高中数学第一章导数及其应用13数中的应用132函数的极值与导数一学案新人教A版选修221022340.docx
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高中数学第一章导数及其应用13数中的应用132函数的极值与导数一学案新人教A版选修221022340
1.3.2 函数的极值与导数
(一)
学习目标
1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
知识点一 函数的极值点和极值
思考 观察函数y=f(x)的图象,指出其极大值点和极小值点及极值.
答案 极大值点为e,g,i,极大值为f(e),f(g),f(i);极小值点为d,f,h,极小值为f(d),f(f),f(h).
梳理
(1)极小值点与极小值
若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,就把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,就把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值.
知识点二 函数极值的求法与步骤
(1)求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,
①如果在x0附近的左侧函数单调递增,即f′(x)>0,在x0的右侧函数单调递减,即f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧函数单调递减,即f′(x)<0,在x0的右侧函数单调递增,即f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义区间,求导数f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③列表;
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
1.导数为0的点一定是极值点.( × )
2.函数的极大值一定大于极小值.( × )
3.函数y=f(x)一定有极大值和极小值.( × )
4.极值点处的导数一定为0.( × )
类型一 求函数的极值点和极值
例1 求下列函数的极值.
(1)f(x)=-2;
(2)f(x)=.
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
解
(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)==-.
令f′(x)=0,得x=-1或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出,当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;
当x=1时,函数有极大值,且极大值为f
(1)=-1.
(2)函数f(x)=的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=.
令f′(x)=0,解得x=e.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(0,e)
e
(e,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=,没有极小值.
反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
特别提醒:
当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然.
跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值.
(1)f(x)=x3-x2-3x+3;
(2)f(x)=x2e-x.
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
解
(1)f′(x)=x2-2x-3.
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可以看出,当x=-1时,函数有极大值,且极大值f(-1)=,当x=3时,函数有极小值,且极小值f(3)=-6.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.
令f′(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且极小值为f(0)=0.
当x=2时,函数有极大值,且极大值为f
(2)=4e-2.
例2 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当实数a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值.
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 含参数求极值问题
解 f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2,
由a≠知-2a≠a-2.
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