学年贵州省高一上学期期末考试数学 试题word版含答案.docx
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学年贵州省高一上学期期末考试数学试题word版含答案
2016-2017 学年四川省乐山市高一上学期期末考试
数学试题
一、选择题
1.已知集合 A = {-1,0,1,2}, B = {x | x ≤ 1} ,则 A ⋂ B 等于()
A. {-1,0,1}B. {0,1,2}C. {0,1}D. {1,2 }
【答案】A
【解析】依题意, B= [-1,1],故 A ⋂ B = {-1,0,1}.
.
点睛:
集合的三要素是:
确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象,是定
义域还是值域,是实数还是点的坐标还是其他的一些元素,这是很关键的一步 第二步常常是解一元二次不
等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为
零.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间是包含关系 . 在求交集时注意区间端点的取舍.
熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
2. cos585︒ 的值为()
3322
B. -C.D. -
A.
2222
【答案】D
【解析】 cos585 = cos (360 + 225 )= cos225 = cos (180 + 45 )= -cos45 = -
2
2
.
3.已知函数 f (x ) = {
f ç f ç ⎪⎪ = ( )
1
x < 1
x2
log (x + 4), x ≥1
2
,则
⎛ ⎛ 1 ⎫⎫
⎝ ⎝ 2 ⎭⎭
⎪ = 4, f (4 ) = log28 = 3 .
【解析】 f ç
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】B
⎛ 1 ⎫
⎝ 2 ⎭
4.函数 f (x ) = log x + x - 3 的零点所在的区间是()
3
A. (0,2 )B. (1,2)C. (2,3 )D. (3,4 )
【答案】C
【解析】由于 f (2 ) = log 2 -1 0, f (3 ) =1 0 ,故选 C .
3
5.已知集合 A = {x | x2 + 2 x < 0}, B = {x | a < x < a + 1} ,且 B ⊆ A ,则实数 a 的取值范围是()
a + 1 ≤ 0 ,解得 a ∈ -2, -1 .[
A. a < -2 或 a > -1B. -2 < a < -1
C. a ≤ -2 或 a ≥ -1D. -2 ≤ a ≤ -1
【答案】D
【解析】依题意 A = (-2,0 ) ,由于 B 是 A 的子集,所以{ a ≥ -2]
) 的图象(部分)如图所示,则 f ç⎪
6.已知函数 f (x ) = Asin (ω x + ϕ )( A > 0, ϕ < π⎛ - 1 ⎫ = ()
2⎝2 ⎭
A. - 3
B. C. - 3 D. 3
3
22
【答案】C
= - = , T = 2, ω = π ,故 f (x ) = 2sin (π x + ϕ ),而
【解析】根据图象的最高点得到 A = 2 ,由于
T 5 1 1
4 6 3 2
f ç ⎪ = 2sin ç + ϕ ⎪ = 2,ϕ = ,所以 f ç - ⎪ = 2sin ç - + ⎪=- 3 .
8.已知 α 满足 sinα = 1 ⎛ π
,那么 cos ç + α ⎪ cos ç - α ⎪ 的值为( )
A. 25
π
6
⎛ 1 ⎫⎛ π⎫⎛ 1 ⎫⎛ππ ⎫
⎝ 3 ⎭⎝ 3⎭⎝ 2 ⎭⎝26 ⎭
7.下列函数中为奇函数的是()
A. y = xcos xB. y = xsinxC. y = 1nxD. y = 2- x
【答案】A
【解析】 A 为奇函数, B 为偶函数, C,D 为非奇非偶函数。
⎫⎛ π⎫
3⎝ 4⎭⎝ 4⎭
2577
B. -C.D. -
18181818
【答案】C
【
解 析 】 原 式
= s⎢ -ç + α ⎪⎥ i ç -
⎪ =
⎝ ⎭ = ⋅ ( -
nç
- α⎪ =
⎢⎣ 2 ⎝ ⎭ ⎥⎦ sα
α ⎢ - ⨯ ç o ⎪ ⎥ =
⎡ π⎛ π⎫⎤⎛ π
⎣ 2⎝⎭⎦⎝
⎫ 1
4⎭
⎛ π ⎫ 1
4
2
c
)=
1 ⎡ ⎛ ⎫2 ⎤
⨯
2
.
