北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明测试题带答案.docx
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北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明测试题带答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明
一、单选题
1.如图,若∠B=30°,∠C=90°,AC=20m,则AB=()
A.25mB.30mC.20
mD.40m
2.如图,已知DE∥BC,AB=AC,∠1=55°,则∠C的度数是()
A.55°B.45°C.35°D.65°
3.在△ABC中,其两个内角如下,则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=40°,∠B=50B.∠A=40°,∠B=60°
C.∠A=40°,∠B=70D.∠A=40°,∠B=80°
4.以下各组数为三角形的三条边长,其中是直角三角形的三条边长的是()
A.2,3,4B.4,5,6C.1,
,
D.2,
,4
5.如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,则△ABC≌△DCB的理由是()
A.HLB.ASAC.AASD.SAS
6.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为()
A.60°B.90°C.120°D.150°
7.如图所示,在△ABC中,AC=DC=DB,∠A=40°,则∠B等于()
A.50°B.40°C.25°D.20°
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD=3,则BD的长为()
A.1.5B.3C.6D.9
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为()
A.35°B.45°C.55°D.60°
10.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”,第一步应假设这个三角形中()
A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°
C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°
11.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
12.观察下列命题的逆命题:
①有两边相等的三角形是等腰三角形;②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上;③直角三角形的两个锐角互余;④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D.CD=3,则BC的长为()
A.6B.9C.6
D.3
14.如图,将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形
,转动这个四边形,使它形状改变,当
,
时,
等于()
A.
B.
C.
D.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是()
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;
③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
16.在直角三角形中,其中一个锐角是22°,则另外一个锐角是_____.
17.在直角△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若CD=4,则点D到斜边AB的距离为.
18.如图,某失联客机从A地起飞,飞行1000km到达B地,再折返飞行1000km到达C地后在雷达上消失,已知∠ABC=60°,则失联客机消失时离起飞的位置A地的距离为___km.
19.如图,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰△ABC,连接OC,以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为__________.
20.如图所示,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G,则AD与EF的位置关系是______.
三、解答题
21.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,点P是AD上的一点,且PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E、F,求证:
PE=PF.
22.如图,已知:
△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC边上的点,且BD=CE.求证:
MD=ME.
23.如图,已知AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于E,ED的延长线交CA的延长线于F,△ADF是等腰三角形吗?
请说明理由。
24.已知:
如图,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AB⊥BE,DE⊥BE,垂足分别为B、E,且AC=DF,连接AC、DF.求证:
∠A=∠D.
25.如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O.
(1)求证:
AB=DC;
(2)试判断△OEF的形状,并说明理由.
26.如图,等边△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,E为AD上一点,以BE为一边且在BE下方作等边△BEF,连接CF.
(1)求证:
AE=CF;
(2)求∠ACF的度数.
27.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:
(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)
(1)在图1中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是______度和______度;
(2)在图2中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:
在△ABC中画n条线段,则图中有________个等腰三角形,其中有________个黄金等腰三角形.
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.C
5.A
6.A
7.D
8.C
9.C
10.D
11.B
12.A
13.B
14.B
15.D
16.68°
【解析】
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
【详解】
∵直角三角形一个锐角为22°,
∴另一个锐角的度数=90°-22°=68°.
故答案为:
68°.
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.
17.4
【解析】
作DE⊥AB,则DE即为所求,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,
∴CD=DE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)。
∵CD=4,∴DE=4。
18.1000
【解析】
由题意知,AB=1000km,BC=1000km,
∴AB=AC,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC=1000km,
∴失联客机消失时离起飞地A地的距离为1000km,
故答案为1000.
19.
【解析】
试题分析:
根据题意得,等腰△ABC中,OA=OB=3,由等腰三角形的性质可得OC⊥AB,根据勾股定理可得OC=
,又因OM=OC=
,于是可确定点M对应的数为
.
考点:
勾股定理;实数与数轴.
20.AD⊥EF
【解析】
先利用角平分线的性质求出DE=DF,可证△AED≌△AFD,再利用等腰三角形的三线合一性质分析.
【详解】
∵AD是△ABC是角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF,
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∴△AED≌△AFD(HL)
∴AE=AF,
又AD是△ABC是角平分线,
∴AD垂直平分EF(三线合一)
故答案为:
AD⊥EF.
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质;利用三线合一是正确解答本题的关键.
