届苏教版空间向量与立体几何单元测试8.docx
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届苏教版空间向量与立体几何单元测试8
1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为
________________________________________________.
2.如下图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则的坐标为__________,的坐标为__________,的坐标为__________.
3.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=________.
4.已知直线l的方向向量u=(2,-1,3),且l经过点A(0,y,3)和B(-1,2,z),则y=________,z=________.
5.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为______.
6.三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC中点,以{,,}为基底,则的坐标为________.
7.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长AB=34,则B点的坐标为________.
8.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=____________.
9.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的________条件.
10.一个向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则p在{a+b,a-b,c}下的坐标为__________.
11.如下图,
在四棱锥PABCD中,点G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F,若=m,=n,=t.求证:
++为定值,并且求出该定值.
12.如下图,
已知四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,且ABCD为正方形,PA=AB=a,点M是PC的中点.
(1)求BP与DM所成的角的大小;
(2)求二面角M—DA—C的大小.
13.空间中的点和平面中的点有何区别?
14.E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中线段A1D,AC上的点,且DE=AF=AC.
求证:
(1)EF∥BD1;
(2)EF⊥A1D.
15.如下图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O,分别以射线OB,OC,AA1的指向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体八个顶点的坐标.
16.如图,已知ABCD是上,下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,
证明:
AC⊥BO1.
17.在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别是D′D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为C′G的中点.
(1)求EF,C′G所成角的余弦值;
(2)求FH的长.
18.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O,O1分别为底面ABCD,底面A1B1C1D1的中心,AB=6,AA1=4,M为B1B的中点,N在C1C上,且C1NNC=1:
3.
(1)若以O为原点,分别以OA,OB,OO1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,求图中各点的坐标;
(2)若以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,求图中各点的坐标.
19.如下图,
在圆锥PO中,已知PO=,⊙的直径AB=2,C是AB的中点,D为AC的中点.
(1)证明:
平面POD⊥平面PAC;
(2)求二面角B-PA-C的余弦值.
20.如下图所示,平行六面体OABC-O′A′B′C′,且=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示向量,.
(2)设G,H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心,用a,b,c表示.
答案解析
1.【答案】
【解析】如下图,
=(+),=,·
=(·+·)
=(cos60°+cos60°)=.
2.【答案】(1,0,0), (1,0,1) ,(-1,1,-1)
【解析】
3.【答案】13
【解析】(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|cos120°=2×4-2×5×(-)=13.
4.【答案】
【解析】=(-1,2-y,z-3),由于l经过A,B两点,所以u∥,故==,解得y=,z=.
5.【答案】60°
【解析】由条件,知·=0,·=0,
=++.
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=62+42+82+2×6×8cos〈,〉=
(2)2.
∴cos〈,〉=-,〈,〉=120°,
∴二面角的大小为60°.
6.【答案】
【解析】=-=(+)-(+)=-,
即=.
7.【答案】(18,17,-17)
【解析】设B(x,y,z),=(x-2,y+1,z-7)
=λ(8,9,-12),λ>0.
故x-2=8λ,y+1=9λ,z-7=-12λ,又(x-2)2+(y+1)2+(z-7)2=342,得(17λ)2=342,∵λ>0,∴λ=2.
∴x=18,y=17,z=-17,即B(18,17,-17).
8.【答案】-a+b-c.
【解析】=+=+(-)
=-+-=-c+b-a.
9.【答案】充分不必要
【解析】a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b|⇔cos〈a,b〉=1⇔〈a,b〉=0,当a与b反向时,不能成立.
10.【答案】
【解析】设p=x(a+b)+y(a-b)+zc,
则p=(x+y)a+(x-y)b+zc,
又p=a+2b+3c,
∴,∴x=,y=-,z=3.
∴p在{a+b,a-b,c}下的坐标为.
11.【答案】连结AG并延长,交BC于H.由题意可知,以{,,}为基底,
==(+)=+×
=+×=+(-)+(-)
=++,
又点D,E,F,M共面,由共面向量定理得存在实数λ,μ使得=λ+μ,-=λ(-)+μ(-),
=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)m+λn+μt,
由空间向量基本定理知=(1-λ-μ)m,=λn,=μt,
所以++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值.
