一元二次函数教案.docx
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一元二次函数教案
二次函数教案,a≠0a),b,c为常数,(教学应从生活中的实例引出二次函数,进而总结出二次函数定义:
它是从实践中来,上升为理论的方法,使学生由感性到理性,感的二次函数.那么y叫做x的图象,,y=-x2到真实贴切,易于接受.进而引导学生自己列表,动手画出二次函数y=x2为基础,以具体实例研究,然后由以二次函数y=ax2总结出其性质,图象的形状--抛物线.要始终把由特殊到一般的思维方法孕育在教学中,把.两个特殊型过渡到一般型的二次函数再通过描点画出二次函数配方法交给学生,待定系数法确定二次函数解析式展现给同学们,图象是轴的图象,结合图象确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、图象的平移规律.结合二次方程的有关知对称图形,并由二次函数的一般形式,通过配方写成顶点式的形式;三种形式实质是一致的,各有千秋,要向学生揭示各种识,由一般式可写成截距式的形式.轴有交点时,可选[如知其抛物线过三点时,可选用一般式求解;知其图象与x形式的特点.
用截距式求解],以例在求函数解析式时灵活运用要求动手画图,配方法、待定系数法.在教学中,要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法、.动脑思考,精心观察,培养学生的各种思维方法
批点迷津
如二次函数这一内容,必须牢记数形结合法进行思维,知其三点求二次函数解析式的方法.是求二次函数解析式的关键所几何、锐角三角函数及生活实际等找到这三点,何结合代数、在,要根据其性质、平移规律等进行思维,精心观察,数形结合,才能找到解题的突破口,取值一般地说,二次函数的图象是一条抛物线,那么x并根据自变量的取值范围画出图象.根据实际问.x范围必须是实数的取值范围在某一区间,则所画图象只是抛物线的一部分.若.
总之,要根据自变量的取值范围具体画出图象题,有时是整数点..这根主线,对动静的互相转化的辩证关系也要把握适时在本单元,除抓住数形结合法
航海导二、学
思维基础
。
,顶点从标是,对称轴是
(一)1.二次函数的图象的开口方向是向
.的值等于x轴上,则m2.抛物线的顶点在,再向左平移个单位,就得到第二条抛物)3.如果把第一条抛物线向上平移个单位(a?
0
线,已知第一条抛物线过点(0,4),则第一条抛物线的函数关系式是
.
(二)1.如图代13-3-1所示二次函数的图象,则有()
图代13-3-1图代13-3-2
A.a+b+c?
0B.a+b+c=0C.a+b+c?
0D.a+b+c的符号不定
2.如图1-3-2是抛物线的图象,则下列完全符合条件的是()
A.a?
0,b?
0,c?
0,b2?
4acB.a?
0,b?
0,c?
0,b2?
4ac
C.a?
0,b?
0,c?
0,b2?
4acD.a?
0,b?
0,c?
0,b2?
4ac
3.已知抛物线的对称轴为x=1,与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6,),则此二次函数的解析式为(3轴的交点到原点的距离为y且与
或A.
或B.
或C.
或D.
学法指要
例在直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A在点B的左边,若∠ACB=90°,.
(1)求点C的坐标及这个二次函数的解析式;
(2)试设计两种方案,作一条与y轴不生命,与△ABC的两边相交的直线,使截得的
三角形与△ABC相似,并且面积是△AOC面积的四分之一.
【思考】(第一问)1.坐标轴上点的坐标有何特点?
2.如何求抛物线与y轴的交
点坐标?
3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标?
4.线段与坐标之间有何种关系?
你会用坐标表示线段吗?
【思路分析】本例必须准确设出A,B两点坐标,再求出C点坐标,并会用它们表
示线段的长,将代数问题转化为几何问题,再由几何问题转化为代数问题,相互转化,相互转化,水到渠成.
解:
(1)依题意,设A(a,0),B(,0)其中a?
0,β?
0,则a,β是方程
∴AOC∽△COB。
把A(-4,0)代入①,得
解这个方程得n=2.
∴所求的二次函数的解析式为
现在来解答第二问。
【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件?
什么样的三角形与△ABC相似?
在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比?
在一个图形上作一和直线,需要确定什么?
△ABC是一个什么样的三角形?
【思路分析】①所求的三角形与△ABC相似;②所求的三角形面积=
所求三角形若与△ABC相似,要具备有两角对应相等,两边对应成比例且夹角相等,三边对应成比例等判定两三角形相似的条件。
在两三角形相似的条件下,两三角形面积的比等于相似的平方,即找相似比等于1:
2.
在一个图形上,截得一个三角形,需要作一条直线,作一条直线应在图形上确定两个点,且这条直线不能与y轴重合。
分析至此问题十分明确,即在△ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。
再来分析△ABC是一个什么样的三角形,猜测它是直角三角形最为理想。
从第一问得知的条件A(-4,0)B(1,0),C(0,-2)可用勾股定理推出,△ABC确是直角三角形。
这样△ABC∽△CAO∽△BCO,且为作符合条件的直线提供了条件。
下边分述作符合条件直线的方案。
方案1:
依据三角形两边中点的连线,截得的三角形与原三角形相似,其相似比是1:
2,。
1:
4面积的比为
,∥OC,过D作DD?
作法:
取AO的中点D的中点。
是AC∴D?
2,AD:
AO=1:
∴
AD?
D=.
△即ABC.
ACO∽△△AD?
