概率论与数理统计习题三解析哈工大版.docx

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概率论与数理统计习题三解析哈工大版

习题二

1.掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p（0p1），若以X表示直

至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。

解（Xk）表示事件：

前k1次出现正面，第k次出现反面，或前k1次出现反面，第k次出现正面，所以

k1k1

P（Xk）p（1p）（1p）p,k2,3,L.

2.袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。

r

解从ab个球中任取r个球共有Cab种取法，r个球中有k个黑球的取法有Ctkcak，所以X的分布列为

此乃因为，如果ra，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即k0；

如果ra则r个球中至少有ra个黑球，此时k应从ra开始。

3•一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品

1

的概率Pi—（i1,2,3）,以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布

i1

列。

解设A'第i个零件是合格品’i1,2,3。

则

121113丄2311

23423423424

1

P（X3）

236

P（AA2A3）

23424

即X的分布列为

X

0

1

2

3

P

1

6

11

6

24

24

24

24

4•一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概

1

率均为丄，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率

2

分布。

1

解P（X0）P（第一个路口即为红灯），

2

111

P（X1）P（第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯）

224

依此类推，得X的分布列为

X

0

1

2

3

P

1

~T~

~T~

~T~

2

4

8

8

5.将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分

布列。

1

解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故X~B（n,）,X的分布

2

列为

P（Xk）C冷k0,1,L,n

钟恰有8次呼叫的概率；

（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。

5的泊松分布，问在月初至

0.99977以上。

0.99977P（XN）1P（XN）1P（XK）1e

KN1KN1k!

即

K

e50.00023

kn1k!

查泊松分布表知N115，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的

概率在0.99977以上。

8•已知离散型随机变量X的分布列为：

P（X1）0.2,P（X2）0.3,

P（X3）0.5，试写出X的分布函数。

解X的分布列为

X1

2

3

P0.2

所以X的分布函数为

0.3

0.5

0,

x

1,

F（x）

0.2,

1

x

2,

0.5,

2

x

3

1,

x

3.

9•设随机变量X的概率密度为

csinx,0x,f（x）

0,其他.

求：

（1）常数C；

（2）使P（Xa）P（Xa）成立的a.

解

（1）

1

f（x）dx

c0sinxdxccos〉

<0

2c,c一

2

（2）

P（X

a）

1

sinxdx

1

—cosx

1

-cosa,

a2

2

2

2

P（X

a）

a1

sinxdx

1

a

1

1

—

—cosx

—

-cosa,

02

2

0

2

2

可见

cosa

0,

a—。

2

10•

设随机变量

X的分布函数为

F（x）A

Barctanx,

x

求：

（1）

系数A与B

；

（2）

P（

1X1）；

（3）X的概率密度。

解

（1）由分布函数的性质

0F（）ABi

F（

所以X的分布函数为

（3）

F（x）

—arctanx

P（1

1）

F

（1）

F

（1）

（訂

4）

X的概率密度为

f（x）

（x）

1

（1

x12

已知随机变量

X的概率密度为

1e図—e

2

f（x）

求X的分布函数•

F（x）

f（u）du

eudu,

0,

-exdx

2

eudu,

0,

0,

1

e,

0.

2

12•设随机变量

X的概率密度为

1,

f（x）

x,1x

其他.

求X的分布函数.

解f（x）的图形为

X的分布函数为

F（x）

f（u）du

x

0udu,

1

xdx

0

x2

2x

0x1,

x

1（2

u）du.

1,

2.

0,

1x2,

1,

2,

2.

13

D柚IfcFmFM）*UHIaIBl"

卩聘和二“助夕祀”卜Fl如RH讪电、以比'恥■

呎娄腌興附网叫g宅

「丿小

13•设电子管寿命X的概率密度为

x100,

100

f（x）〒

x100.

