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232中心对称4
武都区滨江中学课时教案
科目
数学
课题
23.2中心对称
班级
九年级()班
教师
课型
新课
课时安排
4课时
授课时间
第周星期
教具
仪器
教
学
目
的
1.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题.
2.复习运用旋转知识作图,旋转角度变化,设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念,并运用它解决一些实际问题.
重
点
难
点
1.重点:
利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题.
2.难点与关键:
从一般旋转中导入中心对称.
教
法
探索 合作交流 练习
课
后
记
审
阅
年月日
教学内容及过程
第一课时
教学过程
一、复习引入
请同学们独立完成下题.
如图,△ABC绕点O旋转,使点A旋转到点D处,画出旋转后的三角形,并写出简要作法.
老师点评:
分析,本题已知旋转后点A的对应点是点D,且旋转中心也已知,所以关键是找出旋转角和旋转方向.显然,逆时针或顺时针旋转都符合要求,一般我们选择小于180°的旋转角为宜,故本题选择的旋转方向为顺时针方向;已知一对对应点和旋转中心,很容易确定旋转角.如图,连结OA、OD,则∠AOD即为旋转角.接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可.
作法:
(1)连结OA、OB、OC、OD;
(2)分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD;
(3)分别截取OE=OB,OF=OC;
(4)依次连结DE、EF、FD;
即:
△DEF就是所求作的三角形,如图所示.
二、探索新知
问题:
作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案,并回答下列的问题:
1.以O为旋转中心,旋转180°后两个图形是否重合?
2.各对称点绕O旋转180°后,这三点是否在一条直线上?
老师点评:
可以发现,如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的,即甲图与乙图重合,△OAB与△COD重合.
像这样,把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
例1.如图,四边形ABCD绕D点旋转180°,请作出旋转后的图案,写出作法并回答.
(1)这两个图形是中心对称图形吗?
如果是对称中心是哪一点?
如果不是,请说明理由.
(2)如果是中心对称,那么AB、C、D关于中心的对称点是哪些点.
分析:
(1)根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形,对称中心就是旋转中心.
(3)旋转后的对应点,便是中心的对称点.
解:
作法:
(1)延长AD,并且使得DA′=AD
(2)同样可得:
BD=B′D,CD=C′D
(3)连结A′B′、B′C′、C′D,则四边形A′B′C′D为所求的四边形,如图23-44所示.
答:
(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形,对称中心是D点.
(2)A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′,这里的D′与D重合.
例2.如图,已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形.
分析:
因为D是对称中心且AD是△ABC的中线,所以C、B为一对的对应点,因此,只要再画出A关于D的对应点即可.
解:
(1)延长AD,且使AD=DA′,因为C点关于D的中心对称点是B(C′),B点关于中心D的对称点为C(B′)
(2)连结A′B′、A′C′.
则△A′B′C′为所求作的三角形,如图所示.
三、巩固练习
教材P64练习
四、归纳小结
1、中心对称及对称中心的概念。
2、关于中心的对称点的概念及运用。
五、布置作业
1、P67习题23.2第1题
六、板书设计
左
中右
引入
探索练习
第二课时
教学过程
一、复习引入
(老师口问,学生口答)
1.什么叫中心对称?
什么叫对称中心?
2.什么叫关于中心的对称点?
3.请同学随便画一三角形,以三角形一顶点为对称中心,画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形,并分组讨论能得到什么结论.
(每组推荐一人上台陈述,老师点评)
(老师)在黑板上画一个三角形ABC,分两种情况作两个图形
(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形;
(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形.
第一步,画出△ABC.
第二步,以△ABC的C点(或O点)为中心,旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′,如图1和用2所示.
(1)
(2)
从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形;分别连接对称点AA′、BB′、CC′,点O在这些线段上且O平分这些线段.
下面,我们就以图2为例来证明这两个结论.
证明:
(1)在△ABC和△A′B′C′中,
OA=OA′,OB=OB′,∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴AB=A′B′
同理可证:
AC=A′C′,BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
(2)点A′是点A绕点O旋转180°后得到的,即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′,所以点O在线段AA′上,且OA=OA′,即点O是线段AA′的中点.
同样地,点O也在线段BB′和CC′上,且OB=OB′,OC=OC′,即点O是BB′和CC′的中点.
因此,我们就得到
1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
2.关于中心对称的两个图形是全等图形.
例1.如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.
分析:
中心对称就是旋转180°,关于点O成中心对称就是绕O旋转180°,因此,我们连AO、BO、CO并延长,取与它们相等的线段即可得到.
解:
(1)连结AO并延长AO到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D,如图所示.
(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.
(3)顺次连结DE、EF、FD.
则△DEF即为所求的三角形.
例2.(学生练习,老师点评)如图,已知四边形ABCD和点O,画四边形A′B′C′D′,使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹,不要求写出作法).
二、巩固练习
教材P64练习2
四、归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课应掌握:
中心对称的两条基本性质:
1.关于中心对称的两个图形,对应点所连线都经过对称中心,而且被对称中心所平分;
2.关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用.
