等腰三角形典型例题练习.docx
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等腰三角形典型例题练习
等腰三角形典型例题练习
一.选择题(共2小题)
1.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )
A.
5cm
B.
3cm
C.
2cm
D.
不能确定
2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:
①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
二.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 _________ .
三.解答题
4.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.
5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.
6.>已知:
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?
并说明理由.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
(1)∠E等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?
为什么?
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:
AB=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证:
BD=2CE.
11.已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
12.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系?
试证明你的结论.
(2)求∠BFD的度数.
13.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,
求证:
AE=CF.
14.已知:
如图,在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,在△EOF中,∠EOF=90°,OE=OF,连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?
请说明理由.
参考答案
一.选择题(共2小题)
1.
解:
∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C.
2.
解:
∵△ACD和△BCE是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=60°,AC=DC,EC=BC,
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB,即∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,故①正确;
∴∠EAC=∠NDC,∵∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCE=60°,∴∠ACD=∠MCN=60°,
∵AC=DC,∴△ACM≌△DCN(ASA),∴CM=CN,故②正确;
又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴△CMN是等边三角形,∴∠NMC=∠ACD=60°,∴MN∥AB,故③正确.故选D.
二.填空题(共1小题)
3.
解:
∵△ABC是正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°,
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°,
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°,∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,
,
∴△DEF是正三角形,∴BD:
DF=1:
①,BD:
AB=1:
3②,△DEF∽△ABC,
①÷②,
=
,∴DF:
AB=1:
,∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:
3.
故答案为:
1:
3.
三.解答题(共15小题)
4.
证明:
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,
即∠EMD=∠FND=90°,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN(角平分线性质),∠DME=∠DNF=90°,
∵∠EAF+∠EDF=180°,∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°,
∵∠AFD+∠NFD=180°,∴∠MED=∠NFD,
在△EMD和△FND中
,∴△EMD≌△FND,∴DE=DF.
5.
解:
∵在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,
∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,
∴DB=DO,OE=EC,∵DE=DO+OE,∴DE=BD+EC.
6.解
△ABC是等腰三角形.
证明:
连接AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,且DE=DF,
∵D是△ABC的BC边上的中点,∴BD=DC,
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴∠EBD=∠FCD,∴△ABC是等腰三角形.
7.
解:
(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,
∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴
,
(2)∵△ABC是等边三角形,BD⊥AC,∴∠ABC=60°,∴
,
∵∠E=30°,∴∠DBC=∠E,∴△DBE是等腰三角形.
8.
解:
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°.
又∵CD⊥AB,∴∠DCB=30°,∴BC=2BD.∴AB=2BC=4BD.
9.
证明:
过D点作DG∥AE交BC于G点,如图,
∴∠1=∠2,∠4=∠3,
∵AB=AC,∴∠B=∠2,∴∠B=∠1,∴DB=DG,而BD=CE,∴DG=CE,
在△DFG和△EFC中
,∴△DFG≌△EFC,∴DF=EF.
10.
证明:
如图,分别延长CE,BA交于一点F.
∵BE⊥EC,∴∠FEB=∠CEB=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠FBE=∠CBE,
又∵BE=BE,∴△BFE≌△BCE(ASA).∴FE=CE.∴CF=2CE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∠ABD+∠ADB=90°,∠ADB=∠EDC,∴∠ABD+∠EDC=90°.
又∵∠DEC=90°,∠EDC+∠ECD=90°,∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.
∴△ADB≌△AFC.∴FC=DB,∴BD=2EC.
11.:
解:
∠F=∠MCD,
理由是:
∵AF平分∠BAC,BC⊥AF,∴∠CAE=∠BAE,∠AEC=∠AEB=90°,
在△ACE和△ABE中
∵
,∴△ACE≌△ABE(ASA)∴AB=AC,
∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线,∴CM=BM,CE=BE,∴∠CMA=∠BMA,
∵AE=ED,CE⊥AD,∴AC=CD,∴∠CAD=∠CDA,
∵∠BAC=2∠MPC,又∵∠BAC=2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD,∴∠MPC=∠CDA,∴∠MPF=∠CDM,
∴∠MPF=∠CDM(等角的补角相等),
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°,∠F+∠MPF+∠PMF=180°,
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD,∴∠MCD=∠F.
