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中考数学试题含答案
2020 年初中毕业生学业考试
数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:
本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的.
1.咸宁冬季里某一天的气温为- 3 ℃2 ℃ ,则这一天的温差是()
A.1℃B.-1℃C.5℃D.-5℃
2.如图,已知 a // b, l 与 a, b 相 交 ,若 ∠1 = 70ο ,则 ∠2 的度数等于()
A.120οB.110οC.100οD. 70ο
3.2017 年,咸宁市经济运行总体保持平稳较快增长,全年GDP 约 123 500 000 000元 ,增
速在全省 17 个市州中排名第三.将 123 500 000 000 用科学记数法表示为()
A.123.5 ⨯109B.12.35 ⨯1010C.1.235 ⨯108D. 1.235 ⨯1011
3.用 4 个完全相同的小正方体搭成如图所示的几何体,该几何体的()
A.主视图和左视图相同B.主视图和俯视图相同C.左视图和俯视阁相同D.三种
视图都相同
5.下列计算正确的是()
A. a 3 ⋅ a 3 = 2a 3
B. a 2 + a 2 = a 4
C. a 6 ÷ a 2 = a 3
3
D.( - 2a 2) = -8a 6
6.已知一元二次方程 2 x 2 + 2 x - 1 = 0 的两个根为 x , x ,且 x < x ,下列结论正确的是
1212
()
A. x + x = 1B. x ⋅ x = -1C. x < x
121212
D. x 2 + x =
1 2
1
2
7.如图,已知⊙ O 的半径为 5,弦 AB, CD 所对的圆心角分别是 ∠AOB, ∠COD ,若 ∠AOB
与 ∠COD 互补,弦 CD = 6 ,则弦 AB 的长为()
A.6B.8C. 5 2D. 5 3
8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米,先到终点
的人原地休息.已知甲先出发 4 分钟.在整个步行过程中,甲 、乙两人的距离 y (米)与甲
出发的时间 t (分)之间的关系如图所示,下列结论:
①甲步行的速度为 60 米/分;②乙走完全程用了 32 分钟;
③乙用 16 分钟追上甲;④乙到达终点时,甲离终点还有 300 米
其中正确的结论有()
A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 3 分,满分 24 分,将答案填在答题纸上)
9.如果分式1
x - 2
有意义,那么实数 x 的取值范围是__________.
10.因式分解:
ab 2 - a = _____________________.
11.写出一个比 2 大比 3 小的无理数(用含根号的式子表示)________________.
12.—个不透明的口袋中有 3 个完全相同的小球,它们的标号分別为1,2,3.随机摸出一个
小球然后放回,再随机摸出一个小球.两次摸出的小球标号相同的概率是
_________________.
13.如图,航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45ο ,测得底部 C 的俯角力 60ο ,
此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为110m ,那么该建筑物的高度 BC 约为
___________ m .(结果保留整数, 3 ≈ 1.73 ).
14. 如图,将正方形 OEFG 放在平而直角坐标系中,O 是坐标原点,点 E 的坐标为( (2,3)),
则点 F 的坐标为_______________________.
1 1 11
2 6 12 20
数列的和为____________________________.
16.如图,已知 ∠MON = 120ο ,点 A, B 分別在 OM , ON 上,且 OA = OB = a, 将射线 OM 绕
点 O 逆时针旋转得到 OM ' ,旋转角为 α (0ο < α < 120ο 且 α ≠ 60 ο),作点 A 关于直线 OM '
的对称点 C ,画直线 BC 交 OM ' 于点 D ,连接 AC , AD. 有下列结论:
① AD = CD;
② ∠ACD 的大小随着α 的变化而变化;
③ 当 α = 30ο 时,四边形 OADC 为荽形;
④ ∆ACD 面积的最大值为 3a 2 .
其中正确的是________________.(把你认为正确结论的序号都填上)
三、解答题 (本大题共 8 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.)
17.
(1)计算:
12 - 3 8 +3-2 ;
a.
(2)化简:
(a + 3)( - 2)- a(a - 1)
18. 已知:
∠AOB .
求作:
∠A'O ' B ' , 使 ∠A'O ' B ' = ∠AOB
作法:
(1)如图 1,以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA, OB 于点 C , D ;
(2)如图 2,画一条射线 O ' A' ,以点 O ' 为圆心 OC 长为半径画弧,交于点 O ' A' 于点 C ' ;
(3)以点 C ' 为圆心, C , D 长为半径画弧,与第 2 步中所画的弧交于点 D ' ;
(4)过点 D' 画射线 OB ' ,则 ∠A'O ' B ' = ∠AOB .
根据以上作图步骤,请你证明 ∠A'O ' B ' = ∠AOB .
19. 近年来,共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行” 方式之一,自 2016 年国庆后,
许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车.某高校为了解本校学生出行使用
共享单车的情况,随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况,并整理成如下统计表.
使用次数
人数
0
11
1
15
2
23
3
28
4
18
5
5
(1)这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是____________,众数是____________
该中位数的意义是____________;
(2)这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次?