五、布置作业
1.教材P67-68习题23.2第1、6、7
1.下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.直角B.等边三角形C.直角梯形D.两条相交直线
2.下列命题中真命题是()
A.两个等腰三角形一定全等
B.正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少
C.菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形
D.两直线平行,同旁内角相等
3.将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图的所示的图形,已知∠CED′=60°,则∠AED的大小是()
A.60°B.50°C.75°D.55°
六、板书设计
左
中右
引入
探索练习
第三课时
一、复习引入
1.(老师口问)口答:
关于中心对称的两个图形具有什么性质?
(老师口述):
关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
关于中心对称的两个图形是全等图形.
2.(学生活动)作图题.
(1)作出线段AO关于O点的对称图形,如图所示.
(2)作出三角形AOB关于O点的对称图形,如图所示.
(2)延长AO使OC=AO,
延长BO使OD=BO,
连结CD
则△COD为所求的,如图所示.
二、探索新知
从另一个角度看,上面的
(1)题就是将线段AB绕它的中点旋转180°,因为OA=OB,所以,就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合.
上面的
(2)题,连结AD、BC,则刚才的两个关于中心对称的两个图形,就成平行四边形,如图所示.
∵AO=OC,BO=OD,∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD
∴AB=CD
也就是,ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合.
因此,像这样,把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
(学生活动)例1:
从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外,每一位同学举出三个图形,它们也是中心对称图形.
老师点评:
老师边提问学生边解答.
(学生活动)例2:
请说出中心对称图形具有什么特点?
老师点评:
中心对称图形具有匀称美观、平稳.
例3.求证:
如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形.
分析:
中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点,也是对应点间的线段中点,因此,直接可得到对角线互相平分.
证明:
如图,O是四边形ABCD的对称中心,根据中心对称性质,线段AC、BD必过点O,且AO=CO,BO=DO,即四边形ABCD的对角线互相平分,因此,四边形ABCD是平行四边形.
三、巩固练习
教材P67练习.
四、应用拓展
例4.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,若将矩形折叠,使C点和A点重合,求折痕EF的长.
分析:
将矩形折叠,使C点和A点重合,折痕为EF,就是A、C两点关于O点对称,这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用,对称点连线被对称轴垂直平分,进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用,求线段长度或面积.
解:
连接AF,
∵点C与点A重合,折痕为EF,即EF垂直平分AC.
∴AF=CF,AO=CO,∠FOC=90°,又四边形ABCD为矩形,∠B=90°,AB=CD=3,AD=BC=4
设CF=x,则AF=x,BF=4-x,
由勾股定理,得AC2=BC2+AB2=52
∴AC=5,OC=
AC=
∵AB2+BF2=AF2∴32+(4-x)=2=x2
∴x=
∵∠FOC=90°
∴OF2=FC2-OC2=(
)2-(
)2=(
)2OF=
同理OE=
,即EF=OE+OF=
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.中心对称图形的有关概念;
2.应用中心对称图形解决有关问题.
六、布置作业
1.教材P68-69习题23.2第5、8、9
七、板书设计
左
中右
引入
探索练习
第四课时
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面三题.
1.已知点A和直线L,如图,请画出点A关于L对称的点A′.
2.如图,△ABC是正三角形,以点A为中心,把△ADC顺时针旋转60°,画出旋转后的图形.
3.如图△ABO,绕点O旋转180°,画出旋转后的图形.
老师点评:
老师通过巡查,根据学生解答情况进行点评.(略)
二、探索新知
(学生活动)如图23-74,在直角坐标系中,已知A(-3,1)、B(-4,0)、C(0,3)、D(2,2)、E(3,-3)、F(-2,-2),作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点,并写出它们的坐标,并回答:
这些坐标与已知点的坐标有什么关系?
老师点评:
画法:
(1)连结AO并延长AO
(2)在射线AO上截取OA′=OA
(3)过A作AD′⊥x轴于D′点,过A′作A′D″⊥x轴于点D″.
∵△AD′O与△A′D″O全等
∴AD′=A′D″,OA=OA′
∴A′(3,-1)
同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标.
(学生活动)分组讨论(每四人一组):
讨论的内容:
关于原点作中心对称时,①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系?
纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系?
②坐标与坐标之间符号又有什么特点?
提问几个同学口述上面的问题.
老师点评:
(1)从上可知,横坐标与横坐标的绝对值相等,纵坐标与纵坐标的绝对值相等.
(2)坐标符号相反,即设P(x,y)关于原点O的对称点P′(-x,-y).
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,
即点P(x,y)关于原点O的对称点P′(-x,-y).
例1.如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与线段AB关于原点对称的图形.
分析:
要作出线段AB关于原点的对称线段,只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可.
解:
点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y),
因此,线段AB的两个端点A(0,-1),B(3,0)关于原点的对称点分别为A′(1,0),B(-3,0).
连结A′B′.
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.
(学生活动)例2.已知△ABC,A(1,2),B(-1,3),C(-2,4)利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出△ABC关于原点对称的图形.
老师点评分析:
先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC,要作出△ABC关于原点O的对称三角形,只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点,依次连结,便可得到所求作的△A′B′C′.
三、巩固练习
教材P67练习.
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- 232 中心对称
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