（1）所求概率为P（Y

2）P（Y2）P（Y3）

C；

27，

0.1的观测次数，试求

现对X进行n次独立重复观测，以V表示观测值不大于随机变量Vn的概率分布。

解V~B（n,p），其中

0.1

pP（X0.1）o2xdx0.01，

所以Vn的概率分布列为

P（Vnk）C：

（0.01）k（0.99）nk,k0,1,L,n.

2

15•设随机变量X~U[1,6]，求方程xXx10有实根的概率

解设A

A发生

A发生

'方程有实根'

，则

X2

X

4

2,

0

即

|X|2，因X~U[1,6]，所以

所以

P（A）

P（X

2）

6

2

40.8.

6

1

5

16•设随机变量X~U[2,5]，现对X进行3次独立观测，试求至少有两次

所求概率为

18•一大型设备在任何长为t的时间发生故障的次数N（t）服从参数为t的

泊松分布。

（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2）求在设备已经

无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。

解

（1）设T的分布函数为Ft（t），贝U

FT（t）P（Tt）1P仃t）

事件仃t）表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t没有发生故

障，故N（t）0,于是

Ft（U1P（Tt）1

P（N（t）0）

0

1（0?

et1八t0，

可见，T的分布函数为

l/、1et,

t0,

Ft（t）

0,

t0.

即T服从参数为的指数分布。

（2）所求概率为

（1）

（3）

设随机变量

P（101.1

常数a,使P（|X

（1）P（101.1X

8）P{T16,T8}P（T16）P（T8）

2

X〜N（108,3）。

求

X117.6）；

（2）常数a,使P（X

0.01。

（117.6108（3

2）（23）

P（8）

16

e8

厂ee

a）0.90；

所以

（3）

a|a）

117.6）

（3

（101.1108）

（3）

（32）（23）1

0.90P（Xa）

0.99930.98931

a108

（），查表知

3

a108

1.28，所以a3

0.01P（|Xa|a）1

2a108

1（）,

3

111.84；

P（|X

a|a）

0.9886;

1P（0X2a）

（2a108）0.99,

3

查正态分布表知

2a1082.33，

3

a57.495。

X〜

故

20.设随机变量

N（2,

所以

解0.3P（2

4）

2）,

（4

且P（2

6

X4）0.3，求P（X0）。

（0）,

（2）0.8,

P（X

0）

（0

22

-）（-）1

0.2。

21•某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，

平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考

生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

967224

解0.023P（X96）1（）1（）

C24）0.977,24

2,

12

1.

所求概率为

P（60X84）（8472）（6072）（X）（空）

2（给120.841310.6826.

22•假设测量的随机误差X~N（0,102），试求在100次重复测量中，至少

有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值。

解设Y为误差的绝对值大于19.6的测量次数，则Y~B（100,p），其中

pP（|X|19.6）1P（19.6X19.6）1（1.96）（1.96）

22（1.96）220.9750.05，

所求概率为

100

P（Y3）Gk00（0.05）k（0.95）100k,

k3

利用泊松定理

1005k

—e50.875.

k3k!

23•在电源电压不超过200V，在200240V和超过240V三种情况下，

某种电子元件，损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,假设电源电压X服从正态

分布N（220,25），试求：

（1）该电子元件损坏的概率；

（2）该电子元件损

坏时，电源电压在200240V的概率。

解设A'电子元件损坏’，Bi'电源电压在第i档’，i1,2,3，则

（1）P（A）P（BJP（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（B3）P（A|B3）

“,240220X1cc

[1（）]0.2

25

（|0）0.1[（|0）（|0）]0.001[（1（15）]0.2

25252525

（10.7881）0.1（20.78811）0.001（10.7881）0.2

0.0641

（2）PdA）P（b2）P（A|B2）O.0057560.0898.

0.06410.0641

11

24.假设随机变量X的绝对值不大于1;P（X1）-,P（X1）

84

在事件｛1X1｝出现的条件下，X在（1,1）任意子区间上取值的概率与该

子区间的长度成正比。

试求：

（1）X的分布函数；

（2）X取负值的概率P.