21.证明见解析
【解析】
试题分析:
在三角形ABC中,根据等腰三角形的三线合一的性质,可得∠BAD=∠CAD,又由角平分线的性质,即可证得PE=PF.
试题解析:
证明:
在三角形ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC于D,∴∠BAD=∠CAD,即∠EAP=∠FAP,∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴PE=PF.
点睛:
此题考查了等腰三角形三线合一的性质与角平分线的性质,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
22.证明见解析.
【解析】
试题分析:
根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM,可证△BDM≌△CEM,可得MD=ME,即可解题.
试题解析:
证明:
△ABC中,∵AB=AC,∴∠DBM=∠ECM.
∵M是BC的中点,∴BM=CM.
在△BDM和△CEM中,∵
,
∴△BDM≌△CEM(SAS).∴MD=ME.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.全等三角形的判定与性质.
23.△ADF是等腰三角形,理由见解析.
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,再根据等角的余角相等得到∠EFC=∠EDB,再由∠EDB=∠ADF,根据等角对等边判定△ADF是等腰三角形.
【详解】
证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角),
∵DE⊥BC于E,
∴∠FEB=∠FEC=90°,
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°,
∴∠EFC=∠EDB(等角的余角相等),
∵∠EDB=∠ADF(对顶角相等),
∴∠EFC=∠ADF,
∴△ADF是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及判定的理解及运用,解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的判定.
24.证明:
∵BF=CE,
∴BF+FC=CE+FC.即BC=EF.
∵AB⊥BE,DE⊥BE,∴∠B=∠E=90°.
又AB=DE,∴△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D.………………5分
【解析】
试题分析:
根据已知利用SAS判定△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应角相等即可得∠A=∠D.
试题解析:
:
证明:
∵BF=CE,
∴BF+FC=CE+FC.即BC=EF.
∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°.
在△ABC与△DEF中,
BC=EF
∠B=∠E
AB=DE
∴△ABC≌△DEF(SAS)
∴∠A=∠D.
考点:
全等三角形的判定及性质.
25.
(1)证明略
(2)等腰三角形,理由略
【解析】
【详解】
证明:
(1)∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
又∵∠A=∠D,∠B=∠C,
∴△ABF≌△DCE(AAS),
∴AB=DC.
(2)△OEF为等腰三角形
理由如下:
∵△ABF≌△DCE,
∴∠AFB=∠DEC.
∴OE=OF.
∴△OEF为等腰三角形.
26.
(1)证明见解析;
(2)∠ACF=90°.
【解析】
【分析】
(1)根据△ABC是等边三角形,得出AB=BC,∠ABE+∠EBC=60°,再根据△BEF是等边三角形,得出EB=BF,∠CBF+∠EBC=60°,从而求出∠ABE=∠CBF,最后根据SAS证出△ABE≌△CBF,即可得出AE=CF;
(2)根据△ABC是等边三角形,AD是∠BAC的角平分线,得出∠BAE=30°,∠ACB=60°,再根据△ABE≌△CBF,得出∠BCF=∠BAE=30°,从而求出∠ACF的度数.
【详解】
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABE+∠EBC=60°.
∵△BEF是等边三角形,
∴EB=BF,∠CBF+∠EBC=60°.
∴∠ABE=∠CBF.
在△ABE和△CBF中,
,
∴△ABE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF;
(2)∵等边△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAE=
∠BAC=30°,∠ACB=60°.
∵△ABE≌△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=30°.
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°.
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定,关键是根据等边三角形的性质得出∠ABE=∠CBF,掌握全等三角形的判定,角平分线的性质等知识点.
27.
(1)108,36;
(2)作图见解析;(3)2n,n.
【解析】
试题分析:
(1)利用等腰三角形的性质以及∠A的度数,进而得出这2个等腰三角形的顶角度数;
(2)利用
(1)种思路进而得出符合题意的图形;
(3)利用当1条直线可得到2个等腰三角形;当2条直线可得到4个等腰三角形;当3条直线可得到6个等腰三角形,进而得出规律求出答案.
试题解析:
(1)如图1所示:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴当AE=BE,则∠A=∠ABE=36°,则∠AEB=108°,
则∠EBC=36°,
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度;
故答案为108,36;
(2)如图2所示:
(3)如图3所示:
当1条直线可得到2个等腰三角形;
当2条直线可得到4个等腰三角形;
当3条直线可得到6个等腰三角形;
…
∴在△ABC中画n条线段,则图中有2n个等腰三角形,其中有n个黄金等腰三角形.
故答案为2n,n.
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