第一章 131.docx
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第一章131
1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1. 推出与充分条件、必要条件
[学习目标] 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.
[知识链接]
判断以下两个命题的真假,并思考命题中条件和结论之间的关系:
(1)如果x>a2+b2,那么x>2ab;
(2)如果|x|=1,那么x=1.
答
(1)为真命题,
(2)为假命题.
命题
(1)中,有x>a2+b2,必有x>2ab,即x>a2+b2⇒x>2ab;但由x>2ab推不出x>a2+b2.命题
(2)中,由|x|=1,可得x=1或-1.即由|x|=1推不出x=1;但由x=1能推出|x|=1.
结论:
一般地,“如果p,那么q〞为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
[预习导引]
1.命题的结构
在数学中,我们经常遇到“如果p,那么(那么)q〞的形式的命题,其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.
2.充分条件与必要条件的定义
当命题“如果p,那么q〞经过推理证明断定是真命题时,我们就说由p可以推出q,记作p⇒q,读作“p推出q〞.
如果p可推出q,那么称p是q的充分条件;q是p的必要条件.
3.p⇒q的等价命题在逻辑推理中,能表达成以下5种说法:
①“如果p,那么q〞为真命题;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
4.充要条件的定义
一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q.
p是q的充要条件,又常说成q当且仅当p,或p与q等价.
要点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1 指出以下各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件〞,“必要不充分条件〞,“充要条件〞,“既不充分又不必要条件〞中选出一种作答):
(1)在△ABC中,p:
∠A>∠B,q:
BC>AC;
(2)在△ABC中,p:
sinA>sinB,q:
tanA>tanB;
(3)x,y∈R,p:
(x-1)2+(y-2)2=0,
q:
(x-1)(y-2)=0.
解
(1)在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔BC>AC,所以p是q的充要条件.
(2)取A=120°,B=30°,p⇏q,又取A=30°,B=120°,q⇏p,所以p是q的既不充分也不必要条件.
(3)因为p:
A={(1,2)},
q:
B={(x,y)|x=1,或y=2},
AB,所以p是q的充分不必要条件.
规律方法
(1)判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性,假设p⇒q真,那么p是q成立的充分条件,假设q⇒p真,那么p是q成立的必要条件.
(2)关于充要条件的判断问题,当不易判断p⇒q真假时,也可从集合角度入手判断真假,结合集合关系理解,对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
跟踪演练1 指出以下各组命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件〞中选一种作答)?
(1)p:
△ABC中,b2>a2+c2,q:
△ABC为钝角三角形;
(2)p:
△ABC有两个角相等,q:
△ABC是正三角形;
(3)假设a,b∈R,p:
a2+b2=0,q:
a=b=0.
解
(1)在△ABC中,
∵b2>a2+c2,∴cosB=
<0,
∴B为钝角,即△ABC为钝角三角形,反之假设△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2 ∴p⇒q,q⇏p,故p是q的充分不必要条件. (2)有两个角相等的三角形不一定是等边三角形,反之一定成立, ∴p⇏q,q⇒p,故p是q的必要不充分条件. (3)假设a2+b2=0,那么a=b=0,故p⇒q;假设a=b=0,那么a2+b2=0,即q⇒p,所以p是q的充要条件. 要点二 充要条件的证明 例2 求证: 关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明 (1)充分性: 因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,所以方程x2+mx+1=0有实根,设两根为x1,x2, 由根与系数的关系知,x1·x2=1>0,所以x1,x2同号. 又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负数. 即m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件. (2)必要性: 因为x2+mx+1=0有两个负实根,设其为x1,x2,且x1x2=1, 所以 即 所以m≥2,即m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的必要条件. 综上可知,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件. 规律方法充要条件的证明,关键是确定哪是条件,哪是结论,并明确充分性是由条件推结论,必要性是由结论推条件,也可以理解为证明充分性就是证原命题成立,证必要性就是证原命题的逆命题成立. 跟踪演练2 求证: 方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2. 证明 必要性: 假设方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,那么 ⇒ 即 解得k<-2. 充分性: 当k<-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0. 设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2. 那么(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k-1+1=k(k+2)>0. 又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-1>0, ∴x1-1>0,x2-1>0,∴x1>1,x2>1. 综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的充要条件为k<-2. 要点三 充分条件和必要条件的应用 例3 p: 2x2-3x-2≥0,q: x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,假设p是q的充分不必要条件.求实数a的取值范围. 解 令M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}={x|x≤- ,或x≥2}, N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}={x|x≤a-2,或x≥a}, 由p⇒q,且q⇏p,得MN. 所以 或 ⇔ ≤a<2或
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