完整版二项式定理十大典型问题及例题.docx
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完整版二项式定理十大典型问题及例题
学科教师辅导讲义
学员编号:
年级:
高二课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
教学内容
1.二项式定理:
(ab)n
Cn0an
Cn1an1bLCnranrbr
LCnnbn(nN),
2.基本概念:
①二项式展开式:
右边的多项式叫做
(a
b)n的二项展开式。
②二项式系数:
展开式中各项的系数
Cnr
(r0,1,2,,n).
③项数:
共(r1)
项,是关于a与b的齐次多项式
④通项:
展开式中的第
r1项Cnranrbr
叫做二项式展开式的通项。
用
Tr1
Cnranrbr
表示。
3.注意关键点:
①项数:
展开式中总共有
(n
1)项。
②顺序:
注意正确选择
a,b,其顺序不能更改。
(a
b)n与(b
a)n是不同的。
③指数:
a的指数从n逐项减到0
,是降幂排列。
b的指数从0
逐项减到n,是升幂排列。
各项的次数和等于n.
④系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,
二项式系数依次是
Cn0,Cn1,Cn2,
Cnr,
Cnn.项的系数是a与b的系数
(包括二项式系数)。
4.常用的结论:
令a
1,b
x,
(1
x)n
Cn0
Cn1x
Cn2x2
L
Cnrxr
L
Cnnxn(n
N
)
令a
1,b
x,
(1
x)n
Cn0
Cn1x
Cn2x2
L
Cnrxr
L
(
1)nCnnxn(n
N)
5.性质:
①二项式系数的对称性:
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即
Cn0
Cnn,···Cnk
Cnk1
②二项式系数和:
令
ab1,则二项式系数的和为
Cn0
Cn1
Cn2
LCnr
L
Cnn
2n,
变形式Cn1
Cn2
L
Cnr
L
Cnn
2n
1。
1
③奇数项的二项式系数和
=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令
a
1,b
1,则Cn0
Cn1
Cn2
Cn3
L
(
1)nCnn
(1
1)n
0
,
从而得到:
Cn0
Cn2
Cn4
Cn2r
Cn1
Cn3
L
Cn2r1
1
2n
2n1
2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
(ax)n
Cn0anx0
Cn1an1xCn2an2x2
LCnna0xn
a0
a1x1
a2x2
Lanxn
(xa)n
Cn0a0xn
Cn1axn1
Cn2a2xn2
L
Cnnanx0
anxn
L
a2x2
a1x1
a0
令x
1,则a0
a1
a2
a3L
an
(a1)n
①
令x
1,则a0
a1
a2
a3
L
an
(a1)n
②
①
②得,a0
a2
a4L
an
(a
1)n
(a1)n(奇数项的系数和
)
2
①
②得,a1
a3
a5L
an
(a
1)n
(a
1)n(偶数项的系数和)
2
n
⑤二项式系数的最大项:
如果二项式的幂指数
n是偶数时,则中间一项的二项式系数
Cn2取得最大值。
n
1
n1
如果二项式的幂指数
n是奇数时,则中间两项的二项式系数
Cn
2
Cn
2同时取得最大值。
⑥系数的最大项:
求(abx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
为A1,A2,
An1,设第r
Ar1
Ar
r来。
1项系数最大,应有
Ar
,从而解出
Ar1
2
专题一
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
Cn1
Cn26Cn362
LCnn6n1
.
解:
(1
6)n
Cn0
Cn1
6
Cn262
Cn3
63
L
Cnn6n与已知的有一些差距,
Cn1
Cn26Cn362
LCnn6n1
1(Cn16Cn262
LCnn6n)
1(Cn0
6
1[(16)n
1(7n
Cn1
6
Cn2
62
L
Cnn
6n
1)
1]
1)
6
6
6
练:
Cn1
3Cn2
9Cn3
L3n1Cnn
.
2
解:
设Sn
Cn1
3Cn2
9Cn3
L
3n1Cnn,则
3Sn
Cn13Cn232
Cn333
LCnn3n
Cn0
Cn13Cn232
Cn333
LCnn3n
1(13)n
1
Sn
(1
3)n1
4n
1
3
3
题型二:
利用通项公式求xn的系数;
例:
在二项式(41
3
x2)n的展开式中倒数第
3项的系数为45,求含有x3的项的系数?
x
解:
由条件知Cnn
2
45,即Cn2
45
,
n2
n
90
0,解得n
9(舍去)或n10,由
Tr1
C10r(x
1
2
C10rx
10r
2r
10r
2r
4)10r(x3)r
4
3,由题意
3,解得r
6,
4
3
则含有x3
的项是第
7项T6
1
C106x3
210x3
系数为210
。
练:
求(x2
1)9
展开式中x9
的系数?
2x
解:
Tr1
C9r(x2)9r(
1)r
C9rx182r
(1)rxr
C9r
(1)rx183r,令183r
9,则r3
2x
2
2
故x9的系数为C93(
1
)3
21
。
2
2
题型三:
利用通项公式求常数项;
例:
求二项式(x2
1
)10的展开式中的常数项?
2
x
r
2
10
r
1
r
r
1
r
20
5r
(x
)
(
x
2
解:
Tr1C10
)
C10
()
2
x
2
,令20
5r
0,得r
8,所以T9C108
(1)8
45
2
2
256
练:
求二项式(2x
1)6的展开式中的常数项?