9.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5 年计算机的价格降低 1
3
,现在价格为 8100
【解析】依题意有:
8100 ⋅ ç1 - ⎪ = 2400 .
元的计算机经过 15 年的价格应降为()
A. 2300 元B. 2800 元C. 2400 元D. 2000 元
【答案】C
⎛1 ⎫3
⎝3 ⎭
10.已知 a>b,函数 f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象如图所示,则函数 g(x)=loga(x+b)的图象可能为
( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】试题分析:
由 a>b,函数 f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象可知,a>1>b>0.于是 g(x)=loga
(x+b)的图象是单调递增的,g
(1)>0,从而可得答案.
解:
由 f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象与 a>b 得:
a>1>b>0.
∴g(x)=loga(x+b)的图象是单调递增的,可排除 A,D,
又 g
(1)=loga(1+b)>loga1=0,可排除 C,
故选 B.
【考点】对数函数的图象与性质;二次函数的图象.
f (x ) = 2cos(ωx + ϕ )+ k ,对任意实数 t 都有 f ⎛ç
+ t ⎪ = f ç - t ⎪ 成立,且
f ç ⎪ = -1 ,则实
11.若
π ⎫ ⎛ π ⎫
⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭
⎛ π ⎫
⎝ 3 ⎭
+ t ⎪ = f ç - t ⎪ 所以 x = 是其对称轴,即 c o çs ω + ϕ ⎪ = ±, 而
【解析】由于 f ç
⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫
数 k 的值等于()
A. -3 或 1B. 1C. -1 或 3D. -3
【答案】A
1
3
⎝ 3⎭⎝ 3⎭⎝ 3⎭
f ç⎪ = 2cos ç ω + ϕ ⎪ + k = k ± 2 = -1 ,所以, k = -3 或 k = 1 .
要平时熟记.根据 f ç⎛ π ⎫⎪ 的函数值,结合三角函数最大值和最小值,可求得k 的值.
⎛ π ⎫⎛ π⎫
⎝ 3 ⎭⎝ 3⎭
点睛:
本题主要考查三角函数的对称性,考查三角函数的最大值和最小值 .形如 f (a + x ) = f (a - x ),说
明的是函数 f (x )的对称轴是 x = a ,形如 f (x + a) = f (x),说明的是函数 f (x )的周期为 a ,这些都需
⎝ 3 ⎭
12.设 f (x ) = ⎨
⎪ x + + a + 4, x>0
⎧ (x - a )2 , x ≤ 0
⎪
1
⎩x
若
, f (0)是 f (x )的最小值,则 a 的取值范围为(
)
A.
C. D.B.
[-2,3] [-2,0 ] [1,3] [0,3]
( )
【答案】D
【解析】 f (0) = a2 .若 a < 0 ,则当 x ≤ 0 时,函数的最小值为 0 , a 2 > 0 ,不符合题意.排除 A,B 两个
选项.若 a = 0 ,则当 x ≤ 0 时,函数 f (x ) = x2 ,最小值为 0 ,当 x > 0 时,根据对勾函数的性质可知,当 x = 1
时,函数取得最小值为 6 ,故符合题意,排除 C ,故选 D .
.
点睛:
本题主要考查分段函数的的最值,考查了二次函数的最值和利用对勾函数的图像和性质来求最值 首
先注意到 x = 0 是属于函数第一段表达式的,故先将 f (0) = a2 求出来.由于第一段表达式是二次函数的形
式,且跟 x 轴有唯一交点,此时 x = a ,故需要 a = 0 才能符合题意.对于第二段,需要用对勾函数的图像和
性质来求最小值.
二、填空题
13.已知幂函数 f (x ) = xa的图象经过点 2, 2 ,则 f (4) = __________.
【答案】2
【解析】依题意有 f (2 ) = 2α =2, α = 1 , f (x ) =x , f (4 ) =4 = 2 .
2
⎪⎪ ,则 tan α = __________.
⎛
14.已知第二象限的角α 的终边与单位圆的交点 P ç m,
⎝
【答案】 - 3
3 ⎫
2 ⎭
3
【解析】依题意有 m + çç
⎪
= 1(m < 0), m = -,故 tanα = 2 = - 3 .
