等比数列基础习题选附详细解答.docx

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等比数列基础习题选附详细解答

等比数列根底习题选〔附详细解答〕

一．选择题〔共27小题〕

1．{an}是等比数列，a2=2，a5=，那么公比q=〔　　〕

A．

B．

﹣2

C．

2

D．

2．在等比数列{an}中，a1=1，a10=3，那么a2a3a4a5a6a7a8a9=〔　　〕

A．

81

B．

27

C．

D．

243

3．如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么〔　　〕

A．

b=3，ac=9

B．

b=﹣3，ac=9

C．

b=3，ac=﹣9

D．

b=﹣3，ac=﹣9

4．数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值是〔　　〕

A．

B．

﹣

C．

或﹣

D．

5．正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，那么数列{bn}的前10项和是〔　　〕

A．

65

B．

﹣65

C．

25

D．

﹣25

6．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于〔　　〕

A．

8

B．

16

C．

±8

D．

±16

9．〔2012•〕{an}为等比数列，下面结论中正确的选项是〔　　〕

A．

a1+a3≥2a2

B．

C．

假设a1=a3，那么a1=a2

D．

假设a3＞a1，那么a4＞a2

10．〔2011•〕假设等比数列an满足anan+1=16n，那么公比为〔　　〕

A．

2

B．

4

C．

8

D．

16

11．〔2010•〕等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，那么an=〔　　〕

A．

〔﹣2〕n﹣1

B．

﹣〔﹣2n﹣1〕

C．

〔﹣2〕n

D．

﹣〔﹣2〕n

12．等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，那么等比数列{an}的公比是〔　　〕

A．

﹣1

B．

2

C．

3

D．

4

13．正项等比数列{an}中，a2a5=10，那么lga3+lga4=〔　　〕

A．

﹣1

B．

1

C．

2

D．

0

14．在等比数列{bn}中，b3•b9=9，那么b6的值为〔　　〕

A．

3

B．

±3

C．

﹣3

D．

9

15．〔文〕在等比数列{an}中，，那么tan〔a1a4a9〕=〔　　〕

A．

B．

C．

D．

16．假设等比数列{an}满足a4+a8=﹣3，那么a6〔a2+2a6+a10〕=〔　　〕

A．

9

B．

6

C．

3

D．

﹣3

17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设=3，那么=〔　　〕

A．

B．

C．

D．

1

18．在等比数列{an}中，an＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，那么a4+a5=〔　　〕

A．

16

B．

27

C．

36

D．

81

19．在等比数列{an}中a2=3，那么a1a2a3=〔　　〕

A．

81

B．

27

C．

22

D．

9

20．等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=〔　　〕

A．

15

B．

10

C．

12

D．

4+log25

21．等比数列{an}中a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，那么a5a6a7=〔　　〕

A．

8

B．

±2

C．

﹣2

D．

2

22．在等比数列{an}中，假设a3a4a5a6a7=243，那么的值为〔　　〕

A．

9

B．

6

C．

3

D．

2

23．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，那么这两个数的和是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

24．等比数列1，a2，9，…，那么该等比数列的公比为〔　　〕

A．

3或﹣3

B．

3或

C．

3

D．

25．〔2011•〕数列{an}的前n项和sn满足：

sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=〔　　〕

A．

1

B．

9

C．

10

D．

55

26．在等比数列{an}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，那么a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=〔　　〕

A．

8

B．

C．

6

D．

27．等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，假设4a1，2a2，a3成等差数列，那么S4=〔　　〕

A．

7

B．

8

C．

16

D．

15

二．填空题〔共3小题〕

28．数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，那么此数列的一个通项公式是　_________　．

