柳卡图解行程问题.docx
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柳卡图解行程问题.docx
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柳卡图解行程问题
数学竞赛讲义之行程问题
多车相遇
例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,自隔5分
钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟,有一个人从乙
站出发沿着电车线路骑车前往甲站。
他出发的时侯,恰好有一辆电车到
达乙站。
在路上他又遇到到了10辆迎面开来的电车,到达甲站时,恰
好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟?
解:
一辆车走完全程需要15分钟,所以一辆车刚发出时,途中有
*恰发车时
•乙
人骑车
C•
15-3-1=2辆车
电车
甲«
发车间隔农分钟
电车
甲«
恰发车
跑完全程疋分钟
•乙
骑车出发右菊车•
•»恰发车
电车
甲••
人骑车
——骑车到达
所以当人骑车出发时,而甲站车时,在中途有两辆车子,可以相遇,所
以共相遇10辆车,于是又发车8辆相遇,恰到达时,又发车,于是发车9辆时,甲到达,即有8个时间间隔,时间为5X8=40分钟。
所以骑车行完全程的时间为40分钟。
例73、某人沿电车路线行走,每隔12分钟有一辆电车从后面追上,每
4分钟有一辆电车迎面开来。
假设两个起点站的发车间隔是相同的。
求
这个发车间隔
St
电丰下-灯W
D
G
另车
追击m
电车下一次16击
解:
因为两辆电车的间隔目相等,两次相遇期间,共走了[(行人+电车)
X4],所以两辆电车的间隔为[(行人+电车)x4],于是两辆车间隔时间
行人电车
__电车__
两次追及期间,共行走[电车X12],行人行走了[行人x12],所以电车行走了[(电车-行人)x12],两辆电车的间隔为[(电车-行人)x12],于是两辆车的间隔时间为电车;行人12。
即有:
电车=2X行人
例74、从电车总站每隔一定时间开出辆电车,甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行,甲每分钟步行82米,每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每分钟步行60米,每隔10分15秒遇上一辆迎面开来的电车,那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车?
60*161Silt
4:
甲:
电车下-ftwa
乙、电车下一衣囲锻
甲.
乙
假设甲、乙、
A8
电车共同相遇在A点,甲、电车下一次相遇在C点,乙、电车相遇在B点。
则B距A点距离为BA=6010丄615米
4
C距A点距离为CA=82X10=820米
所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒-10分钟=15秒=-分
4
路程为820-615=205米
于是,电车的速度和为2051820米/分
4
于是,当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(820+82)X10=9020米远两电车间隔为9020米。
所车间隔为9020+820=11分钟。
柳卡问题:
这是一个著名的数学问题,由法国数学家柳卡在19世纪一
次数学大会上提出:
每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿弗尔开往美国纽约,且每天同一
时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿弗尔。
轮船在途中需要7天7夜。
假
定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。
问某艘勒阿弗尔开出的轮船,在到达纽约时,能遇到几艘从纽约开来的轮船?
后来,一位数学家画出
了“路程图”(运程图),才得以解决。
纽纳113」5t7891»IIL2B141516170期
中途13艘,首尾2艘,共15艘。
序号
0
1
2
3
5
首
6
5
4
3
仃
1
6
5
4
3
9
1
0
2
7
6
5
4
3
2
1
0
1天配开出
3
y
6
5
4
3
2
1
0
2天刖开出
4
6
5
4
3
9
1
0
3天前开出
5
7
6
rr
4
T
2
1
0
4天前尸出
6
—r
6
4
3
2
1
0
5黃前开岀
1
i
6
5
4
3
2
1
0
6天乾开出
8
6
5
4
3
2
1
0
n7天前孑
壬出
9
软阿郊毎亠
0
1
2
3
4
5
6
7
亠圮旳港
10
!
6
5
4
3
9
1
0
1云巨尸出
11
7
6
5
4
3
2
1
0
2天前开出
12
7
6
5
4
3
2
1
0
3夭前开出
13
f
6
5
4
3
1
0
丄天前开岀
14
7
An
5
4
3
2
1
0
5天前开出
15
7
S
5
4
3
2
1
0
6天前幵出
L6
7
6
□
J
3
2
1
0
了天前开出
从图上可以看山,在某轮船开出的前7天,纽约港已有7艘轮船驶入航程,加上当天的一艘,共计8艘。
之后,纽约港每天还有1艘轮船驶入航程,共计7艘。
这样从勒阿弗尔港驶出的轮船在整个运行过程中,
将要和本公司的15艘轮船相遇。
从图上看,当中一列(蓝色〉共有16行相交,除去勒阿弗尔港当天自己开出得一列(红色),相交数也
是15例75、一条双向铁路上有11个车站。
相邻两站都相距7千米,从早晨
7时开始,有18列货车由第11站顺次发出,每隔5分钟发出一列,都驶向第一站,速度都为每小时60千米。
早晨8时,由第1站发出一列客车,向第11站驶去,时速是100千米,在到达终点站前,货车与客车都不停靠任何一个站,问在哪两个相邻站之间,货车能与3列客车先
第十一站
后相遇?
