概率论与数理统计第二版课后答案科学出版社参考答案doc.docx

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习题2参考答案

X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P

1/36

1/18

1/12

1/9

5/36

1/6

5/36

1/9

1/12

1/18

1/36

解：

根据

P（X

k）

1，得

aek

1，即ae1

1。

k0

k0

1

e1

故ae1

解：

用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B（2,

用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B（2,

（1）两人投中的次数相同

P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=

0

0

1

1

2

2

C20.700.32

C20.400.62

C20.710.31

C20.410.61

C20.720.30

C2

0.420.60

0.3124

（2）甲比乙投中的次数多

P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=

1

0

2

0

2

1

C20.710.31

C20.400.62

C20.720.30

C2

0.400.62

C2

0.720.30

C20.410.61

0.5628

解:

（1）P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=

1

2

3

2

15

15

15

5

121

（2）P{

15155

1

1

1

1

1[1

（1）k]

1

解：

（1）P{X=2,4,6,}=

L

=lim

4

4

2

4

2

6

2k

3

2

2

2

k

1

1

4

111

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}-P{X=2}=1

244

解：

设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

P{X0}P{A1A2A3A4}P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（A4|A1A2A3）=

18

17

16

15

12

20

19

18

17

19

P{X1}P{A1A2A3A4}P{A1A2A3A4}P{A1A2A3A4}P{A1A2A3A4}

2

18

17

16

18

2

17

16

18

18

2

16

18

17

16

2

32

20

19

18

17

20

19

18

17

20

19

18

17

20

19

18

17

95

P{X

2}

1P{X

0}

P{X

1}

12

32

3

1

95

95

19

解：

（1）设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B（4,

3

4

P（X

3）

P（X

3）

P（X

4）

C4

0.430.61

C40.440.60

0.1792

（2）设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B（5,

3

0.430.62

4

5

0.450.60

P（X3）P（X3）P（X4）P（X5）C5

C50.440.61

C5

0.31744

（1）X～P（λ）=P×3）=P

P{X0}

1.50

e1.5=e1.5

0!

（2）X～P（λ）=P×4）=P

（2）

P{X2}

1P{X0}P{X1}1

20e2

21e2

13e2

0!

1!

解：

设应配备

名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为

，则X~B（180,0.01）

。

m

X

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于，即P（Xm）0.99，也即

P（Xm1）0.01

因为n=180较大，p=较小，所以X近似服从参数为1800.011.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。

故应至少配备6名设备维修人员。

解：

一个元件使用1500小时失效的概率为

15001000

1000

P（1000X1500）

1000x2dx

x

1500

1000

1

3

设

5

个元件使用

1500

小时失效的元件数为

，则

Y~B（5,

1）

。

所求的概率为

Y

3

2

1

2

2

3

80

P（Y

2）C5

（

3

）

（

3

）

35

0.329

解：

（1）

P（X2）

F

（2）

ln2

P（0X3）F（3）F（0）101

P（2X2.5）F（2.5）F

（2）ln2.5ln2ln1.25

x11xe

（2）f（x）F（x）

1其它

解：

（1）由F（

）1及limF（x）

a

1

F（0），得

，故a=1,b=-1.

x0

ab

0

x2

（2）f（x）F（x）

xe2

x

0

0

x

0

（3）P（ln4Xln16）F（ln16）F（ln4）

ln16

ln4

1

（1e2）

（1e2）

0.25

4

（1）

假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

1

1

P{0.8X1}

0.8

12x（1x）

2dx

（6x2

8x3

3x4）|0.8

0.0272

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

1

1

P{0.9X1}

0.9

12x（1

x）

2dx

（6x2

8x3

3x4）|0.9

0.0037

解:

要使方程x

2

2

2Kx2

K

3

0有实根则使

（2K）4（2K3）0

解得K的取值范围为[,1][4,],又随机变量K~U（-2,4）则有实根的概率为

[1（

2）

43]

