精品非线性微分方程51329.docx
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精品非线性微分方程51329
高阶微分方程的降价技巧
作者:
陈思指导老师:
张海
摘要:
一般的高阶微分方程没有普遍的解法,处理问题的基本原则是降价,利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。
因为一般说来,低价微分方程的求解比高阶微分方程方便些,特别地,对于二阶(变系数)齐次线性微分方程,如能知道它的一个非零特解,则可利用降价求得与它线性无关的另一特解,从而得到方程的通解,对于非齐次线性微分方程,只需运用常系数变异法求出它的一个特解,就能求通解。
本文总结了一些基本的降价技巧并举例说明。
关键词:
方程,降阶,技巧,解,特解,通解,微分方程
1引言:
价微分方程的求解比高阶微分方程方便,通常,高阶微分方程的求解方法是先进行降阶,将其降为低阶微分方程再求其解。
本文先介绍了三类基本的二阶微分方程的降价技巧,然后又总结了一些更高阶的微分方程的降阶及求解。
2形如
型
2.1降阶技巧;
设
两端积分,即有:
再积分一次,得
函数为方程的通解
2.2例:
求解二阶微分方程
解:
两端积分,得:
再积分,得
总结小语:
同样的方法可以求出形如
的通解
3形如
型
3.1设二阶微分方程为
,方程中不显含未知函数
,令:
,则
故原方程变为
,设其通解为
:
若
的原函数为
则原方程的通解为:
3.2求解
解:
令
则原方程变形为:
此方程为一阶线性微分方程:
所以原方程的通解为:
4形如
型
4.1对于
这种类型的方程,不显含
,
做变换:
则:
则原方程变为:
从而化为一阶微分方程
4.2例:
求二阶微分方程
解:
令
,则原方程变为:
消去:
即:
即
故原方程的通解为:
5形如
型(3)
5.1对于
的n阶方程,将
表示为参数的
函数,得到与(3)等价的参数方程
(4)
积分(4)的第二个方程:
继续下去,求得:
于是,方程的解为:
(5)
5.2例;解
解:
令
,则
则,
若将视为参数,则上式与
一起给出原方程的解。
6形如
型
5.1对于
(6),
若可以解出
(7),
令
,得
,
积分可得:
若解得:
即:
积分可得:
若从(6)中解不出
,用参数
表示
,
,
经过积分可得(6)的参数形式的解为:
5.2例2解方程:
解:
令
,得到:
,即
,
积分可得:
所以:
所以:
又因:
故:
上式与表达式:
一起为原方程参数形式的解,其中p为参数。
若从它们中消去参数p,得到显示解:
(其中
,
)
6形如
型
对于
(8)的n阶方程,在令
以后,将(8)化成(n-k)阶的方程
(9)
若方程(9)可以积分,求得:
即:
连续积分k次,可求得(8)的解:
例3:
求方程
的解
解:
令
,则方程化为:
这是一阶方程,积分可得:
,即
于是:
(其中
,
,…
为任意常数),这就是原方程的通解。
7形如
型
若令
,并以它为新未知函数,而视
为新自变量,则方程可以降低一阶。
对于:
(10)
的n阶方程‘
令
(11)
(12)
将(11)(12)代入(10),得到一个关于函数z和自变量y的n-1阶方程,若此方程可以积分,最后可得到关于y的一阶方程
例:
解方程
解:
令:
,
化原方程为
,
再令:
得
解得:
即:
,
积分可得:
用
除两边,假定
;
另一方面,验算知
为一特解
8形如
型,
对于
(13)的
阶方程,若左端关于
是
次的齐次函数
即:
令:
(13)则:
(14)
将(4),(5)代入(13),得到关于未知函数
的
阶方程
若求得(16)的通解
即
积分(17),得到
例5:
解方程:
解:
令
,
,
化原方程为
解得:
则:
当约去因子
时,假定
,经核验,
仍为一特解,但此解可以包含在通解之中。
9形如
型的方程
对于
(18)的
阶方程,若左端关于
是
次的齐次函数,即;
令
;(19)则:
(20)
将(19)(20)代入(18),由齐次性得知:
方程(21)不显含自变数的阶方程,可用6的方法求解。
例6解方程:
解:
这是左端关于
的三次齐次函数
令
则:
代入原方程,消去公因子
得到:
再令:
,得:
由
,得出
再积分得:
;即:
由