早雇8时W0千米/小时
O
所以,一般采用图像法与分析法结合使用,对有可能的情况进行分析。
图像法:
画出示意图,利用示意图求解,但是要求图像一定的精确度。
由上图可知,客车在5、6两站遇见三辆客车
所以客车到第一站的时间为
所以客车与第一辆车相遇为8时1010060603-分
4
相邻两货车相距为605605千米
所以,客车经过两辆货车的时间间隔为510060601?
分钟
8
则客车与18辆货车相遇时间顺次为
第辆:
8时33分,即8时36分
48
第二辆:
361741355,即8时55分
88888
第三站:
55176127-,即8时7-分
88888
第四站:
741781193,即8时93分
88888
第五辆:
9317101111-,即8时11-分
88888
所以,客车在8时167分到达第五站,8时21分到达第六站。
在此期间,
8
它于8时,8时,8时205分三次与货车相遇。
8
所以在第5、6两站之间,客车与货车三次相遇。
例76、长途汽车有甲、乙两个终点站,汽车要用4小时才能驶完全程。
从上午6点开始,每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车,最后
一班车在下午4点发出。
问从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车?
最少能看到到几辆?
解:
最多9辆,最少5辆
6*89丄0111115141516P丄81920
乙6-89101112131415161*1S1920
例77、由A、B、CD、E五名小学生进行马拉松比赛。
不管前半程怎样,当他们从折返点返回跑后半程时,每人的速度都是固定不变的。
他
们三位朋友X、丫、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。
最先拍
的是X,然后是丫,最后按快门的是乙照片洗出后他们分别这样说:
X:
“我是在他们返回跑了10分钟后照的,当时五人的顺序是B、E、
C、A、D而且他们的间隔相等,都是30m”。
Z:
“我是在他们返回跑了30分钟后照的,当时五人的顺序是A、B、C、D、E,而且他们的间隔相等,都是20m”。
丫:
“我是什么时侯照的,自己也没记住,不过我照的时候他们的间隔也相等。
”
问:
丫是在他们返回跑了几分钟时照的?
解:
先用图表示5个人的顺序变化。
□分钟肓
f人
切分钟肓
_q
»B
B•
4
1E
:
7丄
hbd
间隔20米/
*C
I间隔30米
D'
|A
E・
1
*D
从上图可以看出,ACE经常处于间隔相同的状态,当A正好在B
和C中间时,E也正好在C和D的正中间,因此5人中的间隔是相同的。
为便于分析这个时间,在两侧B和C的正中间画上一条线来表示,如右图当
此线和A线相交时,A就在B和C的正中间,所以可以求出这个时刻。
这时,
图中的两个阴影部分的三角形是相似三角形。
因此,两个三角形的对应边的比(相似比)是30:
60=1:
2,所以mn=1:
2。
5人的间隔相同,20—62,即6分40秒
123
也就是说,丫在他们返回来回跑了16分40秒后照的。
c•
•
间隔20米
D•..
jH11
•
E•
m
n
•
A
D
C间隔却米
【巩固练习】某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/小时的速度步行,每
7.2分钟有一辆电车迎面开过,每12分钟有一辆电车从后面追过。
如果
电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行,那么电车的速度是多少?
电车之间的时间间隔是多少?
优化设计
★例78、甲乙两班学生到离校24千米的飞机场参观,但只有一辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生。
为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生,如果甲乙两
班学生步行速度相同,汽车速度是他们步行速度的7倍,那么汽车应在距飞机场多少千
乙•…
匸甲01,Z封曲地点
米处返回接乙班学生,才能使两班同时到达飞机场?
假设甲坐车时间为“1”,甲班行驶了1X7速度时,乙班行驶了1X1
速度时,然后甲下车,汽车往回行驶,于是汽车与乙相遇,他们的路程差为7-仁6速度时,速度和8速度时,所需时间为68-时,于是乙步
4
行131.75时,换车;甲坐车1时,步行。
4
因为甲乙速度一样,同时到达,所以甲、乙坐车、步行时间一样,于是甲乙坐车1时,甲乙步行时间1.75时。
所以,坐车与步行路程比为17:
1.7514:
1
于是步行路程为24—4-48千米
145
所以汽车停在距机场4.8千米处。
例79、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园,甲班步行的速度是
每小时4千米,乙班步行的速度是每小时3千米。
学校有一辆汽车,它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生,为了使两班学生在最短时间内到达公园,那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少?