1

p

（

2）

3

4

解：

X~P（λ）=P（

1

）

200

（1）P{X

100}

100

1

1

1

x100

1

1

e200dx

e200

|0

e2

0

200

1

1

1

x

3

（2）P{X

300}

e200dx

e200

e2

|300

300200

1

1

1

3

（3）P{100

X

300}

300

1e200dx

e200x

300

e2

e2

100

200

|100

1

1

3

P{X100,100X

300}

P{X

100}P{100

X

300}

（1e2）（e2

e2）

解：

设每人每次打电话的时间为

X，X~E，则一个人打电话超过

10分钟的概率为

P（X

10）

0.5e0.5xdx

e

0.5x

e5

10

10

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则Y~B（282,e5）。

因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为

282

e5

1.9的泊松分布。

所求的概率为

P（Y

2）

1

P（Y

0）P（Y

1）

1

e1.9

1.9e1.9

1

2.9e1.9

0.56625

解：

（1）

P（X

105）

（105

110）

（

0.42）

1

（0.42）

12

1

0.6628

0.3372

（2）

P（100

X

120）

（120110）

（100110）

12

12

（0.83）

（

0.83）

2

（0.83）1

2

0.7967

1

0.5934

解：

设车门的最低高度应为a厘米，X~N（170,62）

P{X

a}

1

P{X

a}

0.01

P{X

a}

（

a

170

0.99

6

）

a

170

2.33

6

a

184厘米

解：

X的可能取值为1,2,3

。

因为P（X

1）

C42

6

0.6；

P（X

3）

1

1

0.1；

C53

10

C53

10

所以X的分布律为

X

1

2

3

P

X的分布函数为

1x1

0.61x2

F（x）

0.92x3

1x3

（1）

P{Y

0}

P{X

}

0.2

2}

2

P{Y

P{X

0}

P{X}0.30.40.7

P{Y42}P{X

3

}0.1

2

Y

0

2

42

qi

（2）

P{Y

1}

P{X

0}

P{X

}

0.3

0.4

0.7

P{Y

1}

P{X

}

P{X

3}

0.2

0.1

0.3

2

2

Y

-1

1

qi

（1）

当1x1时，F（x）P{X1}0.3

当1x2时，F（x）P{X1}P{X1}0.3P{X1}0.8

P{X1}0.80.30.5

当x2时，F（x）P{X1}P{X1}P{X2}0.8P{X2}1

P{X2}10.80.2

X

-1

1

2

P

（2）

P{Y

1}

P{X

1}

P{X

1}

0.30.50.8

P{Y

2}

P{X

2}

0.2

Y

1

2

qi

1

x2

QX~N（0,1）

fX（x）

e

2

2

（1）设FY（y），fY（y）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

FY（y）P{Yy}P{2X1y}P{X

y1}

2

y1

2

x2

1e2dx

2

1

（y1）2

对F

（y）求关于y的导数，得

2

2

fY（y）

e

Y

2

y

1

1

（y1）2

e

8

（

）

2

2

2

y（,）

（2）设FY（y），fY（y）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当

y0

（

）

{

Yy

}{

X

}{}0

时，FYy

P

Pe

yP

当y0时，有

FY（y）P{Yy}P{eX

1

x2

y}P{Xlny}P{X

lny}

e2dx

lny

2

对FY（y）求关于y的导数，得

1

（

lny）2

1

（lny）2

e

2

（lny）

e

2

fY（y）

2

2

y

0

y>0

y0

（3）设FY（y），fY（y）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当y0时，FY（y）P{Yy}P{X2y}P{}0

y

x2

当y>0时，FY（y）P{Yy}P{X2

y}P{yX

1e2dx

y}

y

2

对FY（y）求关于y的导数，得

1

（

y）2

1

（

y）2

1

（lny）2

fY（y）

e

2（y）

e

2（y）

e

2

2

2

2

y

0

y>0

y0

10x

∵X:

U（0,）∴fX（x）

1其它

（1）

当2lny时

FY（y）P{Yy}P{2lnXy}P{lnX2y}P{}0

当

y

2ln

时

y

FY（y）

P{Y

y}

P{2lnXy}P{lnX

2

y}P{X

2

y

}P{X

e

y

}

e21

e

dx

0

1

y

1

y

y

2ln

（e2）

e2

对FY（y）求关于y的导数，得到fY（y）

2

0

2ln

y

（2）

当y1或y-1时，FY（y）P{Yy}P{cosXy}P{}0

当1y1时,FY（y）P{Yy}P{cosXy}P{Xarccosy}1dx

arccosy

对FY（y）求关于y的导数，得到

1

1

1y1

fY（y）

（arccosy）

y2

1

0

其它

（3）当y1或y0时FY（y）P{Yy}P{sinXy}P{}0

当0y1时，

FY（y）P{Y

y}P{sinXy}P{0Xarcsiny}P{

arcsinyX

}

arcsiny1

1

dx

dx

0

arcsiny

对FY（y）求关于y的导数，得到

1

1

（

2

0y1

arcsiny

arcsiny）

y2

fY（y）

1

0其它

习题3参考答案

3

P{1

128

Y

1

2

X

2

0

2

2

c3c4

2=3

c5

5

3

3

1

0

c3c2

2

4

=

c5

5

（1）a=1

9

（2）5

12

（3）

1

1

y1

1

1

1

2

1

y

P{（X,Y）

D}

0

dy

0

9

（6

x

y）dx

9

0

[（6

y）x

2x

]|0

dy

1

1

1

2

1

1

1

3

2

1

1

1

8

8

9

0（2y

6y52）dy

9（6y

3y

52y）|0

9

3

27

解：

（1）

y

x

（2u

v）dudv

y

evdv

x

2udu

ev|0y）（

e2u|0x）（1ey）（1e2x）

F（x,y）

0

0

2e

0

2e

（

0

（2）

x

（2x

y）dxdy

2e2xdx

x

vdy

2e2x（

ey|0x）dx

P（YX）

0

2e

e

0

0

0

0

2e2x（1

ex）dx

（2e2x

2e3x）dx

（

e2x|0）

2

e3x|0

1

2

1

0

0

3

3

3

2

2

2

1

2

a

r

22dr

解：

P（x

y

a）

2

22

d

0

x2y2a2

（1x

y）

0

（1r）

2

a

1

2

1

11

a

1

a

2

0

d

0（1r2）2d（1r）

2

2（1r2）|0

1

1a2

1a2

参见课本后面

P227的答案

fX（x）

1

f（x,y）dy

13

2

dy

3

y3

1

x

02

xy

x

3

|0

2

0

2

fy（y）

0

f（x,y）dx

0

3xy2dx

3y2

1x2|0

3y2

2

2

2

2

2

2

x

0x

2

3y2

0y1

fX（x）

fY（y）

2

0

其它

0,

其它

解：

X的边缘概率密度函数fX（x）为