数轴标根法及习题.docx
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数轴标根法及习题
数轴穿根法
一、概念简介
1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
2.准确的说,应该叫做“序轴标根法”。
序轴:
省去原点和单位,只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法
4.为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法”
二、方法步骤
第一步:
通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。
(注意:
一定要保证x前的系数为正数)
例如:
将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步:
将不等号换成等号解出所有根。
例如:
(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:
x1=2,x2=1,x3=-1
第三步:
在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:
-112
第四步:
画穿根线:
以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步:
观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过,即奇过偶不过。
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得:
-112
画穿根线:
由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿跟线以内的范围。
即:
-1
(如下图所示)
三、奇过偶不过
就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时,如(x^2)或(x^4)时,穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项,就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如:
(X-1)^2.当不等式里出现这种部分时,线是不穿过1点的。
但是对于如(X-1)^3的式子,穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过,偶弹回”,一称“奇穿偶切”。
(如图三,为(X-1)^2)
四、注意事项
运用序轴标根法解不等式时,常犯以下的错误:
1.出现形如(a-x)的一次因式时,匆忙地“穿针引线”。
例1 解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>0。
解x(3-x)(x+1)(x-2)>0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1可得原不等式的解集为{x|x<-1或0
事实上,只有将因式(a-x)变为(x-a)的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是:
解原不等式变形为x(x-3)(x+1)(x-2)<0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1,原不等式的解集为{x|-1 2.出现重根时,机械地“穿针引线” 例2 解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^3<0 解将三个根-1、1、4标在数轴上,由图2得, 原不等式的解集为{x|x<-1或1 (如图二) 这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。 出现几个相同的根时,所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴,仍在数轴的同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴,正确的解法如下: 解将三个根-1、1、4标在数轴上,如图3画出浪线图来穿过各根对应点,遇到x=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;遇到x=4的点才穿过数轴,于是,可得到不等式的解集 {x|-1 3.出现不能再分解的二次因式时,简单地放弃“穿针引线” 例3 解不等式x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0 解原不等式变形为x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积,事实上,根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解原不等式等价于 x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0, ∵x^2+x+1>0对一切x恒成立, ∴x(x-1)(x+1)(x-2)>0,由图4可得原不等式的解集为{x|x<-1或0 数轴标根法-练习题 1.不等式x2﹣6x+8≤0的解集为 _________ . 2. 的解集为________________ 3. 的解集为_________________ 4. 的解集为__________________ 5. 的解集为___________________ 6. 的解集为______________ 7. 的解集为__________________ 8. 的解集为________________ 9. 的解集为___________________ 10. 的解集为________________ 11. 的解集为_______________ 12. 的解集为___________________ 13. 的解集为________________ 14.(2013•广东)不等式x2+x﹣2<0的解集为 _________ . 15.(2012•湖南)不等式x2﹣5x+6≤0的解集为 _________ . 16.(2008•北京)不等式 的解集是 _________ . 17.(2011•巢湖模拟)不等式 的解集为 _________ . 18.(2008•杨浦区二模)不等式 的解为 _________ . 19.(2008•卢湾区二模)不等式 的解集为 _________ . 20.不等式﹣x2+5x﹣6>0的解集为 _________ . 21.不等式2x2﹣3x﹣2<0的解集为 _________ . 22.不等式﹣x2﹣4x+5>0的解集是 _________ . 10.函数 的定义域是 _________ . 11.不等式 的解集为 _________ . 12.不等式 的解集是 _________ . 13.已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是 _________ . 14.不等式 的解集为 _________ . 15.若不等式 的解集为{x|﹣3<x<﹣1或x>2},则a= _________ . 16.解不等式2x2﹣5x<3. 17.已知集合A={x|﹣x2+x+6>0},B={x|x2+2x﹣8>0},求A∩B. 18.解不等式: . 欢迎您的下载, 资料仅供参考! 致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习资料等等 打造全网一站式需求
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