2
⎛ 3 ⎫
⎭
⎝ 2 ⎪
2
1
-
2 1
2
15.若 f (x ) =
1
【答案】 -
3
1
2 x + 2
+ a 是奇函数,则 a = __________.
【解析】由于函数为奇函数,则 f (0 ) =
1 1
+ a = 0, a = - .
3 3
x - 2 + 1
16.对于函数:
① f (x ) = lg (),② f (x ) = (x - 2 )2 ,③ f (x ) = cos(x + 2),判断如下三个命题
的真假:
命题甲:
f (x + 2)是偶函数;
命题乙:
f (x )在 (-∞,2 ) 上是减函数,在 (2, +∞) 上是增函数;
命题丙:
f (x + 2)- f (x )在 (-∞, +∞) 是增函数.
则能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是__________.
【答案】②
(x ) = f (x + 2 )- f (x ) = lg ⎛ç
ç x - 2 + 1 ⎪⎪ ,
【解析】对于第一个,令 g
x + 1 ⎫
⎝ ⎭
g
(2) = lg3,g (3) = lg2 ,从而可知不
是增函数,不符合命题丙.对于第三个, f (x + 2) = cos(x + 4)不是偶函数,不符合命题甲.对于第二个,
f (x + 2) = x2 ,为偶函数,符合命题甲,由于 f (x )是对称轴为 x = 2 的偶函数,且开口向上,符合命题
乙. f (x + 2)- f (x ) = 4x - 4 为 R 上的增函数,符合命题丙,故第二个函数符合题意.
点睛:
本题主要考查函数的单调性与奇偶性.对于命题甲的判断,只需要先将 f (x + 2)的表达式求解出来,
利用奇偶性的定义 f (- x ) = f (x ), f (-x ) = - f (x )来判断即可.对于命题乙的判断,需要我们根据所给函
数的单调性来具体判断.对于命题丙,需要先求出 f (x + 2)- f (x )的表达式,然后根据表达式来判断.
三、解答题
17.若集合 A = {x | x2 - 2 x - 8 < 0}, B = {x | x - m < 0}.
(1)若全集U = R ,求 C A ;
U
(2)若 A ⋂ B = A ,求实数 m 的取值范围.
【答案】
(1) C A = {x | x ≤ -2, x ≥ 4} ;
(2) m ≥ 4 .
U
:
(
【解析】试题分析
(1)解一元二次不等式可求得集合 A 的取值范围,由此求得其补集; 2)由于 A ⋂ B = A ,
所以 A 是 B 的子集,故 A 的右端点不大于 m ,即 m ≥ 4 .
试题解析:
(1) A = {x | x2 - 2 x - 8 < 0}
= {x | -2 < x < 4} ,
∴
U
A = {x | x ≤ -2或x ≥ 4}.
(2) B = {x | x - m < 0} = {x | x < m},
由 A ⋂ B = A ,得 A ⊆ B ,
则有 m ≥ 4 .
18.已知 sinθ - 2 cosθ = 0 ,且θ 为第二象限的角.
(1)求 tanθ 的值;
(2)求 sin 2θ - sinθ ?
cos θ - 2cos 2θ + 1 的值.
【答案】
(1) tanθ = -2 ;
(2) 9
5
.
【解析】试题分析:
( 1 )由于角为第二象限的角,故sinθ + 2cosθ = 0, tanθ = -2 ;( 2 )利用除以
sin 2θ + cos 2θ = 1 的技巧,将要求值的式子转化为只含 tanθ 的式子来求解.
试题解析:
(1)因为θ 为第二象限的角,
所以 sinθ - 2 cosθ = sinθ + 2cosθ = 0 ,
得 tanθ = -2 .
(2) sin 2θ - sinθ ?
cos θ - 2cos 2θ + 1
= 2sin 2θ - sinθ ?
cos θ - cos 2θ
=
=
2sin 2θ - sinθ ?
cosθ - cos2θ
sin 2θ + cos2θ
2tan 2θ - tanθ - 1
tan 2θ + 1
= 2 ⨯ (-2)2 - (-2)- 1
(-2)2 + 1=
9
5
.
19.设定义在 [-2,2 ]上的偶函数 f (x )在区间 [-2,0 ]上单调递减,若 f (1 - m) < f (1 + m) ,求实数 m 的
取值范围.