(结果保留整数)
(3)若该校某天有 1500 名学生出行,请你估计这天使用共享单车次数在 3 次以上(含 3 次)
的学生有多少人?
20.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点 B 的坐标为 (4,2),直线 y = -
1 5
x +
2 2
与边 AB, BC 分别相交于点 M , N ,函数 y =
k
x
( x > 0) 的图象过点 M .
(1) 试说明点 N 也在函数 y = k ( x > 0) 的图象上;
x
(2) 将直线 MN 沿 y 轴的负方向平移得到直线 M ' N ' ,当直线 M ' N ' 与函数 y =
k
x
( x > 0)
的图象仅有一个交点时,求直线 M ' N ' 的解析式.
21.如图,以 ∆ABC 的边 AC 为直径的⊙ O 恰为 ∆ABC 的外接圆, ∠ABC 的平分线交⊙ O
于点 D ,过 点 D 作 DE // AC 交 BC 的延长线于点 E .
(1) 求证 DE 是⊙ O 的切线;
(2) 若 AB = 2 5, BC =5, 求 DE 的长.
22.为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书木知识和生活经验的深度融合,我市
某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动.在参加此次活动的师生中,若每位老师
带 17 个学生,还剩 12 个学生没人带;若每位老师带 18 个学生,就有一位老师少带 4 个学
生,现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如下表所示:
甲种客车乙种客车
载客量(人/辆)30
租金(人/辆)300
42
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3100 元,为了安全,每辆客车上至少要有
2 名老师.
(1) 参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?
(2) 既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师,可知租用客车
总数为_____辆;
(3) 你能得出哪几种不同的租车方案?
其中哪种租车方案最省钱?
请说明理由.
23. 定义:
我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三
角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
(1)如图 1,已知 Rt∆ABC 在正方形网格中,请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D ,
理解:
......
使四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹,找出 3 个即可);
(2)如图 2,在四边形 ABCD 中,∠ABC = 80ο, ∠ADC = 140ο ,对角线 BD 平分 ∠ABC .
求证:
BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”;
运用:
(3)如图 3,已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”,∠EFH = ∠HFG = 30ο.连接 EG ,
若 ∆EFG 的面积为 2 3 ,求 FH 的长.
3
48
经过 A、B 两点,与 x 轴的另一个交点为 C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 P 是第一象限抛物线上的点,连接 OP 交直线 AB 于点 Q ,设点 P 的横坐标为 m ,PQ
与 OQ 的比值为 y ,求 y 与 m 的函数关系式, 并求出 PQ 与 OQ 的比值的最大值;
(3)点 D 是抛物线对称轴上的一动点,连接 OD、CD .设 ∆ODC 外接圆的圆心为 M ,
当 sin ∠ODC 的值最大时,求点 M 的坐标.
初中毕业生学业考试
数学试题参考答案
一、选择题
1-5:
CBDAD6-8:
DBA
二、填空题
9. x ≠ 210. a(b + 1)(b - 1)11.答案不唯一,如 512. 1
3
13.300
5
14. (-1,)
15.
2018
2019
16.①③④(多填或少填均不给分)
三、解答题
17.
(1)解:
原式= 2 3 - 2 + 2 - 3 = 3 .
(2)解:
原式 = a 2 - 2a + 3a - 6 - a 2 + a = 2a - 6
18.
证明:
由作图步骤可知,
在 ∆C 'O ' D' 和 ∆COD 中,
⎧O 'C ' = OC
⎪
⎩
∴ ∆C ' O' D' ≅ ∆COD (SSS ).
∴∠C' O' D' = ∠COD .
即 ∠A' O' B' = ∠AOB .
19. 解:
(1)3,
3,
表示这部分出行学生在这天约有一半人使用共享单车的次数在 3 次以上(含 3 次).
(2)
x =
0 ⨯11 + 1⨯15 + 2 ⨯ 23 + 3 ⨯ 28 + 4 ⨯18 + 5 ⨯ 5
11 + 15 + 23 + 28 + 18 + 5
≈ 2 (次)
答:
这天部分出行学生平均每人使用共享单车约 2 次.
(3)1500 ⨯28+18+5=756 (人)
11+15+23+28+18+5
答 :
估计这天使用共享单车次数在 3 次以上(含 3 次)的学生有 765 人.
20. 解:
(1)Θ 矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 (4,2),
∴ 点 M 的横坐标为 4,点 N 的纵坐标为 2.
1511
,∴ 点 M 的坐标为 (4, ) .
2222
15
22
k
Θ 函数 y =( x > 0) 的图象过点 M ,
x
12
∴ k = 4 ⨯= 2,∴ y =( x > 0).
2x
2
把 N (1,2) 代入 y =,得 2 = 2 .
x
k
x
1
2
⎧1
⎪
2
⎪y =
⎩x
12
Θ 直线 y = -x + b 与函数 y =( x > 0) 的图像上仅有一个交点,
2x
∴ (- 2b )2 - 4 ⨯ 4 = 0, 解得 b = 2, b = -2 (舍去)
12
∴ 直线 M ' N ' 的解析式为 y = -
21. 解:
(1)证明:
连接 OD.
