线RR1、QQ1,则有
.
由于面积割补相当于面积的增减,“出”意味着减少,“入”意味着增加.所以上面的方法称为相补原理.
二、重点难点疑点突破
相似三角形的面积与相似比问题
如图,△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k,AD、A′D′分别是对应高.
∵△ABC∽△A′B′C′,
由此得出相似三角形面积的比等于相似比的平方.
学习时要注意:
①相似三角形面积的比等于相似比的平方,即
这一结果在解决有关相似三角形面积问题时,可以直接应用;
②“等高的三角形面积比等于底的比”、“等底的三角形面积比等于高的比”,这一结论不要与“相似三角形面积的比等于相似比的平方”混淆;
③利用相似三角形的性质解题时,应首先想到由相似三角形的定义得到的基本性质;对应角相等,对应边成比例;
④要注意综合运用相似三角形的判定与性质等进行解题.
三、解题方法技巧点拨
1、相似三角形的对应线段与相似比
例1、如图所示,D是BC上一点,△ABC∽△DBA,E,F分别是AC,AD的中点,且AB=28,BC=36,求BE:
BF.
解析:
BE,BF分别是△ABC,△ABD中AC,AD边上的中线,而AC,AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边,因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答.
因为△ABC∽△DBA,且BC=36,AB=28,所以相似比
.
又因为BE,BF分别是△ABC,△ABD中AC,AD边上的中线,
.
点拨:
利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时,注意把相似三角形的对应元素确定准确.
例2、如图,一人拿着一支刻有厘米分划的小尺,他站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约有12个分划恰好遮住电线杆,已知臂长约60cm,求电线杆的高.
分析:
在图上标出字母,题设中“30米”是点A到电线杆BC的距离;臂长AN=60cm=0.6m,是点A到竖直小尺DE的距离,故可用相似三角形的性质
(1)列方程解之.
解:
作AM⊥BC于M,交DE于N.设电线杆高BC=x米,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
.解得x=6(米).
答:
电线杆的高约6米.
点拨:
本题根据相似三角形的性质定理
(1)——相似三角形对应高的比等于相似比,得出比例式,列出方程求解.
2、相似三角形的周长与相似比
例3、如果两个相似三角形的对应边的比为4:
5,它们的周长和为72cm,求这两个三角形的周长.
分析:
利用相似三角形的性质定理
(2).
设周长较小的三角形周长为xcm,则周长较大的三角形周长为(72-x)cm.由
.解得x=32,72-x=40,即两个三角形的周长分别是32cm、40cm.
点拨:
根据相似三角形的性质得到比例式(等量关系),列出方程或方程组求解的方法,是解决几何计算问题的常用方法,本题也可设这两个三角形的周长为4xcm、5xcm,列方程求解.
3、相似三角形的面积与相似比
例4、如图,△ABC中,DE∥BC,BE和CD相交于点F,且S△EFC=3S△EFD.求S△ADE:
S△ABC.
分析:
图中DE∥BC,构成“A型”与“X型”两种“平行线型”相似三角形.求S△ADE:
S△ABC,只要求出DE:
BC即可.
点拨:
本题综合运用了“等高的三角形面积比等于底之比”,三角形一边平行线的性质、预备定理及相似三角形的性质定理(3)等定理.
例5、已知如图,在梯形ABCD中,AB=5,CD=2,对角线AC、BD交于点O,求△COD、△AOD、△AOB与△BOC的面积比.
解析:
△COD与△AOB是相似三角形,可利用面积比等于相似比的平方.而△AOD与△COD是等高不同底的三角形,其面积比等于它们底的比.
解:
∵CD∥AB
∴△AOB∽△COD
∴S△COD:
S△AOB=CD2:
AB2=4:
25
又∵CO:
OA=CD:
AB=2:
5
∴S△COD:
S△AOD=2:
5=4:
10
∵DO:
OB=CD:
AB=2:
5
∴S△COD:
S△BOC=2:
5=4:
10
∴S△COD:
S△AOD:
S△AOB:
S△BOC=4:
10:
25:
10
点拨:
注意:
(1)不是相似三角形的面积比不能乱用相似比的平方.
(2)将S△COD:
S△AOD的比2:
5化为4:
10,目的是与前面的比统一.
4、出入相补原理问题
例6、为了测量操场中的旗杆有多高,用一根标杆PQ试插在适当的地方,使点Q在AD上,且使标杆PQ的顶端P的影子恰好和旗杆顶端B的影子D相重合.设标杆PQ=2米,旗杆的影长AD=a米,PQ的影长DQ=b米,求旗杆AB的长.
分析:
如果把旗杆AB和它的影子AD当作一个矩形的两边,那么光线BD就是矩形的一条对角线,于是已满足使用出入相补原理的条件.
解法一:
如图,作辅助矩形ABCD,过点P分别作矩形两边的平行线,设旗杆AB=x,据出入相补原理,有
5、相似三角形性质的综合应用
例7、(2006年浙江省)如示意图,小华家(点A处)和公路(l)之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌(DE).广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区内的那段公路记为BC.一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离(精确到1m).
分析:
本题是一道与相似三角形有关的实际问题.首先根据已知条件画出图形,作出A到公路L的距离AF,由已知得DE∥BC,进而得到△ADE∽△ABC,易求BC的长,再根据相似三角形的对应高的比等于相似比,可求出小华家到公路的距离AF.
解:
画射线AD,AE,分别交l于点B,C.
过点A作AF⊥BC,垂足为点F,AF交DE于点H.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠DAE=∠BAC.
∴△ADE∽△ABC.
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质,可得
.
由题意,得DE=35,HF=40,
.
解法1:
设AF=x,则AG=x-40,所以
.
例8、如图,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,QM在BC边上.若BC=a,高AD=h,且PN=2PQ,求矩形PQMN的周长.
分析:
求矩形PQMN的周长,只要求出PQ即可,这由相似三角形性质定理
(1)易求.
解:
设PQ=x,则PN=2x,设高AD与PN相交于点E,
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC.
点拨:
本题是教材例题的变形.在用相似三角形的性质解答时,一定要先由题设证明两个三角形相似.在解由比例式得出的含有字母系数的方程时,要认真、细心.
例9、如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,CE是∠BCD的平分线,CE⊥AD,DE=2AE,CE将梯形分成面积为S1和S2两部分,若S1=1,求S2.
解析:
利用“角平垂,等腰归”的思想,将图形补全为一等腰三角形.又由AB∥CD,想到补出的小三角形与等腰三角形相似,故可利用相似三角形面积的比等于相似比的平方来解.
延长CB,DA相交于F,设△ABF的面积为S3.
由∠1=∠2,且CE⊥AD,得△FCD是等腰三角形,
且DE=EF,又由DE=2AE,得AE=AF.
由AB∥DC,得△ABF∽△DCF,得
点评:
根据题目和图形的特征恰当地对图形进行割补,构造两个相似三角形是解决此类问题的关键.
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