因式分解全面总结练习.docx
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因式分解全面总结练习
因式分解练习题(提取公因式)
专项训练一:
确定下列各多项式的公因式。
1、ayax2
、3mx_6my
3
2
、4a10ab
4、15a25a5
、x2y_xy2
6
、12xyz-9x2y2
7、mx-ynx-y
8
、xmni亠
2
ymn
9、abc(m-n)'-ab(m-n)
10
、12x(a-b)2
3
_9m(b_a)
专项训练二:
利用乘法分配律的逆运算填空。
1、2jrR+2jrr=(R+r)2、2jrR+2jrr=2ji()
3
12122222
、一gt1+-gt2=(t1+t2)4、15a+25ab=5a()
22
专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“—”,使等
5、25x2y3-15x2y26
222
、12xyz-9xy7、3ay-3ay6y
8、a2b-5ab9b
9、-x2
xy-xz10、
-24x2y-12xy228y3
11、-3ma36ma2-12ma
12
、56x3yz14x2y2z-21xy2z2
13、15x3y25x2y-20x2y3
14
、-16x4-32x356x2
专项训练五:
把下列各式分解因式。
式成立。
1、x+y=_(x+y)2、b—a=_(a—b)
3、_zy
.(y—z)4、(y—xf=(x—y)2
5、(y_x)3=_
_(x-y)36、-(x-y)4=__(y-x)4
7、(a-b)2n二
(b_a)2n(n为自然数)
&(a-b)2n1=
=(b—a)2n^(n为自然数)
9、1-x(2-y)=(1-x)(y-2)10、1-x(2-y)=
(x-1)(y-2)
11、(a-b)2(b
-a)=(a-b)312、(a-b)2(b-a)4=
(a-b)6
专项训练四、
把下列各式分解因式。
1、nx-ny
2、a2ab3、4x3-6x24
、8m2n2mn
1、x(ab)-y(ab)
2
、5x(x-y)2y(x-y)
3、6q(pq)-4p(pq)
4
、(mn)(Pq)「(mn)(p「q)
5、a(a「b)(a「b)2
6
2
、x(x-y)-y(x-y)
7、(2ab)(2a-3b)-3a(2a-b)
8
2
、x(xy)(x_y)_x(xy)
9、p(x-y)-q(y-x)
10
、m(a-3)2(3-a)
11、(ab)(a_b)_(ba)
12
、a(x「a)b(a「x)-c(x「a)
1、7.6199.84.3199.8-1.9199.82
、2.1861.237-1.2371.186
13、3(x-1)3y-(1-x)3z14
_ab(a-b)2a(b-a)2
3212019
、(-3)亠(-3)亠63
4、198420032009200319841984
15、mx(a_b)-nx(b_a)
16、专项训练七:
利用因式分解证明下列各题。
(a-2b)(2a-3b)-5a(2b-a)(3b-2a)
1、求证:
当n为整数时,n2•n必能被2整除。
17、(3ab)(3a-b)•(a-b)(b-3a)
18
2
、a(x-y)b(y「X)
19、x(x-y)2-2(y-x)3-(y-x)2
20
、(x_a)3(x_b)(a_x)2(b_x)
2、证明:
一个二位数的百位上数字与个位上数字交换位置,则所
得的二位数与原数之差能被99整除。
专项训练六、利用因式分解计算。
专项训练八:
利用因式分解解答列各题。
1、已知a+b=13,ab=40,求2a2b+2ab2的值。
2、已知ab=2,ab=1,求a3b+2a2b2+ab3的值。
32
因式分解习题
(二)
专题训练一:
利用平方差公式分解因式
题型
(一):
把下列各式分解因式
15、16a4—b4
16
1444
、一a-16b4m4
81
题型
(二):
把下列各式分解因式
〔、(xp)2-(xq)2
2
22
、(3m2n)-(m-n)
3、16(a-b)2-9(ab)2
4
22
、9(x-y)-4(xy)
5、(abc)2-(ab-c)2
6
、4a2-(bc)2
1、
X2-4
2
2
、9_y
3
、1-a2
4、
4x2-
2
y
5
、1-25b2
6
222
、xy-z
7、
42m
-0.01b2
8
21
、a__x
29
、36-m2n2
9
9
10、
4x2
-9y2
11
、0.81a2
-16b212
、25p2-49q
13、
a2x
4.22
-by
14
、x4-1
题型(三):
把下列各式分解因式
1、
53
x-x
2
22
、4ax-ay
3
3
、2ab-2ab
4、
X3-16x
5
24
、3ax-3ay
6
、x2(2x-5)4(5-2x)
7、
32
x-4xy
8
、32x3y4-2x3
9
44
、ma-16mb
10
2
、-8a(a1)
2a3
11、-
ax416a
12、
22
16mx(a-b)_9mx(ab)
专题训练二:
利用完全平方公式分解因式
题型
(一):
把下列各式分解因式
题型(四):
利用因式分解解答下列各题
1、证明:
两个连续奇数的平方差是8的倍数
1、x22x1
2
、4a24a13
2
、1-6y9y
2m
4、1■m-
4
5
、x2-2x16
2
、a-8a16
7、1-4t4t2
8
、m-14m499
2
、b-22b121
10、y2y」
4
11
、25m-80m6412
、4a236a81
13、4p2-20pq
25q214
2
x2
、一xyy15
4
22
、4xy-4xy
2、计算
⑴7582-2582
⑶3.529-254
⑵4292-171题型
(二):
把下列各式分解因式
1、(xy)26(xy)92
、a2「2a(bc)(bc)2
