完整版三角函数知识点归纳总结总结推荐文档.docx
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【知识网络】
《三角函数》
应用
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一、任意角的概念与弧度制
1、将沿x轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角
2、同终边的角可表示为{=+k360︒}(k∈Z)x
轴上角:
{=k180}(k∈Z)
y轴上角:
{=90+k180}(k∈Z)
3、第一象限角:
{0+k360︒<<90+k360︒}(k∈Z)
第二象限角:
{90+k360︒<<180+k360︒}(k∈Z)第三象限角:
{180+k360︒<<270+k360︒}(k∈Z)第四象限角:
{270+k360︒<<360+k360︒}(k∈Z)
4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角
第一象限角:
{0+k360︒<<90+k360︒}(k∈Z)
锐角:
{0<<90}小于90的角:
{<90}
5、若为第二象限角,那么为第几象限角?
2
+2k≤≤+2k
+k≤
≤+k
2
4522
k=0,≤≤,
k=1,≤≤3,
4242
a
所以在第一、三象限
2
6、弧度制:
弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad.
7、角度与弧度的转化:
1︒=
8、角度与弧度对应表:
180
≈0.017451=180︒≈57.30︒=57︒18'
a
角度
0︒
30︒
45︒
60︒
90
120︒
135︒
150︒
180︒
360︒
弧度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
2
9、弧长与面积计算公式
弧长:
l=⨯R;面积:
S=1l⨯R=1⨯R2,注意:
这里的均为弧度制.
22
二、任意角的三角函数
yxy
1、正弦:
sin=;余弦cos=;正切tan=
rrx
其中(x,y)为角终边上任意点坐标,r=.
2、三角函数值对应表:
度
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270︒
360
弧度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
1
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
2
-2
2
-3
2
-1
0
1
tan
0
3
3
1
3
无
-3
-1
-3
3
0
无
0
3、三角函数在各象限中的符号
口诀:
一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全stc”)
sintancos
第一象限:
.x>0,y>0sinα>0,cosα>0,tanα>0,
第二象限:
.x<0,y>0sinα>0,cosα<0,tanα<0,
第三象限:
.x<0,y<0
第四象限:
.x>0,y<0
sinα<0,cosα<0,tanα>0,sinα<0,cosα>0,tanα<0,
4、三角函数线
设任意角的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与P
(x,y),
过P作x轴的垂线,垂足为M;过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交于点T.
y
P
A
Mox
(ⅡT
)
..
(Ⅲ(Ⅳ
由四个图看出:
))
当角的终边不在坐标轴上时,有向线段OM=x,MP=y,于是有
sin=y=y=y=MP,cos=x=x=x=OM
,
r1r1
tan=y=MP=AT=AT.
xOMOA
我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。
5、同角三角函数基本关系式
sin2+cos2=1
tan=sin⇒tancot=1cos
(sin+cos)2=1+2sincos(sin-cos)2=1-2sincos
(sin+cos,sin-cos,sin∙cos,三式之间可以互相表示)
6、诱导公式
n+
口诀:
奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是2中整数n的奇偶性,把看作锐角)
⎧(-n⎧n
n⎪
1)
2sin,n为偶数n⎪(-1)2cos,n为偶数
sin(2+)=⎨n-1;cos(2+)=⎨
n+1.
⎩⎩
⎪(-1)2cos,n为奇数⎪(-1)2sin,n为奇数
①.公式
(一):
与+2k,(k∈Z)
sin(+2k)=sin;cos(+2k)=cos;tan(+2k)=tan
②.公式
(二):
与-
sin(-)=-sin;cos(-)=cos;tan(-)=-tan
③.公式(三):
与+
sin(+)=-sin;cos(+)=-cos;tan(+)=tan
④.公式(四):
与-
sin(-)=sin;cos(-)=-cos;tan(-)=-tan
⑤.公式(五):
与+
2
⎛⎫
⎛⎫
sinç2+⎪=cos;cosç2+⎪
=-sin;
⎝⎭⎝⎭
⑥.公式(六):
与-
2
⎛⎫⎛⎫
sinç2-⎪=cos;cosç2-⎪=sin;
⎝⎭⎝⎭
⑦.公式(七):
与3
+
2
sin⎛3+⎫=-cos;cos⎛3
⎫=sin;
ç2⎪ç2+⎪
⎝⎭⎝⎭
⑧.公式(八):
与3
-
2
sin⎛3-⎫=-cos;cos⎛3
⎫=-sin;
ç2⎪ç2-⎪
⎝⎭⎝⎭
3、三角函数的图像与性质
1、将函数y=sinx的图象上所有的点,向左(右)平移个单位长度,得到函数
y=sin(x+)的图象;再将函数y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)
1
到原来的
a
倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x+)的图象;再将函数
y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍(横坐标不变),得到函数y=Asin(x+)的图象。
2、函数y=Asin(x+)(A>0,>0)的性质:
①振幅:
A;②周期:
T=2f=1=;④相位:
x+;⑤初相:
T2
。
3、周期函数:
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一
个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,T叫做该函数的周期.
k
4、⑴y=Asin(x+)对称轴:
令x+=k+
k-
+-
,得x=2
2
对称中心:
x+=k,得x=
,
(k-∈Z);
0)(k
k-
⑵y=Acos(x+)对称轴:
令x+=k,得x=;
k
对称中心:
x+=
k+,得x=
+-k+
2,(
-
2,0)(k∈
Z);
⑶周期公式:
2
①函数y=Asin(x+)及y=Acos(x+)的周期T=2(A、ω、为常数,且
A≠0).
②函数y=Atan(x+)的周期T=(A、ω、为常数,且A≠0).
5、三角函数的图像与性质表格
函数
性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图像
定义域
R
R
⎧xx≠k+k∈Z⎫
⎨,⎬
⎩2⎭
值
[-1,1]
[-1,1]
R
3
6.五点法作y=Asin(x+)的简图,设t=x+,取0、应x的值以及对应的y值再描点作图。
、、、2来求相22
7.y=Asin(ωx+ϕ)的的图像
8.函数的变换:
(1)函数的平移变换
①y=f(x)→y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位
(左加右减)
②y=f(x)→y=f(x)±b(b>0)将y=f(x)图像沿y轴向上(下)平移b个单位
(上加下减)
(2)函数的伸缩变换:
①y=f(x)→y=f(wx)(w>0)将y=f(x)图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的
1倍(w>1缩短,
w
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