解1设X的分布函数为F（x），则

当x1时，F（x）0,且F

（1）1，

8

当x1时，F（x）1，

115

P（1X1）1-

848

P{1

X

x|1

X

1}

k（x

1）,

1P{

1

X

1|

1

X

1}2k

1

ko

是

2

x1

J

P{1

X

x|

1

X

1}

2

F（x）

P{

1

X

x}

F（

1）

P{

1

X

x,

1

X1}

8

当1x1时，由题意

而

所以

此时

5x

11

5x7

82

8

16，

故X的分布函数为

0

x1,

F（x）

5x7

1x1

16

1

x1.

P{1X

（2）P（X0）F（0）P（X0）—.

16

1

当x1时，F（x）0且F

（1）-

8

当x1时，F（x）1,

当1x1时，设x,xx（1,1），且x0,由题意

P（xXxx|1X1）kx,

即

P（xXxx,1X1）,

kx,

P（1X1）

由此得

P（xXx

x）

两边同除以x得

5k,

F（xx）F（x）

x

令x0取极限得

5

F（x）y,

两边积分得

综上所述，X的分布函数为

解2设丫的分布函数为Fy（y），则

FY（y）P（Yy）P（exy）

0,y1,

P（XIny）,y1

0,y1,

Inyx

0edx,y1,

fY（y）Fy（y）

1,

1.

27.设随机变量X的概率密度为

1

fx（X）

z,

（1X）

求随机变量Y1

函数y

3X的概率密度fY（y）

13X严格单调，反函数为

h（y）（1

3

y），则

所以

fY（y）

3（1

fx（h（y））|h（y）|

设丫的分布函数为

FY（y）P（Yy）

1Fx{（1

Fy（v）_则

P（13x

y）3}，

y）12

（1（1y）6）'

y）P（3X1y）

3

P（X（1y））

3

fY（y）fX（（1y））

3（1

y）2

3（1y）2

设X~U（0,1），求

（1）

6

（1（1y））

X的概率密度；

（2）

密度。

2lnX的概率

X的密度为

fY（y）

1扌

e2,

「y

0,

2

0,

「y

0.

29•设X~

N（0,1），

求丫

|X|的概率密度。

|x|在（，0）上单调减，反函数为h1（y）

在［0,）上单调增，反函数为h2（y）

解1函数y

所以Y的密度为

上服从均匀分布。

0,

y

0,

0,

y

0,

1

P（2X

ln（1y））,

0

y

1,

P（X

ln（1

y）'）.

0

y1,

1,

y

1.

0,

y

1.

0,

1

y

0,

0

J

y0

Fx（ln（1

y）2

）,

0

y1,

1e

1

2ln（1y）2

J

0y1

1

J

y1

1,

y

1.

y,

i,

0,yi,i.

31.设随机变量

X的概率密度为

f（x）

2x

~2,

其它.

求YsinX的概率密度.

解1函数ysinx在（0,

—］上单调增，反函数为

hi（y）

arcsiny

Y的概率密度为:

所以

在（2,）上单调减，反函数为

fY（y）f（arcsiny）

2arcsiny

2

1

2

y

i

2

y

2

iy2

0,

h2（y）

i

2

y

22arcsiny1

¥7

f（arcsiny）

1,

arcsiny.

0yi,

其他.

解2设Y的分布函数为

FY（y）P（Yy）

FY（y），则

P（sinXy）

P（Xarcsiny）

FX（arcsiny）1

P（X

1P（X

Fx（

arcsinyUXarcsiny）arcsiny）

arcsiny）

fY（y）f（arcsiny）

=f（arcsiny）'y2,i

2

viy2

yi,

其他.

Fy（y）

P（y

y）

P{F（X）y}

P{X

当y0时Fy（y）

0，

当y

1时Fy（y）1

，故

0,

y0,

Fy（y）

y,

0y

1,

1,

y1.

于是丫的概率密度为

fy（y）

1,

0,

0y

其他

1,

的概率密度.

解设丫的分布函数为Fy（y），则

1

F1（y）}

1

1e

2