D∽△
13-3-3
图代AD?
D是所求作的三角形。
∴DD?
是所求作的直线,COB。
△BCF△方案2:
利用∠C作一个,连结EF,则△上截取CF,使CF=BO=1BCF上截取作法:
在CACE,使CE=CO=2,在CB即为所求,如图代13-3-4所示。
请读者证明。
图代13-3-4图代13-3-5
方案3:
在AC上截取AG,使AG=CO=2,在AB上截取AH,使AH=BC=,连结GH,则△AGH为所求,如图代13-3-5所示,请读者去证明。
方案4:
在CA上截取CM,使CM=BO=1,在CB上截取CN,使CN=CO=2,连结MN,则△CMN为所求,如图代13-3-6所示,请读者去证明。
图代13-3-6图代13-3-7
方案5:
在BA上截取BP,使BP=BC=,在BC上截取BQ,使BQ=BO=1,连结PQ,则△BPQ为所示,如图代13-3-7所示。
请读者去证明。
思维体操
例一运动员推铅球,铅球刚出手时离地面米,铅球落地点距离铅球刚出手时
相应地面上的点10米,铅球运行中最高点离地面3米,已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.
图代13-3-8
如图,结合题意,知抛物线过,用一般式:
解之,于是有
解方程组,得
;
.
∴所求抛物线解析式为
或.
∵,这时,抛物线的最高点(-20,3)不在运动员与铅球落地之间,不合题意,舍去.
∴所求抛物线解析式为
(0≤x≤10).
【扩散2】仿扩散1知抛物线过.因B为顶点,所以利用顶点式最宜,于是可设抛物线的解析式为
.
又其图象过A,C两点,则
解方程组,得
;
.
∵抛物线最高点(-20,3)不在运动员和铅球之间,不合题意,∴舍去.
故所求抛物线的解析式是(0≤x≤10).
【扩散3】抛物线与x轴交于两点,即D(x,0),C(10,0),联想截距式解之.
于是设抛物线解析式为,
其图象又过A,C两点,则有
,∴.
又
,
∴.②
①②联立解方程组,得
;
.
但不合题意,舍去.
故所求二次函数解析式为(0≤x≤10).
【扩散4】由抛物线对称性,设对称点,B(m,3),又C(10,0),应用一般式可获解.
设抛物线,则可得
解这个方程组,得
.
∵(m,3)在第一象限,∴m?
0.
∴m=-20(舍去),∴m=4.
进而求得:
故所求抛物线解析式是:
(0≤x≤10).
【扩散5】如图,这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图,在地面O,A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β,OA=1千米,tgα=,tgβ=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹,该导弹运行达到距地面最大高度3千米时,相应的水平距离为4千米(即图中的E点).
(1)若导弹运行轨道为一抛物线,求该抛物线的解析式;
(2)说明按
(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.
【思路分析】
①本例应用扩散1~4思路均可,尤以扩散2应用顶点式最佳,读者可仿扩散2求得抛
物线解析式为:
(0≤x≤10).
②过点C作CB⊥Ox,垂足为B,然后解Rt△OBC和Rt△ABC,可求得点在抛
物线上,因此可击中目标C(请读者自己写出完整解答过程).
【扩散6】有一抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m,现
把它的图形放在坐标系里(如图所示),若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶,这铁柱应取多长?
图代13-3-9
【思路分析】本例仿扩散2可设抛物线解析式为(0≤x≤40),
又抛物线过原点,进而求得,在距离M点5m处,即它们的横坐标是x1=15或x2=25,分.
长15m所以铁柱应取y1=y2=15.别代入抛物线解析式,求得.
,抛物线应用从体育方面,扩散到军事,涉及现代科技、导弹、【评析】由扩散1~6进而又扩散到桥梁建筑,涉及到现代化建设的方方面面,告诉同学们,必须学.直升飞机等.
好课本知识,才能适应现代化的需要
13-3-10
图代本例的解题思路扩散,把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示,.我们可以根据不同的情况,迅速进行决策,选设不同的解析式,达到求解的目的
显示三、智能
心中有数
在解有关二次函数的问题时,应用待二次函数的知识,是初中三年级数学的重点内容.定系数法和方程、方程组的知识,用到数形结合、观察、想象的思想方法,应当深入理解和.掌握这部分知识
动手动脑
件,现在采10元出售时,每天可销售1001.某商人如果将进货价为8元的商品按每件其销售量就要减用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提高1元,少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚利润为最大,并求出最大利润?
y轴交于C点,若2.已知抛物线与x轴交于A,B两点,与.是等腰三角形,求抛物线的解析式△ABC.
3.已知抛物线.0)(2,1取何值,抛物线与)求证:
不论mx轴必有两个交点,并且有一个交点是A(与md之间的函数关系式.,轴的另一个交点为BAB的长为d,求
(2)设抛物线与x(3)当d=10,P(a,b)为抛物线上一点.
①当△ABP是直角三角形时,求b的值;
②当△APB是锐角三角形、钝角三角形时,分别写出b的范围(不要求写出解答过程).
创新园地
例如图,有一模型拱门,其拱门的徒刑为抛物线的一部分(该抛物线为二次函数
的图形),拱门宽AB=20cm,拱门高PO为8cm,已知小明的玩具车宽为12cm,车高hcm,就能顺利通过这拱门,那么满足这个条件h的最大整数为.
提示:
本例没有告知拱门所在坐标,这就需要我们自己建立直角坐标系后
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