3、4_12(x_y)9(x_y)2
、(mn)24m(mn)4m2
5、(xy)「4(xy-1)
6、(a1)24a(a1)4a2
9、x4-8x2y216y410、(ab)2-8(a2-b2)16(a-b)2
题型(三):
把下列各式分解因式
1、2xy-x^-y22、4xy2_4x2y_y33
_a2a2_a3
题型(四):
把下列各式分解因式
1、—x22xy2y22
2
3、ax22a2xa34
4223
、x25xy10xy
、(x2y2)2-4x2y2
题型(五):
利用因式分解解答下列各题
1、已知:
x=12,y=8,求代数式」x2•xy•」y2的值。
22
3
2、已知a•b=2,ab,求代数式a3b+ab3-2a2b2的值。
2
3、已知:
a、b、cABC的三边,且a2•b2•c2-ab-be-ac=0,
判断三角形的形状,并说明理由。
5、(a2ab)2「(3ab4b2)26
、(xy)4-18(xy)281
7、(a21)2-4a(a21)4a28
、a4-2a2(bc)2(bc)4
因式分解习题(三)
十字相乘法分解因式
(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
方法的特征是“拆常数项,凑一次项”
当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;
当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
22
ax+bx+c=aja2x+(aQ2+a2cjx+^6=(a/+cj(a2x+c2)
它的特征是“拆两头,凑中间”
当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然
后再看常数项;
常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系
数的符号相同;
常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意:
用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:
一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.
二、典型例题
例5、分解因式:
x25x6
分析:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2X3=(-2)x(-3)=1X6=(-1)x(-6),从中可以发
现只有2X3的分解
适合,即2+3=5。
解:
X25x6=x2(23)x23
12
X
13
=(x2)(x3)
1X2+1X3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1
、分解因式:
x2-7x6
解:
原式=x2•[(-1)•(-6)]x•
(-1)(-6)1
-1
|___一1
=(x_1)(x_6)
1-6
X
(-1)
+(-6)
=-7
练习
1、分解因式
(1)
x214x24
(2)a2-15a36
⑶x
:
24x-5
练习
2、分解因式
(1)
x2x_2
(2)y2-2y-15
⑶x
:
2-10x-24
(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax2bxc
条件:
(1)a=
(2)c二Ge?
b=a©a2Ci
分解结果:
ax2bxc=(a-|Xc1)(a2xc2)
例2、分解因式:
3x2-11x10
分析:
1
3-5
(-6)+(-5)=-11
解:
3x2-11x10=(x-2)(3x-5)
练习3、分解因式:
(1)5x27x-6
(2)3x2-7x2
(3)10x2-17x3
(4)-6y211y10
(三)多字母的二次多项式
例3、分解因式:
a2-8ab「128b2
分析:
将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用
十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解:
a2-8ab-128b2=a2[8b(-16b)]a8b(-16b)
练习4、分解因式
(1)x2-3xy2y2
(3)a2-ab-6b2
-2
(-3y)+(-4y)=
(-1)+(-2)=-3
解:
原式=(x-2y)(2x-3y)
练习5、分解因式:
(1)15x27xy-4y2
(a-8b)(a-16b)
(2)m2-6mn8n2
例10、x2y2-3xy2
把xy看作一个整体1
X
1
-7y
解:
原式=(xy-1)(xy-2)
(2)a2x2-6ax8
(1)8x6-7x3-1
(3)(xy)2-3(xy)-10
(5)x2y2-5x2y-6x2
(2)12x2-11xy-15y2
课后练习
一、选择题
(7)x24xy4y2_2x-4y_3
(9)4x2-4xy-6x3yy2-10
1
.如
果
2
x「pxq=(xa)(xb),
那么
P
等于
(6)
22
m-4mn4n-3m6n2
(
)
A.ab
B
.a+bC.
—ab
D
(a+b)
(8)
5(ab)223(a2-b2)-10(a-b)2
2
.如
果
22
x(ab)x5b=x-x-30
则
b为
(
)
(10)
2222
12(xy)211(x-y2)2(x-y)2
A.5
B
—6C
—5
D
.6
3.
多项式x2
-3xa
可分解为(x—5)(x—b),
则a,b
的值分别为
(4)(ab)2-4a-4b3
思考:
分解因式:
abcx2-(a2b2c2)x-abc
例5分解因式:
(x22x-3)(x22x-24)90.