29．数列的前n项之和是　_________　．

30．等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，假设，那么公比q等于　_________　．

参考答案与试题解析

一．选择题〔共27小题〕

1．〔2008•〕{an}是等比数列，a2=2，a5=，那么公比q=〔　　〕

A．

B．

﹣2

C．

2

D．

考点：

等比数列．

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．

解答：

解：

∵{an}是等比数列，a2=2，a5=，

设出等比数列的公比是q，

∴a5=a2•q3，

∴==，

∴q=，

应选D

点评：

此题考查等比数列的根本量之间的关系，假设等比数列的两项，那么等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．

2．〔2006•〕在等比数列{an}中，a1=1，a10=3，那么a2a3a4a5a6a7a8a9=〔　　〕

A．

81

B．

27

C．

D．

243

考点：

等比数列．

分析：

由等比数列的性质知〔a2a9〕=〔a3a8〕=〔a4a7〕=〔a5a6〕=〔a1a10〕．

解答：

解：

因为数列{an}是等比数列，且a1=1，a10=3，

所以a2a3a4a5a6a7a8a9=〔a2a9〕〔a3a8〕〔a4a7〕〔a5a6〕=〔a1a10〕4=34=81，

应选A

点评：

此题主要考查等比数列的性质．

3．〔2006•〕如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么〔　　〕

A．

b=3，ac=9

B．

b=﹣3，ac=9

C．

b=3，ac=﹣9

D．

b=﹣3，ac=﹣9

考点：

等比数列．

分析：

由等比数列的等比中项来求解．

解答：

解：

由等比数列的性质可得ac=〔﹣1〕×〔﹣9〕=9，

b×b=9且b与奇数项的符号一样，

∴b=﹣3，

应选B

点评：

此题主要考查等比数列的等比中项的应用．

4．数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值是〔　　〕

A．

B．

﹣

C．

或﹣

D．

考点：

等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

专题：

计算题．

分析：

由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2﹣a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．

解答：

解：

∵1，a1，a2，4成等差数列，

∴3d=4﹣1=3，即d=1，

∴a2﹣a1=d=1，

又1，b1，b2，b3，4成等比数列，

∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，

又b12=b2＞0，∴b2=2，

那么=．

应选A

点评：

此题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以与等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解此题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点

5．正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，那么数列{bn}的前10项和是〔　　〕

A．

65

B．

﹣65

C．

25

D．

﹣25

考点：

等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．

专题：

计算题．

分析：

由题意可得=a2a4=1，解得a3=1，由S3=13可得a1+a2=12，，那么有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q和a1的值，

由此得到an的解析式，从而得到bn的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和．

解答：

解：

∵正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，

∴=a2a4=1，解得a3=1．

由a1+a2+a3=13，可得a1+a2=12．

设公比为q，那么有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q=，a1=9．

故an=9×=33﹣n．

故bn=log3an=3﹣n，那么数列{bn}是等差数列，它的前10项和是=﹣25，

应选D．

点评：

此题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出an=33﹣n，是解题的关键，属于根底题．

6．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于〔　　〕

A．

8

B．

16

C．

±8

D．

±16

考点：

等比数列的通项公式．

专题：

计算题．

分析：

要求a4，就要知道等比数列的通项公式，所以根据的两个等式左右两边相加得到a6，左右两边相减得到a2，根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式，联立求出a和q，得到等比数列的通项公式，令n=4即可得到．

解答：

解：

设此等比数列的首项为a，公比为q，

由a6+a2=34，a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64，解得a6=32；两个等式相减得到2a2=4，解得a2=2．

根据等比数列的通项公式可得a6=aq5=32①，a2=aq=2②，把②代入①得q4=16，所以q=2，代入②解得a=1，

所以等比数列的通项公式an=2n﹣1，那么a4=23=8．

应选A

点评：

此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件找出等比数列的通项公式．此题的关键是根据题中的条件得到数列的a2和a6．