1
2
x + 2 .
Θ AC 是⊙ O 的直径,∴ ∠ABC = 90ο .
Θ BD 平分 ∠ABC ,∴ ∠ABD = 45ο .
∴ ∠AOD = 90ο.
Θ DE // AC ,
∠ODE = ∠AOD = 90ο ,
∴ DE 是⊙ O 的切线.
(2)在 Rt∆ABC 中, AB = 2 5, BC =5,
5
∴ AC =AB 2 + AC 2 = 5,∴ OD =.
2
过点 C 作 CG ⊥ DE , 垂足为 G ,
则四边形 ODEG 为正方形,∴ DG = CG = OD = 5 .
2
Θ DE // AC ,
∴ ∠CEG = ∠ACB, ∴ tan ∠CEG = tan∠ACB
∴
CG AB 2.5 2 5
= , 即 =
GE BC GE 5
5
∴ GE =,
4
∴ DE = DG + GE = 15 .
4
22. 解 :
(1)设老师有 x 人,学生有 y 人,依题意得
⎩ 18x = y + 4
⎧17 x = y - 12
⎨
,
⎧
解得 ⎨ x = 16
⎩ y = 284
答:
此次参加研学旅行活动的老师有 16 人,学生有 284 人.
(2)8.
(3)设乙种客车租 x 辆,则甲种客车租 (8 - x)辆.
Θ 租车总费用不超过 3100 元,
∴ 400x + 300(8 - x) ≤ 3100, 解得 x ≤ 7 .
为使 300 名师生都有车座,
∴ 42 x + 30(8 - x) ≥ 300 ,解得 x ≥ 5.
∴ 5 ≤ x ≤ 7( x 为整数)
∴ 共有 3 种租车方案:
方案一:
租用甲种客车 3 辆,乙种客车 5 辆,租车费用 2900 元;
方案二:
租用甲种客车 2 辆,乙种客车 6 辆,租车费用 3000 元;
方案三:
租用甲种客车 1 辆,乙种客车 7 辆,租车费用 3100 元;
∴ 最节省费用的租车方案是:
租用甲种客车 3 辆,乙种客车 5 辆.
23. 解:
(1)如图 1 所示.
说明:
画出一个点得 1 分,学生画出 3 个点即可,其中点 D , D 直接描出也给分
24
(2)证明:
Θ ∠ABC = 80ο, BD 平分 ∠ABC ,
∴ ∠ABD = ∠DBC = 40ο,∴ ∠A = ∠ADB = 140ο.
Θ ∠ADC = 140ο,∴ ∠BDC + ∠ADB = 140ο.
∠A = ∠BDC ,
∴ ∆ABD ∽ ∆DBC.
∴ BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”.
(3)Θ FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”,
∴ 三角形 EFH 与三角形 HFG 相似.
又 ∠EFH = ∠HFG ,
∴ ∆FEH ∽ ∆FHG , ∴
FE FH
= ,
FH FG
∴ FH 2 = FE ⋅ FG.
过点 E 作 EQ ⊥ FG , 垂足为 Q.
则 EQ = FE ⨯ sin 60ο =
3
2
FE.
Θ 113 FE = 2 3,
222
∴ FG ⋅ FE = 8,
∴ FH 2 = FE ⋅ FG = 8,
∴ FH = 2 2.
24. 解:
(1)在 y = - 3 x + 3 中,令 y = 0 ,得 x = 4 ;令 x = 0 ,得 y = 3.
4 x
∴ A(4,0), B(0,3).
把∴ A(4,0), B(0,3) 代入 y = - 3
8
x 2 + bx + c, 得
⎪- ⨯ 42 + 4b + c
⎨ 84 .
⎪c = 3
33
∴ 抛物线的解析式为 y = -x 2 +x + 3.
84
(2)
PE
=.
OQOB
333
Θ P(m,- m 2 +m + 3), E (m,-m + 3)
844
33333
则 PE = (- m 2 +m + 3) - (-m + 3) = - m 2 +m
82482
13311
∴ y =(- m 2 +m) = - m 2 +m(0 < m < 3)
38282
1111
8282
∴ 当 m = 2 时, y
最大值
1
= .
2
1
∴ PQ 与 OQ 的比值的最大值为 .
2
(3)
3
84
Θ ∆ODC 的外心为点 M ,∴ 点 M 在 CO 的垂直平分线上.
设 CO 的垂直平分线与 CO 相交于点 N .
连接 OM、CM、DM ,
则 ∠ODC = 1 ∠CMO = ∠OMN , MC = MO = MD,
2
1
=,
MOMO
∴sin ∠ODC 的值随着 MO 的减小而增大.
又Θ MO = MD ,
∴ 当 MD 取最小值时, sin ∠ODC 最大,
此时,⊙ M 与直线 x = 1 相切, MD = 2.
MN = OM 2 - ON 2 = 3 ,
∴ M (-1,- 3) .
根据对称性性,另一点 (-1,- 3) 也符合题意.
综上所述,点 M 的坐标为 (-1, 3) 或 (-1,- 3) .
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