【答案】 0 < m ≤ 1 .
50 ç 5x - + 1⎪ 元.
-2 ≤ 1 - m ≤ 2
【解析】试题分析:
由于函数是给定区间上的偶函数,且左减右增,根据不等式有 {-2 ≤ 1 + m ≤ 2 ,由此
1 - m < 1 + m
解得 0 < m ≤ 1 .
试题解析:
∵ f (x )是 [-2,2 ]上的偶函数,
且在 [-2,0 ]上单调递减,
∴ f (x )在 [0,2 ]上单调递增,
由 f (1 - m) < f (1 + m)得
-2 ≤ 1 - m ≤ 2①
{-2 ≤ 1 + m ≤ 2②
1 - m < 1 + m ③
解①得 -1 ≤ m ≤ 3 ,
解②得 -3 ≤ m ≤ 1,
由①②得 -1 ≤ m ≤ 1 ,
则③可化简为 (1 - m )2 < (1 + m )2 ,
得 m > 0 ,
综上得 m 的取值范围为 0 < m ≤ 1 .
20.某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ≤ x ≤ 10 ),每一小时可获得的利润是
⎛3⎫
⎝x⎭
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 1500 元,求 x 的取值范围;
(2) 要使生产 480 千克该产品获得的利润最大,问:
该厂应该选取何种生产速度?
并求此最大利润.
【答案】
(1) 3 ≤ x ≤ 10 ;
(2)该厂以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 122000 元.
+ 1⎪ ≥ 1500 ,解得3 ≤ x ≤ 10 .
(2)依
(⎛
【解析】试题分析:
1)由于生产了 2 小时 ,故利润为100 ç 5x -
⎝
3 ⎫
x ⎭
小时,乘以每小时的利润,可得利润的表达式为 24000 ç 5 + -
⎪ ,利用配方法可求
题意,要生产 480
x
⎛ 1 3 ⎫
⎝ x x2 ⎭
得当 x = 6 时利润取得最大值,并由此求出最大值.
试题解析:
(1)根据题意,
+ 1⎪ ≥ 1500 ,
⎛
有100 ç 5x -
⎝
3 ⎫
x ⎭
得 5x 2 - 14 x - 3 ≥ 0 ,得 x ≥ 3 或 x ≤ -,
1
5
⎪ , 1 ≤ x ≤ 10 ,
u = 24000 ç 5 + -
记 f (x ) = - 3
+ + 5 , 1 ≤ x ≤ 10 ,
则 f (x ) = -3 ç -⎪
又1 ≤ x ≤ 10 ,得 3 ≤ x ≤ 10 .
(2)生产 480 千克该产品获得的利润为
⎛13 ⎫
⎝xx2 ⎭
1
x 2x
⎛ 11 ⎫21
++ 5 ,
⎝ x6 ⎭12
当且仅当 x = 6 时 f (x )取得最大值
61
12
,
则获得的最大利润为 u = 24000 ⨯
61
12
,
= 122000 (元)
故该厂以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 122000 元.
点睛:
本题主要考查函数实际应用问题.对于函数实际应用问题要注意三点,第一点是要慢阅读,将实际生
活问题,转化为数学问题,特别是其中的数量和表达式,要注意它们表示的意思.第二是要总结常见的题型,
如本题中求利润的问题.第三点是求出表达式后,往往利用二次函数求最值的方法来求最值.
21.已知函数 f (x ) = sinx ?
cosx - 3cos2 x .
(1)求 f (x )的最小正周期和单调递增区间;
(2)将函数 f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g (x )的图象,若
方程 g (x )+3 + m = 0 在 x ∈[0,π ]上有解,求实数 m 的取值范围.
2
【答案】
(1) T = π ,增区间为 ⎢kπ - π
12 , k
⎥⎦ k ∈ Z ;
(2) ⎣-2, 3 ⎦ .
f (x ) = sin ç 2x -⎪ -
π + 5π ⎤ ()⎡⎤
⎡
12
⎣
【解析】试题分析:
利用二倍角公式、降次公式和辅助角公式,将函数化简得
⎛ π ⎫ 3
⎝ 3 ⎭ 2
.
(1)由此求得周期T = π ,令 2kπ -
π π π
≤ 2 x - ≤ 2kπ + ,可求得函数的递增区间.