2x
解:
Tr1
C6r(2x)6
r
(1)r
(1)r
(1)rC6r26r
(1)rx6
2r,令62r
0,得r
3,所以T4
(1)3C63
20
1
2x
2
练:
若(x2
)n的二项展开式中第
5项为常数项,则n
____.
x
解:
T5Cn4(x2)n4
(1)4
Cn4x2n12,令2n12
0,得n6.
x
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
例:
求二项式(
x
3x)9展开式中的有理项?
3
r
1
9r
1
r
rr
27
r
27r
解:
Tr1
(x
2
3
)
6
Z,(0r9)得r
3或r9,
C9
)(x
(1)C9x
,令
6
所以当r
3时,27
r
4,T4
(
1)3C93x4
84x4,
6
当r
9时,27r
3,T10
(1)3C99x3
x3。
6
题型五:
奇数项的二项式系数和
=偶数项的二项式系数和;
例:
若(
x2
1
)n展开式中偶数项系数和为
256,求n.
3
x2
解:
设(
x2
1
)n展开式中各项系数依次设为
a0,a1,
an,
3
x2
令x
1,则有a0
a1
an
0,①,令x
1,则有a0a1
a2
a3
(1)nan2n,②
将①-②得:
2(a1a3
a5
)
2n,
a1
a3
a5
2n1,
有题意得,
2n1
256
28,
n
9。
练:
若
(
3
1
5
1
n的展开式中,所有的奇数项的系数和为
1024,求它的中间项。
x
x2)
解:
QCn0
Cn2
Cn4
Cn2r
Cn1
Cn3
L
Cn2r
1
2n
1,
2n
1
1024
,解得n11
Cn5(31)6(512)5
4,T61
61
所以中间两个项分别为
n
6,n
7,T5
1
462x
462x15
x
x
题型六:
最大系数,最大项;
例:
已知(1
2x)n,若展开式中第
5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项
2
的系数是多少?
解:
QCn4
Cn6
2Cn5,
n2
21n
98
0,解出n7或n
14,当n
7时,展开式中二项式系数最大的项是
T4和T5
T4的系数
C73
(1)423
35,,T5的系数
C74
(1)324
70,当n14
时,展开式中二项式系数最大
2
2
2
的项是T8,
T8的系数
C147
(1)727
3432。
2
练:
在(a
b)2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少?
解:
二项式的幂指数是偶数
2n,则中间一项的二项式系数最大,即
T2n
Tn
1,也就是第n1项。
2
1
练:
在(x
1)n的展开式中,只有第
5项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?
2
3
x
4
解:
只有第
5项的二项式最大,则
n
1
5,即n
8,所以展开式中常数项为第七项等于
C86
(1)2
7
2
2
练:
写出在(a
b)7的展开式中,系数最大的项?
系数最小的项?
解:
因为二项式的幂指数
7是奇数,所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有
T4
C73a4b3的系数最小,T5
C74a3b4系数最大。
练:
若展开式前三项的二项式系数和等于
79,求(1
2x)n的展开式中系数最大的项?
2
1
1
解:
由Cn0
Cn1
Cn2
79,解出n
12,假设Tr1项最大,Q(
2x)12
(
)12(1
4x)12
2
2
Ar1
Ar
C12r4r
C12r14r1
9.4
r
10.4,又Q0
r
12,
r
10,展开式中系数最
C12r4r
,化简得到
Ar1
Ar2
C12r14r1
大的项为T11,有T11
(
1
)12C1210410x10
16896x10
2
练:
在(1
2x)10的展开式中系数最大的项是多少?
解:
假设Tr1项最大,QTr
1
C10r
2rxr
Ar
1
Ar
C10r2r
C10r
12r
1
2(11
r)
r
,化简得到
6.3
k7.3
,又Q0
r
10,
C10r2r
C10r12r
解得
Ar
1
Ar
2
1,
r
1
2(10
r)
r
7,展开式中系数最大的项为
T8
C10727x7
15360x7.
题型七:
含有三项变两项
;
例:
求当(x2
3x
2)5的展开式中x的一次项的系数?
解法①:
(x2
3x
2)5
[(x2
2)
3x]5,Tr1C5r(x2
2)5
r(3x)r
,当且仅当r
1时,Tr1的展开式中才有x
的一次项,此时Tr1
T2
C51(x2
2)43x,所以x得一次项为C51C44243x
它的系数为C51C44243
240。
解法②:
(x2
3x
2)5
(x
1)5(x
2)5
(C50x5
C51x4
C55)(C50x5
C51x42
C5525)
故展开式中含
x的项为C54xC5525
C54x24
240x,故展开式中
x的系数为240.
练:
求式子(x
1
2)3的常数项?
x
解:
(x
1
2)3
(
x
1
)6,设第r
1项为常数项,则
Tr1
C6r(
1)r
x
6
r
(1)6C6r
6
2r
(1)r
x
,得
x
x
x
5
62r0,r3,
T31
(1)3C63
20.
题型八:
两个二项式相乘;
例:
求(1
2x)3(1
x)4展开式中x2的系数.
解:
Q(1
2x)3的展开式的通项是
C3m(2x)m
C3m
2mxm,
(1x)4的展开式的通项是C4n
(
x)n
C4n
1nxn,其中m
0,1,2,3,n
0,1,2,3,4,
令m
n2,则m
0且n
2,m
1且n1,m
2且n
0,因此(1
2x)3(1
x)4
的展开式中x2的系数等于C30
20C42
(1)2
C3121
C41
(
1)1
C32
22
C40(
1)0
6.
练
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