12.
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,
∴△ABE≌△CAD∴AD=BE.
(2)解:
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
又∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
13.
证明:
∵∠ABC=90°,∴∠ABE=∠CBF=90°,
又∵AB=BC,BE=BF,∴△ABE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.
14.
解:
AE与BF相等且垂直,
理由:
在△AEO与△BFO中,
∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形,∴AO=OB,OE=OF,∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF,
∴△AEO≌△BFO,∴AE=BF.
延长BF交AE于D,交OA于C,则∠ACD=∠BCO,
由
(1)知∠OAE=∠OBF,∴∠BDA=∠AOB=90°,∴AE⊥BF.
四边形典型题及答案
1..如图,△ABD,△BCE,△ACF均为等边三角形,请回答下列问题,其中
(2),(3),(4)小题不用说明理由:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
请说明理由.
(2)当△ABC满足 条件时,四边形ADEF是菱形?
(3)当△ABC满足 条件时,四边形ADEF是矩形?
(4)当△ABC满足 条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?
考点:
等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定.
分析:
(1)四边形ADEF平行四边形.根据△ABD,△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC,然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形.
(2)若边形ADEF是矩形,则∠DAE=90°,然后根据已知可以得到∠BAC=150°.
(3)当∠BAC=60°时,∠DAF=180°,此时D、A、F三点在同一条直线上,以A,D,E,F为顶点的四边形就不存在.
解答:
解:
(1)∵△ABD,△BCE为等边三角形
∴∠DBA=∠EBC=60°,BD=AB,BE=BC
∴∠ABC+∠EBA=∠DBE+∠EBA=60°∴∠ABC=∠DBE∴△ABC≌△DBE∴DE=AC同理:
EF=AB∵AB=AD,AC=AF∴EF=AD,DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形
(2)∵四边形ADEF是菱形,∴AD=AF.∵△ABD,△ACF均为等边三角形,∴AB=AD,AC=AF.∴AB=AC时,四边形ADEF是矩形.
(3)∵四边形ADEF是矩形,
∴∠FAD=90°.∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°.∴∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
(4)当∠BAC=60°时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.故答案为:
(2)AB=AC(3)∠BAC=150°(4)∠BAC=60°
2.如图,在△ABC中,D为BC边的中点,∠BDF=∠C,∠BFD=∠DEC.
(1)试判断四边形AFDE的形状,并说明理由;
(2)如果要使四边形AFDE成为菱形,试写出△ABC需添加的条件(写出一个);
(3)如果要使四边形AFDE成为矩形,试写出△ABC需添加的条件(写出一个).
(4)请选择
(2)、(3)中的一个结论进行证明.
解答:
(1)解:
四边形AFDE是平行四边形.
理由是:
∵∠BDF=∠C,
∴DF∥AC,
在△BDF和△DCE中
∵
,
∴△BDF≌△DCE(AAS),
∴∠B=∠EDC,
∴DE∥AB,
∴四边形AFDE是平行四边形.
(2)解:
AB=AC,
理由是:
∵四边形AFDE是平行四边形,
∴DF=AE,DE=AF,
∵△BDF≌△DCE,
∴DF=CE,DE=BF,
∴AE=EC,AF=FB,
∵AB=AC,
∴AE=AF,
即平行四边形AFDE是菱形.
(3)解∠A=90°,
理由是∵四边形AFDE是平行四边形,∠A=90°,
∴平行四边形AFDE是矩形.
(4)选择
(2).证明AB=AC,
理由是:
∵四边形AFDE是平行四边形,
∴DF=AE,DE=AF,
∵△BDF≌△DCE,
∴DF=CE,DE=BF,
∴AE=EC,AF=FB,
∵AB=AC,
∴AE=AF,即平行四边形AFDE是菱形.