(2)图象上每一点
2 3 2
的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,则g (x ) = sin ç x -
⎪
取值范围,代入题目所给方程,可求得 m 的取值范围.
试题解析:
(1) f (x ) = sinx ?
cosx - 3cos2 x
1 sin2 x -
=3 (1 + cos2 x )
22
⎛
⎝
π ⎫ 3
-
3 ⎭ 2
,利用 x ∈[0,π ],可求得 g (x )的
= sin ç 2x - ⎪ -
133
=sin2 x -cos2 x -
222
⎛π ⎫3
,
⎝3 ⎭2
因此 f (x )的最小正周期为 T =
2π
2
= π ,
由 2kπ -
π
2 ≤ 2 x -
π
3 ≤ 2kπ +
π
2
, k ∈ Z ,
解得 f (x )的单调递增区间为
π 5π ⎤
12 12 ⎥⎦
⎣
⎡
⎢
kπ - , kπ +
, k ∈ Z .
(2)由题意得 g (x ) = sin ç x -
⎪
⎛
⎝
π ⎫ 3
-
3 ⎭ 2
,
sin ç x - ⎪ - +
= sin ç x - ⎪ + = 0 ,
则方程 g (x )+3 + m = 0 可化简为
2
⎛π ⎫33 + m
⎝3 ⎭22
⎛π ⎫m
⎝3 ⎭2
3 ≤ x -
∵ x ∈[0,π ],则 - π
π
3 ≤
2π
3
,
≤ sin ç x - ⎪ ≤ 1 ,
则 -3
2
⎛ π ⎫
⎝ 3 ⎭
则 -
3 m
≤- ≤ 1 ,
2 2
得 -2 ≤ m ≤3 ,
⎣⎦
故实数 m 的取值范围为 ⎡-2, 3 ⎤ .
.
点睛:
本题主要考查三角函数恒等变换,考查三角函数的周期性与单调性,考查三角函数值域的求法 第一
步首先将函数的解析式化简为 Asin (ωx + ϕ )+ B 的形式,其中涉及二倍角公式、降次公式和辅助角公式 .
求解三角函数的单调区间和值域,是两个相反的过程,要体会清楚,往往有同学将这两个混淆.
22.已知 a ∈ R ,函数 f (x ) = log ç⎛ 1
+ a ⎪ .
⎝ x ⎭
⎣ 2 ⎦ [
]
(3)设 a > 0 ,若对任意t ∈ ⎢ ,1⎥ ,函数 f (x )在区间 t, t +1 上的最大值与最小值的差不超过 1,求 a 的
⎫
2
(1)当 a = 5 时,解不等式 f (x ) > 0 ;
(2)若关于 x 的方程 f (x ) - log 2 ⎡⎣(a - 4 ) x + 2a - 5⎤⎦ = 0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范围;
⎡ 1⎤
取值范围.
【答案】
(1) x ∈ ç -∞, -
⋃ (0, +∞ ).
(2) (1,2 ]⋃{3,4}.(3) ⎢ , +∞ ⎪ .
4 ⎭ ⎣ 3
⎛
⎝
1 ⎫ ⎡ 2 ⎫
⎪
⎭
+ 5 ⎪>0 ,得+ 5>1 ,解得 x ∈ ç -∞, - ⎪ ⋃ (0, +∞ ).
试题解析:
(1)由 log ç
4 ⎭
⎝ x ⎭
⎝
(
f-≤f
【解析】试题分析:
(1)当 a = 5 时,解对数不等式即可; 2)根据对数的运算法则进行化简,转化为一元
二次方程,讨论 a 的取值范围进行求解即可;(3)根据条件得到 (t) (t + 1) 1 ,恒成立,利用换元法
进行转化,结合对勾函数的单调性进行求解即可.
1
⎛ 1⎫⎛1 ⎫
2x
(2)
1
x
+ a = (a - 4 ) x + 2a - 5 , (a - 4)x2 + (a - 5)x -1 = 0 ,
a - 4
x
当 a = 4 时, x = -1 ,经检验,满足题意.
当 a = 3 时, x = x = -1,经检验,满足题意.
12
当 a ≠ 3 且 a ≠ 4 时, x =1, x = -1 , x ≠ x .
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