得:
,
,但此解不包含在通解中。
10形如
型的方程
对于
(22)的
阶方程,若将
算作一次,
算作
次,即
为
次,
为
次,
为
次时,(22)的左端是齐次函数。
令
(23)
则
(24)
将(23)和(24)代入(22),得到一个不显含自变量的方程,可用4的方法求解。
例7解方程
解:
将
算作一次,
算作两次时,所给方程的左端为四次齐次函数
令
,则
代入原方程,消去因子
后,得出
令
上式化为:
由
。
得
,即
当
时,由
,得出
即:
当
时,同理
由
,可得:
11恰当导数方程
定义:
假如方程
(1.8)的左端恰为某一函数
对x的导数,即(1.8)可化为:
则(1.8)称为恰当导数方程。
降阶技巧:
这类方程的解法与全微分方程的解法相类似,显然可降低一阶,成为:
之后再设法求解这个方程。
例5求解
解:
易知可将方程写为
故有
:
即:
积分后即得通解
:
例6求解
解:
先将两端同乘不为0的因子
,则有:
故
,从而通解为
评析:
这一段解法的技巧性较高,关键是配导数的方法。
12形如
型
对于
(25)的n阶方程,若
,则
(26)
为方程(25)的首次积分。
这样就把方程降低一阶。
有时方程(25)的左端虽不是恰当导数,但乘以因子
后求得首次积分
例8解方程
解:
因为
所以
积分可得
13齐次线性微分方程:
(4.2)方程(4.2)的求解问题可归结为寻求方程的n个线性无关的特解
思路:
若知道方程的k个线性无关的特解,则可通过一系列同类型的变换,使方程降低k阶,并且新得到的阶方程,也是齐次线性的。
降阶技巧:
设
是方程(4.2)的k个线性无关解,
令
直接解得:
(*)
(*)式代入(4.2),得到
令,用除方程各项,
得到:
(4.67)为n-1阶齐次线性微分方程
由知
方程(4.67)有n-1阶齐次线性微分方程
由
,即
方程(4.67)有k-1个线性无关解
令
,即
,其中
是常数。
那么,就有:
即:
又因:
线性无关,所以:
从而
线性无关
对方程(4.67)仿以上做法,令
,可将方程化为关于
的
阶齐次线性微分方程
(4.68)
评析:
由此讨论知:
利用k个线性无关特解当中的一个解
,可以把方程(4.2)降低一阶,成为阶齐次线性微分方程(4.67),并且知道它的
个线性无关解,而利用两个线性无关解,则可把方程(4.2)降低两阶,成为
阶齐次线性微分方程(4.68),同时知道它的k-2个线性无关解
………………………….
依此类推,继续上面的做法,若利用了方程的
个线性无关解
。
则最后我们就得到一个
阶的齐次线性微分方程,这就是说把方程(4.2)降低了
阶
14二阶齐次线性微分方程
(4.69)
降阶技巧:
只要知道方程的一个非零特解,则利用变换,可将方程降一阶,
,作此变换:
方程化为:
(一阶线性微分方程)解得:
因而
(4.70)
这里
为任意常数
检验:
取
,得方程(4.69)的一个特解:
,显然它与
线性无关
所以(4.70)为(4.69)的通解,包含了方程(4.69)的所有解
例4已知
是方程
的解,试求方程的通解
解:
这里
由(4.70)得到:
其中是
任意常数,这就是方程的通解
非齐次线性微分方程:
设有线性n阶方程:
(39)
其中
都是
在某一区间
中的连续函数
方程:
(40)
称为与(39)对应的线性齐次方程,而(39)称为齐次的。
定理2设
是方程(40)的
个线性无关解,称为基本解组,则(40)的通解是
其中
为任意常数
定理3。
如果已知方程(40)的k个线性无关解,则(40)可以降低为n-k阶方程,如果已知方程(40)的n-1个线性无关解,则(40)的通解也可以得到。
例6求方程:
的通解,设已知它有特解
。
解:
令
,则
其中
为任意常数
一起代入(49),得到新的未知函数
所满足的方程:
(50)
再令
,,得到
的二阶方程:
由于(49)有特解
,故(50)有特解
,(51)有特解:
令在(51)中再令
,则:
一起代入(51)式,得到v所满足的方程:
再令
,得到
所满足的一阶方程:
易求方程(52)的一个特解为:
积分,得到
从而
再积分,得到:
从而
,最后,根据定理2,得到(49)的通解为:
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