3.(济宁)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下:
请你用上面图示的方法,解答下列问题:
(1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形;
(2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.
解答:
解:
(1)如图所示:
(2)如图所示:
点评:
本题主要考查了对于矩形的理解以及对于图象的认识能力.读懂题意是本题的关键.
4.(贵阳)如图,四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD.顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.
(1)证明:
四边形A1B1C1D1是矩形;
(2)写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积;
(3)写出四边形AnBnCnDn的面积;
(4)求四边形A5B5C5D5的周长.
解答:
(1)证明:
∵点A1,D1分别是AB、AD的中点,
∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1∥BD,A1D1=
BD,同理:
B1C1∥BD,B1C1=
BD∴A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=
BD∴四边形A1B1C1D1是平行四边形.∵AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1,∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°∴四边形A1B1C1D1是矩形;
(2)解:
由三角形的中位线的性质知,B1C1=
BD=4,B1A1=
AC=3,
得:
四边形A1B1C1D1的面积为12;四边形A2B2C2D2的面积为6;
(3)解:
由三角形的中位线的性质可以推得,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,
故四边形AnBnCnDn的面积为
;
(4)解:
方法一:
由
(1)得矩形A1B1C1D1的长为4,宽为3.
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x,则
,
解得
∴
∴矩形A5B5C5D5的周长=
方法二:
矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积
=(矩形A5B5C5D5的周长)2/(矩形A1B1C1D1的周长)2
即
:
12=(矩形A5B5C5D5的周长)2:
142
∴矩形A5B5C5D5的周长=
.
5.(2011•福州)已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:
cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.
解答:
解:
(1)①∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,∵EF垂直平分AC,垂足为O,∴OA=OC,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形,②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8﹣x)cm,在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+(8﹣x)2=x2,解得x=5,∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF,Q在CD时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12﹣4t,∴5t=12﹣4t,解得
,∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,
秒.
②由题意得,四边形APCQ是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12﹣b,得a+b=12;
ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12﹣b=a,得a+b=12;
iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12﹣a=b,得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
6.(2008•潍坊)如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图.求△EFG的面积;
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图.证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
解答:
解:
(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,
∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,
∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°;
∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,
∵∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠HEG=∠AFE,
又∵∠EHG=∠A=90°,
∴△EAF∽△GHE,
∴
,
∴EF=5,
∴S△EFG=
EF•EG=
×5×10=25.
(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,
∴BG=EG,AB=EH,∠BGF=∠EGF,
∵EF∥BG,
∴∠BGF=∠EFG,
∴∠EGF=∠EFG,
∴EF=EG,
∴BG=EF,
∴四边形BGEF为平行四边形,
又∵EF=EG,
∴平行四边形BGEF为菱形;连接BE,BE,FG互相垂直平分,在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6,∴AE=AF+EF=16,∴BE=
=8
,∴BO=4
,∴OG=
=2
,∵四边形BGEF是菱形,∴FG=2OG=4
,答:
折痕GF的长是4
.
点评:
本题利用了:
1、折叠的性质:
折叠是一种对称变换,它属于轴对称变化,对应边和对应角相等.
7.(2011•北京)在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
解答:
(1)证明:
如图1,∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,∴∠CEF=∠F.∴CE=CF.
(2)解:
连接GC、BG,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD为矩形,∵AF平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF=45°,∵∠DCB=90°,DF∥AB,∴∠DFA=45°,∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形,∵G为EF中点,∴EG=CG=FG,CG⊥EF,∵△ABE为等腰直角三角形,AB=DC,∴BE=DC,∵∠CEF=∠GCF=45°,∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中,∵
,∴△BEG≌△DCG,∴BG=DG,∵CG⊥EF,∴∠DGC+∠DGA=90°,又∵∠DGC=∠BGA,∴∠BGE+∠DGE=90°,∴△DGB为等腰直角三角形,∴∠BDG=45°,
(3)解:
延长AB、FG交于H,连接HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF,∴CE=CF,∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,∴BH=GF在△BHD与△GFD中,∵
,∴△BHD≌△GFD,∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
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