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相交线与平行线知识点整理
相交线与平行线知识点
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
余角和补角:
1、余角:
如果两个角的和等于90°,那么就说这两个角互为余角,简称互余,也就是其中一个角是另一个角的余角。
∠1+∠2=90°
2、补角:
如果两个角的和等于180°,那么就说这两个角互为补角,简称互补,也就是其中一个角是另一个角的补角∠1+∠2=180°
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:
垂线段最短.
5.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线
与直线
互相平行,记作
∥
.
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
如左图所示,∵
∥
,
∥
∴
∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行.
3、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角.
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角.
④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型.
.
4、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行.平行线的判定是先写角相等,然后写平行.
5.3平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
几何符号语言:
∵AB∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD
∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
注意:
直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离.
例1.如图,点E在AD的延长线上,下列条件中能判断BC∥AD的是().
A.∠3=∠4B.∠A+∠ADC=180°C.∠1=∠2D.∠A=∠5
例2.如果a∥b,b∥c,则______∥______,因为________.
例3.在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则ac,因为 .
例4.填注理由:
如图,已知:
直线AB,CD被直线EF,GH所截,且∠1=∠2,
试说明:
∠3+∠4=180°.
解:
∵∠1=∠2( )
又∵∠2=∠5( )
∴∠1=∠5( )
∴AB∥CD( )
∴∠3+∠4=180°( )
5,已知:
如图AD∥BE,∠1=∠2,求证:
∠A=∠E.
三角形知识点总结
一、三角形三边的关系
1、三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边。
(判断三条线段能否组成三角形的依据)
2、已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:
|a-b|<c<a+b
3、给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长(提示:
一定要记得分类讨论)
方法:
因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。
例题1、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______;若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____.
2、长为10、7、5、3的四跟木条,选其中三根组成三角形有___种选法。
3、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;
二、三角形的高
定义;三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质;三角形的三条高交于一点,这点称作垂心。
锐角三角形,三条高的交点在三角形内部。
直角三角形,三条高的交点在三角形顶点。
钝角三角形,三条高的交点在三角形外部。
1.三角形的重心是三角形三条什么的交点?
( )
A.中线 B.高
C.角平分线D.边的垂直平分线
三、三角形的中线
定义;连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线。
性质;如果AD是ABC中BC边上的中线,那么BD=CD=1/2BC ̄.
三条中线的交点在三角形内部,这点叫做三角形的重心。
如果AD是ABC的中线,那么SABD=SACD
四、三角形的角平分线
二、角平分线
1、画法:
以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,
交OBN于.
分别以M,N为圆心.大于1/2MN的长为半
径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.
作射线OC.射线OC即为所求.
2、性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
书写格式:
∵OM是∠AOB的平分线,C是OM上一点,
CE⊥OA于E,CF⊥OB于F
∴CE=CF。
3、角平分线的判定:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
书写格式:
∵PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,且PE=PF,
∴点P在∠AOB的平分线上。
综合练习模拟题
1.以下说法错误的是()
A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D.三角形的三条高可能相交于外部一点
2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点,那么这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
3.如图1,BD=
BC,则BC边上的中线为______,△ABD的面积=_____的面积.
(1)
(2)(3)
4.如图2,△ABC中,高CD、BE、AF相交于点O,则△BOC的三条高分别为线段________.
5.下列图形中具有稳定性的是()
A.梯形B.菱形C.三角形D.正方形
6.如图3,AD是△ABC的边BC上的中线,已知AB=5cm,AC=3cm,求△ABD与△ACD的周长之差.
7.如图,∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,垂足为点D,且BD=CD.可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高?
8.(创新题)如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AD的中点,S△ABC=4cm2,求S△ABE.
9.(2004年,陕西)如图,在锐角△ABC中,CD、BE分别是AB、AC上的高,且CD、BE交于一点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是()
A.150°B.130°C.120°D.100°
一、选择题
1.三角形的角平分线、中线、高线都是()A.线段B.射线C.直线D.以上都有可能
2.至少有两条高在三角形内部的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能
4.在△ABC中,D是BC上的点,且BD:
CD=2:
1,S△ACD=12,那么S△ABC等于()A.30B.36C.72D.24
6.可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是( )
A.三角形的高B.三角形的角平分线C.三角形的中线D.无法确定
8.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
9.下图中,正确画出△ABC的AC边上的高的是()
ABCD
二、填空题
1.如图,在△ABC中,BC边上的高是,在△AEC中,AE边上的高是,EC边上的高是.
2.AD是△ABC的边BC上的中线,已知AB=5cm,AC=3cm,△ABD与△ACD的周长之差为.
三、解答题
1.如图,在⊿ABC中画出高线AD、中线BE、角平分线CF.
2.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.
3.如图,已知:
在三角形ABC中,∠C=90º,CD是斜边AB上的高,AB=5,BC=4,AC=3,求高CD的长度.
5.,在等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分,求该等腰三角形的腰长及底边长.
6.如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AD的中点,S△ABC=4cm2,求S△ABE.
7.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm,
求:
(1)△ABC的面积;
(2)CD的长;
(3)作出△ABC的边AC上的中线BE,并求出△ABE的面积;
(4)作出△BCD的边BC边上的高DF,当BD=11cm时,
试求出DF的长。
8.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周
长为30cm,求AD的长.
9.已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=6㎝,
AC=8㎝,BC=10㎝,∠BAC=90°,
试求:
(1)AD的长;
(2)△ABE的面积;
(3)△ACE与△ABE的周长的差。
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