7．数列{an}满足，其中λ为实常数，那么数列{an}〔　　〕

A．

不可能是等差数列，也不可能是等比数列

B．

不可能是等差数列，但可能是等比数列

C．

可能是等差数列，但不可能是等比数列

D．

可能是等差数列，也可能是等比数列

考点：

等差关系确实定；等比关系确实定．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

由于=n2+n﹣λ，而n2+n﹣λ不是固定的常数，不满足等比数列的定义．假设是等差数列，那么由a1+a3=2a2，解得λ=3，此时，，显然，不满足等差数列的定义，从而得出结论．

解答：

解：

由可得=n2+n﹣λ，由于n2+n﹣λ不是固定的常数，故数列不可能是等比数列．

假设数列是等差数列，那么应有a1+a3=2a2，解得λ=3．

此时，，显然，此数列不是等差数列，

应选A．

点评：

此题主要考查等差关系确实定、等比关系确实定，属于中档题．

8．数列{an}的前n项和为Sn，假设对于任意n∈N*，点Pn〔n，Sn〕都在直线y=3x+2上，那么数列{an}〔　　〕

A．

是等差数列不是等比数列

B．

是等比数列不是等差数列

C．

是常数列

D．

既不是等差数列也不是等比数列

考点：

等比关系确实定；等差关系确实定．

专题：

计算题．

分析：

由点Pn〔n，Sn〕都在直线y=3x+2上，可得Sn=3n+2，再利用an=Sn﹣Sn﹣1求解．

解答：

解：

由题意，∵点Pn〔n，Sn〕都在直线y=3x+2上

∴Sn=3n+2

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3

当n=1时，a1=5

∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列

应选D

点评：

此题的考点是等比关系确实定，主要考查由前n项和求数列的通项问题，关键是利用前n项和与通项的关系．

9．〔2012•〕{an}为等比数列，下面结论中正确的选项是〔　　〕

A．

a1+a3≥2a2

B．

C．

假设a1=a3，那么a1=a2

D．

假设a3＞a1，那么a4＞a2

考点：

等比数列的性质．

专题：

探究型．

分析：

a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；假设a1=a3，那么a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；假设a3＞a1，那么a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q〔q2﹣1〕，其正负由q的符号确定，故可得结论．

解答：

解：

设等比数列的公比为q，那么a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；

，∴，故B正确；

假设a1=a3，那么a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；

假设a3＞a1，那么a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q〔q2﹣1〕，其正负由q的符号确定，故D不正确

应选B．

点评：

此题主要考查了等比数列的性质．属根底题．

10．〔2011•〕假设等比数列an满足anan+1=16n，那么公比为〔　　〕

A．

2

B．

4

C．

8

D．

16

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2，得到第2项与第3项的积为256，记作②，然后利用②÷①，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．

解答：

解：

当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，

②÷①得：

=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4，

当q=﹣4时，由①得：

a12×〔﹣4〕=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，

那么公比q=4．

应选B

点评：

此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道根底题．学生在求出q的值后，要经过判断得到满足题意的q的值，即把q=﹣4舍去．

11．〔2010•〕等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，那么an=〔　　〕

A．

〔﹣2〕n﹣1

B．

﹣〔﹣2n﹣1〕

C．

〔﹣2〕n

D．

﹣〔﹣2〕n

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到等于q3，求出公比q的值，然后由a5＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到an的值即可．

解答：

解：

由a5=﹣8a2，得到=q3=﹣8，解得q=﹣2，

又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1

那么an=a1qn﹣1=〔﹣2〕n﹣1

应选A

点评：

此题考查学生灵活运用等比数列的性质与前n项和的公式化简求值，是一道中档题．

12．等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，那么等比数列{an}的公比是〔　　〕

A．

﹣1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的通项公式化简的两等式，得到关于首项和公比的两个方程，分别记作①和②，把①提取q后，得到的方程记作③，把②代入③即可求出q的值．