A.10和—2
B
.—10和2
C
.10和2D.—
10和—2
4.不能
用
十字相
乘
法分解的是
()
()
A.x2x-2
B.
22
3x「10x3x
C.4x2x2
例6、已知x46x2x12有一个因式是x2ax4,求a值和这个多
D.5x2-6xy-8y2
5.分解结果等于(x+y-4)(2x+2y-5)的多项式是
A.2(xy)2_13(xy)20B.(2x2y)2-13(xy)20
C.2(xy)213(xy)20D.2(xy)2-9(xy)20
6.将下述多项式分解后,有相同因式x-1的多项式有()
①x2-7x6;②3x22x-1;③x25x-6;
④4x2-5x-9;⑤15x2-23x8;⑥x411x^12
A.2个B.3个C
.4个D
.5
个
、
填空题
7.
x2+3x-10=.
8.
2
m-5m-6=(m+a)(m+b).a=
,b=
9.2x2-5x-3=(x-3)().
10.x2-2y2=(X-y)().
11.a2-a(H(——)2.
m
12.当k=时,多项式3x2+7x-k有一个因式为().
13•若x—y=6,xy=±,则代数式x3y-2x2y2+xy3的值为.
36
三、解答题
(3)4x4-65x2y216y4;
(4)a6-7a3b3-8b6;(5)6a4-5a3-4a2;
(6)4a6-37a4b29a2b4.
15.把下列各式分解因式:
(1)(x2—3)2—4x2;
(2)x2(x—2)2—9;
(3)(3x2x1)-(2x3x3);
(4)(x2x)2-17(x2x)60;
(5)(x22x)2-7(x22x)-8
(6)(2ab)2-14(2ab)48.
16.已知x+y=2,xy=a+4,x3•y3=26,求a的值.
14.把下列各式分解因式:
(1)x4-7x26;
题型
(一):
把下列各式分解因式
⑴x25x6
⑵x2-5x6
(7)(xy)26(xy)「16
(8)(xy)27(xy)-30
⑶x25x-6
⑷x2-5x-6
题型(四):
把下列各式分解因式
⑴(x23x)2-2(x23x)-8
⑵(x2-2x)(x2-2x-2)-3
⑸a2-7a10
⑹b28b-20
⑶3x3-18x2y-48xy2
⑷(x25x)2-2(x25x)-24
⑺a2b2-2ab-15
⑻a4b2-3a2b-18
⑸(x22x)(x22x-7)-8
⑹x4-5x24
题型
(二):
把下列各式分解因式
⑴)a2-4ab3b2
⑶a2-7ab-10b2
⑸x2-2xy-15y2
⑺x24xy-21y2
题型(三):
把下列各式分解因式
⑴(xy)2-4(xy)-12
⑶(xy)28(xy)-20
⑸(xy)2-9(xy)14
⑵x2-3xy-10y2
(⑷x28xy-20y2
(6)x25xy「6y2
⑻x27xy12y2
7)x2y-3xy2-10y3
⑻a2b2-7ab310b4
⑵(xy)2-5(xy)-6
⑷(xy)2-3(xy)-28
⑹(xy)25(xy)4
因式分解习题(四)
练习:
把下列各式分解因式,并说明运用了分组分解法中的什
么方法.
(1)a2-ab+3b—3a;
⑵x2—6xy+9y2—
(3)am—an—m2+n?
⑷2ab-a2-b2+c2.
第
(1)题分组后,两组各提取公因式,两组之间继续提取公因式.
第
(2)题把前三项分为一组,利用完全平方公式分解因式,再
与第四项运用平方差公式
继续分解因式.
第(3)题把前两项分为一组,提取公因式,后两项分为一组,
用平方差公式分解因式,然后两组之间再提取公因式.
第(4)题把第一、二、三项分为一组,提出一个“―”号,利用完全平方公式分解因式
第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.
把含有四项的多项式进行因式分解时,先根据所给的多项式的特点恰当分解,再运
用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时,要注意符号的变
化.
这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式•
二、新课
例1把am+bm+an-cm+bn—cn分解因式.
例2把a4b+2a3b2-a2b-2ab2分解因式.
例3把45m2-20ax2+20axy—5ay2分解因式.
三、课堂练习
(2)a2-2ab+b2-m2-
把下列各式分解因式:
(1)a2+2ab+b2—ac—be;2mn-n2;
⑶4a2+4a—4a2b+b+1;
8axy;
⑷ax2+16ay2—a—
(9)x26x—7
22
x-2xyy2x_2y_3
(10)
五、作业
1.把下列各式分解因式:
(1)x3y—xy3;
(2)4x2—y2+2x—y;
(3)a4b—ab4;
x2y-2xy2;
(4)x4y+2x3y2
(5)a4+a3+a+1;
2xy—4y2;
(6)x3
—8y3—x2—
⑺x2+x—(y2+y);
(8)ab(x2
y2)+xy(a2—b2).
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