【解析】
12.【答案】
(1)建系如下图,由已知得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),
M.
设直线BP与DM所成的角为θ.
∵=(-a,0,a),
=,
∴·=0.
∴BP与DM所成的角的大小为θ=90°.
(2)∵=(0,0,a),=(a,0,0),=(0,a,0),
=(-a,0,a),
∴·=0,·=0,·=0.
又由
(1)知·=0,
∴是平面MDA的法向量,是平面ABCD的法向量,则cos〈,〉==.
∴所求的二面角M—DA—C的大小为45°.
【解析】
13.【答案】1、位置不同平面中的点在平面中,空间中的点在立体空间中;2、表示方法不同平面中的点用二维平面直角坐标系的有序数对表示,空间中的点用三维空间直角坐标系中的有序数对表示。
【解析】
14.【答案】
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,连结DF,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(,0,)
又=+,可得F(,,0).∵=(,,-),
=(-1,-1,1)=-3,∴∥,又F不在BD1上,∴EF∥BD1.
(2)∵=(-1,0,-1),·=(,,-)·(-1,0,-1)=0,
∴⊥,即EF⊥A1D.
【解析】
15.【答案】设i,j,k分别是与x轴,y轴,z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.
因为底面正方形的中心为O,边长为2,所以OB=.
由于点B在x轴的正半轴上,所以=i,即点B的坐标为(,0,0).
同理可得C(0,,0),D(-,0,0),A(0,-,0).
又=+=i+2k,所以=(,0,2).
即点B1的坐标为(,0,2).
同理可得C1(0,,2),D1(-,0,2),A1(0,-,2).
【解析】
16.【答案】证明 由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,
即OA⊥OB.故可以O为原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示.
则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),
O1(0,0,),从而=(-3,1,),=(0,-3,),
因为·=-3+·=0,所以AC⊥BO1.
【解析】
17.【答案】设=a,=b,=c,
则a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.
(1)∵=+=-c+(a-b)
=(a-b-c),
=+=-c-a,
∴·=(a-b-c)·(-c-a)
=(-a2+c2)=,
||2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,
||2=(-c-a)2=c2+a2=,
∴||=,||=,
cos〈,〉==,
所以EF,C′G所成角的余弦值为.
(2)∵=+++
=(a-b)+b+c+
=(a-b)+b+c+(-c-a)
=a+b+c,
∴||2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2=,
∴FH的长为.
【解析】
18.【答案】
(1)正方形ABCD中,AB=6,∴AC=BD=6,从而OA=OC=OB=OD=3.
∴各点坐标分别为A(3,0,0),B(0,3,0),C(-3,0,0),D(0,-3,0),O(0,0,0),O1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,3,4),G1(-3,0,4),D1(0,-3,4),M(0,3,2),N(-3,0,3).
(2)同理,A(6,0,0),B(6,6,0),C(0,6,0),D(0,0,0),A1(6,0,4),B1(6,6,4),C1(0,6,4),D1(0,0,4),O(3,3,0),O1(3,3,4),M(6,6,2),N(0,6,3).
【解析】
19.【答案】
(1)如下图所示,
以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-,,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量,则由n1·=0,n1·=0,
得
所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).
设n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量,则由n2·=0,n2·=0,得
所以x2=-z2,y2=z2,取z2=1,得n2=(-,,1).
因为n1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0,所以n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.
(2)因为y轴⊥平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为n3=(0,1,0).由
(1)知,平面PAC的一个法向量为n2=(-,,1).
设向量n2和n3的夹角为θ,则cosθ===.
由图可知,二面角B-PA-C的平面角与θ相等,所以二面角B-PA-C的余弦值为.
【解析】
20.【答案】
(1)=+=++=a+b+c.
=+=++=+-=b+c-a.
(2)=+=-+=-(+)+(+)
=-(a+b+c+b)+(a+b+c+c)=(c-b)
【解析】
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- 届苏教版 空间 向量 立体几何 单元测试
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