解答：

解：

由a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1得：

，

由①得：

q〔a1q4﹣2a1q〕=2③，

把②代入③得：

q=2．

应选B

点评：

此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道根底题．

13．正项等比数列{an}中，a2a5=10，那么lga3+lga4=〔　　〕

A．

﹣1

B．

1

C．

2

D．

0

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，故有lga3+lga4=lga3a4=lg10=1．

解答：

解：

∵正项等比数列{an}中，a2a5=10，∴a3a4=10，∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1，

应选B．

点评：

此题考查等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，是解题的关键．

14．在等比数列{bn}中，b3•b9=9，那么b6的值为〔　　〕

A．

3

B．

±3

C．

﹣3

D．

9

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

在等比数列{bn}中，由b3•b9=b62=9，能求出b6的值．

解答：

解：

∵在等比数列{bn}中，

b3•b9=b62=9，

∴b6=±3．

应选B．

点评：

此题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进展等价转化．

15．〔文〕在等比数列{an}中，，那么tan〔a1a4a9〕=〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：

等比数列的性质．

分析：

由，根据等比数列{an}的通项公式得a1a4a9=，再结合三角函数的性质可求出tan〔a1a4a9〕的值．

解答：

解：

∵，

∴a1a4a9=，

∴tan〔a1a4a9〕=．

应选B．

点评：

此题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意三角函数的等价转换．

16．假设等比数列{an}满足a4+a8=﹣3，那么a6〔a2+2a6+a10〕=〔　　〕

A．

9

B．

6

C．

3

D．

﹣3

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列的性质假设m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，那么有aman=apaq可得a6〔a2+2a6+a10〕=〔a4+a8〕2，进而得到答案．

解答：

解：

由题意可得：

在等比数列{an}中，假设m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，那么有aman=apaq．

因为a6〔a2+2a6+a10〕=a6a2+2a6a6+a10a6，

所以a6a2+2a6a6+a10a6=〔a4+a8〕2=9．

应选A．

点评：

解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质，并且结合正确的运算，一般以选择题的形式出现．

17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设=3，那么=〔　　〕

A．

B．

C．

D．

1

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

首先根据等比数列的前n项和对=3进展化简，求出q3，进而即可求出结果．

解答：

解：

∵=3，

∴整理得，1+q3=2，

∴q3=2

∴=

应选B．

点评：

此题考查了等比数列的关系，注意在题中把q3当作未知数，会简化运算．

18．在等比数列{an}中，an＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，那么a4+a5=〔　　〕

A．

16

B．

27

C．

36

D．

81

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值，然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果．

解答：

解：

∵a2=1﹣a1，a4=9﹣a3∴a1q+a1=1①a1q3+a1q2=9②

两式相除得，q=±3

∵an＞0

∴q=3a1=

∴a4+a5=a1q3+a1q4=27

应选B．

点评：

此题考查了等比数列的性质，熟练掌握性质是解题的关键，属于根底题．

19．在等比数列{an}中a2=3，那么a1a2a3=〔　　〕

A．

81

B．

27

C．

22

D．

9

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

由等比数列的性质可得：

a1a2a3=a23，结合题意即可得到答案．

解答：

解：

由等比数列的性质可得：

a1a2a3=a23，

因为a2=3，所以a1a2a3=a23=27．

应选B．

点评：

此题考查了等比数列的性质，解题的关键a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k，属于中档题．

20．等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=〔　　〕

A．

15

B．

10

C．

12

D．

4+log25

考点：

等比数列的性质．

专题：

计算题．

分析：

先用等比数列{an}各项均为正数，结合等比数列的性质，可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0，从而a1a2a3…a9a10=

〔a5a6〕5，然后用对数的运算性质进展化简求值，可得正确选项．

解答：

解：

∵等比数列{an}各项均为正数

∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0

∵a4a7+a5a6=16

∴a5a6=a4a7=8

根据对数的运算性质，得

log2a1+log2a2+…+log2a10=log2〔a1a2a3…a9a10〕=log2〔a5a6〕5=log2〔8〕5=15

∵〔8〕5=