广东省广州市海珠区四十一中学学年高二上学.docx

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广东省广州市海珠区四十一中学学年高二上学

广州市第四十一中学

二零一七学年度第一学期期中考试

高二级理科数学

第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）

一、选择题：

（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数的定义域为（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】解：

∵，

∴，，

即：

定义域是：

．

故选．

2．集合的子集个数是（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】解：

∵集合的元素有个，

∴子集个数为：

，

故选．

3．设，则“”是“”的（）．

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】解：

由得或，

即“”是“”的充分不必要条件．

故选．

4．已知数列满足，，则的值为（）．

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】解：

∵

∴，

故选．

5．经过点且与直线平行的直线方程为（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】解：

∵所求直线与平行，

∴设直线方程为，

又∵过点，

代入得，解得，

故直线方程为．

故选．

6．函数的一个单调区间是（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】解：

由，，

即，，

令可得，函数的一个单调递增区间．

故选．

7．做一个体积为，高为的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为（）．

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】解：

根据题意，设底面的两个相邻边为，则，故，则所用纸张面积为

．

当且仅当时取等号．

故选．

8．已知变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】解：

由约束条件作出可行域如图，

化为，

由图可知，当直线过时，目标函数有最小值，

．

故选．

9．如图所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是（）．

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】解：

模拟执行程序框图，可得：

，，

满足条件，，，

满足条件，，，

满足条件，，，

不满足条件，退出循环，输出的值为．

故选．

10．关于的不等式的解集中的一个元素为，则实数的取值范围是（）．

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】解：

关于的不等式的解集中的一个元素为，

∴，

即，

解得．

故选．

11．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，得到正视图的面积为，则该四面体的体积是（）．

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】解：

如图所示，以平面为投影面，得到正视图的面积为，

∴，

解得，

∴该四面体的体积．

故选．

12．已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（）．

A．

B．

C．或

D．或

【答案】D

【解析】解：

设，由题意可得，

所以当时，方程为，

当时，方程为，

因此，动点的轨迹方程为和．

故选．

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：

（本大题共4小题，每小题5分）

13．在中，，，，则的值为__________．

【答案】

【解析】解：

因为在中，，，，

所以由正弦定理得，，

则，

故答案为．

14．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（图），则该赛季发挥更稳定的运动员是__________．（填“甲”或“乙”）

【答案】乙

【解析】解：

由茎叶图可知，乙运动员的得分大部分集中在分之间，

而甲运动员的得分相对比较散且在低分区的较多，故乙篮球运动员比赛得分更稳定．

故答案为乙．

15．已知向量，，则__________．

【答案】

【解析】解：

由题意可得：

．

故答案为．

16．已知表示不超过实数的最大整数，，是函数的零点，则的值等于__________．

【答案】

【解析】解：

∵函数，在单调递增，

∴，，

∴根据零点判定定理可得，

∴．

故答案为．

三、解答题：

（解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）

17．（本小题满分分）

已知函数，．

（）求的值．

（）若是第四象限角，且，求的值．

【答案】（）．

（）．

【解析】解：

（）由题意可得：

，

综上所述，结论是：

．

（）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是第四象限角，

∴，

∴，

∴．

故结论是：

．

18．（本小题满分分）

某中学高一年级新生有名，从这些新生中随机抽取名学生作为样本测量身高（单位：

）得到频率分布表如下：

身高

频率

男

女

（）试估计高一年级新生中身高在上的学生人数．

（）从样本中身高在区间上的女生中任选名，求恰好有一名身高在区间上的概率．

【答案】（）．

（）．

【解析】解：

（）由所给图表可知：

抽取名学生身高在上的概率，

∵高一年级新生有名，

∴高一年级新生中身高在上的学生人数为人，

∴结论是：

．

（）由所给图表可知：

从样本中身高在区间上的女生有：

人，

身高在区间上的女生有人，

身高在区间上的女生有人，

从样本中身高在区间上的女生中任选两名，有种选法，恰好有一名身高在区间上的种选法，

所以从样本中身高在区间上的女生中任选两名，恰好有一名身高在区间上的概率．

综上，结论是：

．

19．（本大题满分分）

如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点．

（）求证：

平面．

（）在棱上是否存在点，使得？

若存在，求的长度；若不存在，说明理由．

【答案】（）见解析．

（）．

【解析】解：

证明：

（）连结，则，，

∴，

∵面，面，

∴平面．

（）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

假设棱上是存在点，使得，设，

则，，，，，

∵，

∴，

解得，

∴在棱上存在点，使得，且．

20．（本小题满分分）

已知直线与圆相交于，两点，圆与圆相外切，且与直线相切于点．

（）求的值．

（）求的长．

（）求圆的方程．

【答案】（）．

（）．

（），．

【解析】解：

（）由题意知，点在直线上，所以．

（）圆心到直线有距离，于是．

（）设所求圆心的坐标为，半径为，

由题意知，则，

即，从而，

又圆与圆相切，则，

即：

，

（）当时解得：

，，，则圆的方程为：

，

（）当时解得：

，，，则圆的方程为：

，

所以所求圆的方程为：

，．