概率论与数理统计公式集合.docx
- 文档编号:8122376
- 上传时间:2023-01-28
- 格式:DOCX
- 页数:9
- 大小:48.43KB
概率论与数理统计公式集合.docx
《概率论与数理统计公式集合.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计公式集合.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计公式集合
概率论与数理统计必考知识点
一、随机事件和概率
1、随机事件及其概率
运算律名称
表达式
交换律
A+B=B+AAB=BA
结合律
(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C(AB)C=A(BC)=ABC
分配律
A(B土C)=AB土ACA+(BC)=(A+B)(A+C)
德摩根律
A+B=ABAB=A+B
2、概率的定义及其计算
公式名称
公式表达式
求逆公式
P(A)=1—P(A)
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)_P(AB)
条件概率公式
p(b|a)=P(AB)'P(A)
乘法公式
P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)=P(B)P(AB)
全概率公式
n
P(B)=EP(Aj)P(BAj)
贝叶斯公式
(逆概率公式)
P(Aj)P(BAj)
P(Aj|B)—盟
SP(Aj)P(BAi)
\=1
伯努利概型公式
Pn(k)=C;;pk(1—p)n^,k=0,1,…n
两件事件相互独立相
应公式
P(AB)=P(A)P(B);P(B|A)=P(B);P(Ba)=P(BA);P(BA)+P(BA)=1;
p(b|a)+p(b|A)=1
、随机变量及其分布
1、分布函数性质
P(X空b)二F(b)P(a:
X乞b)二F(b)—F(a)
2、离散型随机变量
分布名称
分布律
0-1分布B(1,p)
P(X=k)=pk(l—p严,k=0,1
二项分布B(n,p)
P(X=k)=ckpk(1—p)n」,k=0,1,…,n
泊松分布P⑴
-k
P(X=k)=e』—,k=0,1,2,…k!
几何分布G(p)
P(X=k)=(1—p)k'p,k=0,1,2,…
超几何分布H(N,M,n)
Ckcn~k
P(X=k)_-M-N』,k=丨,丨+1,…,min(n,M)cN
3、连续型随机变量
分布名称
密度函数
分布函数
均匀分布U(a,b)
f(x)
'1
acxcbb—a
0,其他
F(x)=
0,xcax—a,aWx£bb—a
1,xKb
指数分布E仏)
byx》of(x)
、0,其他
F(x)=丿
0,xcO
]-e*x,x^O
正态分布N(巴/)
(x_q2
1~2~2~
f(x)=—e口 P2兀 (t-內2 1x— F(x)=—fedt V2naq 标准正态分布N(0,1) x2 1— 申(x)=〒^^e2 兀 (MJ)2 1/2y F(x)=.——[edt v2hctq 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 Pi.=P(X=xjP(X=Xi,Y=yj)Pij jj pj=P(Y=yj)二"P(x=Xi,Y=yj)二"pij i 2、 离散型二维随机变量条件分布 Pij 二P(X=XjY二yj)=史■兰■出二巴,i=1,2■■jP(丫Fj)Pj. P(X=Xj,Y=yj)Ph Pji .p—yjxg.p(xsj喈,日2 3、 连续型二维随机变量(X,丫)的联合分布函数F(x,y) xy 二f(u,v)dvdu JJO2-^0 4、 连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 边缘分布函数: Fx(x)二 X -be f(u,v)dvdu 边缘密度函数: fx(X)二f(x,v)dv ^0 a y ■be ■ho f(u,v)dudv fY(y)f(u,y)du ^0 Fv(y)二 5、 二维随机变量的条件分布 fYx(yx)」(x,y) y.;-亠fx(x)'y fxY(Xy)二[(X,y)厂: : : : x: : : fy(y) 四、 随机变量的数字特征 1、数学期望 离散型随机变量: HoD E(X)八XkPk k丄 连续型随机变量: E(X)二xf(x)dx 2、数学期望的性质 (1)E(C)=C,C为常数 E[E(X)]二E(X) E(CX)=CE(X) (2)E(X_Y)=E(X)_E(Y)E(aX_b)=aE(X)_bE(GXiCnXn)=CiE(Xi)CnE(Xn) ⑶若XY相互独立则: E(XY)=E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2_E2(X)E2(Y) 3、方差: D(X)二E(x2)—E2(X) 4、方差的性质 (1)D(C)=0D[D(X)]=0D(aX_b)=a2D(X)D(X): : : E(X-C)2 (2)D(X_Y)=D(X)D(Y)_2Cov(X,Y)若XY相互独立贝": D(X_Y)=D(X)D(Y) 5、协方差: Cov(X,Y)二E(X,Y)—E(X)E(Y)若XY相互独立则: Cov(X,Y)=0 6、相关系数: 怙二彳x,Y)=—Cov(X,Y)若XY相互独立则: 浊=0即XY不相关 Jd(x)Jd(¥) 7、协方差和相关系数的性质 (1)Cov(X,X)二D(X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (2)Cov(X1X2,Y)=Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)Cov(aXc,bYd)=abCov(X,Y) &常见数学分布的期望和方差 分布 数学期望 方差 0-1分布B(1,p) P p(1-p) 二行分布B(n,p) np nP(1—P) 泊松分布PQJ 扎 人 几何分布G(p) 1p 1—P 2p 超几何分布H(N,M,n) Mn— N MMN_m n(1—) NNN1 均匀分布U(a,b) a+b 2 (b-a)2 12 正态分布N(H P 2 指数分布E⑺ 1 1 扎 五、大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 鼻n鼻n 2、大数定律: 若Xi…Xn相互独立且n》: : 时,_、、•Xi—D_.—VE(Xi)nyny n (2)若X—Xn相互独立同分布,且E(Xi)-叫则当n_—时: ―、Xi—P」 ny 3、中心极限定理 大时有: n 7Xk-nJ YnJN(0,1) .n;「 ⑵拉普拉斯定理: 随机变量n(n=1,2…)~B(n,p)则对任意X有: n nXXk—nP- ⑶近似计算: P(a匹Xk9)=P(弟兰一兰与竺)g(竺叱)虫(耳兰) k仝JnbJnbinbp'nb+‘ncr 六、数理统计 1、总体和样本 总体X的分布函数F(x)样本(Xi,X2Xn)的联合分布为F(X1,X2Xn): |丨F(Xk) 2统计量 (1)样本平均值: XXi (2)样本方差: S2-(Xi_X)2-(Xi2_nX) nyn-—n-怕 -nn ⑶样本标准差: s二17(Xi一刃2(4)样本k阶原点距: AkXik,k=1,2… Yn-ny 1n_ (5)样本k阶中心距: Bk二Mk二―7(Xi-X)k,k=2,3… ny (6)次序统计量: 设样本(X1,X2…Xn)的观察值(X1,X2…Xn),将X1,X^Xn按照由小到大的次序重新排列,得到X⑴沙 (2)「*X(n),记取值为X(q的样本分量为X(q,则称X (1)乞X (2)「乞Xg为样本(X1,X2…Xn)的次序统计量。 X (1)=minq,X2…Xn)为最小次序统计量;X(n)=maX<(,X2…Xn)为最大次序统计量。 3、三大抽样分布 (1)2分布: 设随机变量X1,X 量2=X12X2x2所服从的分布称为自由度为n的2分布,记为2~2(n) 性质: ①E[2(n)]=n,D[2(n)]=2n②设X~2(m),丫〜2(n)且相互独立,则XY~2(m-n) 所服从 ⑵t分布: 设随机变量X~N(0,1),Y~2(n),且X与丫独立,则随机变量: 的分布称为自由度的n的t分布,记为T~t(n) (X-M)2 性质: ①E[t(n)]=0,D[t(n)]—,(n2)②limt(n)=N(0,1)=1e疋 n—2V2n ⑶F分布: 设随机变量U〜2(n)V〜2免),且U与V独立,则随机变量Fg,n? )=U°所 Vn2 服从的分布称为自由度(mri2)的F分布,记为F〜Fg,匕) 性质: 设X~F(m,n),贝卩丄〜F(n,m)X 七、参数估计 1、参数估计 (1)定义: 用吋Xl,X2,…Xn)估计总体参数二,称h(Xl,X2,Xn)为的估计量,相应的吋Xi,X2,…Xn)为总体二的估计值。 (2)当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值二未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法: (总体矩二样本矩) n斗 离散型样本均值: X二E(X)=-^Xi连续型样本均值: X二E(X)二[xf(x,r)dx ni£二 dn 离散型参数: E(X2)Xi2 nX 3、点估计中的最大似然估计 最大似然估计法: Xi,X2,Xn取自X的样本,设X~f(X,d)[或P(X=Xi)=P㈢]则可得到概率、nnn 密度: f(Xi,X2,…XnC): |]f(Xi,初或P(X=Xi,X2,…Xn=Xn)P(X=Xi)=: R&)] i1i47 基本步骤: nn 1似然函数: L(r)八f(Xi,v)[或[[RU)] i=1i=1 n 2取对数: InLInf(XiJ) i壬 3解方程: =0,…,」^=0最后得: 才-V1(X1,X2,…Xn),…,Tk-Vk(Xi,X2,…Xn) k
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 公式 集合
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)