解:
为了使两班最短时间到达,汽车从一班换车地点至另一班换车地点时间尽量减小,所以先让速度快得甲班先走,这样乙班换车地点与甲班
甲X|甲41^45
甲.珀•
行至地点距离小,就节省了时间。
假设甲班先行走时间为“1”,则甲班行程4,乙班因为坐车行程48
现在行程差为48-4=44,乙班下车,甲班坐车,但车、甲行程差为44
车、甲速度和为4+48=52,于是需445244时,车、甲相遇。
52
此时,甲行走444,乙行走344。
5252
所以,甲乙行程差为444443444444
525252
乙、车速度差为48-3=45,车追上乙时间为44坐45丝岀,于是乙行走
525245
了见土3344,甲行走了4444,所以他们的步行距离比为:
444
51
◎3
5145
15:
11
52455151
所以甲乙两班步行的距离比为15:
11
方法二:
甲班步行走了AC,汽车载着乙班从A出发;当汽车到达D时,放下乙班步行,返回到C与甲班相遇。
最后,汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B。
在汽车与甲班在C相遇之间,甲班走了AC,汽车走了AD+DC由于
在这一过程中,车和甲班始终在走,所以路程比等于速度比,即
AC2CD:
AC48:
412:
1
因此,2CD:
DB15:
1,CD:
DB15:
2
由此,AC:
DB15:
11
例80、甲乙两地相距35千米,小张、小李都要从甲地去乙地,他们只有一辆自行车,小张先步行,小李先骑车,同时出发。
小张步行的速度是每小时5千米,小李步行的速度是每小时4千米。
两人骑车的速度都是每小时20千米。
那么两人从甲地到乙地最短需要多少小时?
解:
小李骑车到达甲乙之间的丙地,改为步行,小张到丙地后骑车,两
人同时到达乙地。
此时两人到达乙地需要时间最少。
S?
甲—
鶉千常
二Cd
33
—♦
—
甲*'
•■Z
―・
4千Jtf金BJ
5耳
方法一方程法设甲丙距离为x,则小李需要时间20节,小张需
要时间x
520
因为同时出发,同时到达,所以小李、小张所需时间相等。
于是,x竺彳—竺兰,所以x20千米
520204
于是所需时间为△匣上£m202L20iI54?
小时,即4小时
52020420444
45分钟。
方法二比例法求出甲丙:
丙乙的路程比。
知道骑车“1”距离时间为丄,小李步行“1”距离时间为1,小张步行
204
“1”距离时间为1。
5
小李因走路程“1”耽搁的时间与小张因走路程“1”耽搁的时间之比为
114
戸0204:
3,因为所需时间相等,所以路程比为3:
4。
1丄_3_
52020
因为小李与小张的步行、骑车距离正好相反,所以小李步行路程为
35丄15千米,所以甲丙路程为35-15=20千米。
34
小李步行时间为2043小时,即4小时45分钟。
4204
例81、一条环形道路,周长为2千米,甲、乙、丙3人从同一点同时出发,每人环行2周。
现有自行车2辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行,中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑。
已知甲步行的速度为每小时5千米,乙和丙步行的速度是每小时4千米,3人骑车的速度都是每小时20千米。
请你设计一种走法,使3个人2辆车同时到达终点。
那么环行2周最少要用多少分钟?
解:
求出甲乙步行的路程比。
假设甲乙均始终骑车,则甲乙同时到达。
在一个单位路程“1”内,甲乙骑车所用时间:
丄,甲步行所用时间:
20
1,乙步行所用时间:
1
54
11
现在因步行耽搁的时间比为:
工⑵―-,于是步行的距离比应为耽
1丄514
420
搁时间的倒数比,即4:
3。
又因为乙、丙速度相同,所以步行距离相等
于是甲乙丙步行距离比为:
车处走到另一停车处)。
于是甲步行的距离为
?
千米。
于是骑车距离
甲:
乙:
丙=4:
3:
3
为2X2-0.8=3.2千米;所以甲需要时间为?
=0.32小时。
即0.32X
60=19.2分钟。
环形两周的最短时间为19.2千米。
例82、下图为某邮递员负责的邮区街道图,图中交叉点为邮户,每个
小长方形的长为180米,宽为150米。
如果邮递员每分钟行200米,在每个邮户停留半分钟,那么从邮局出发走遍所以邮户,再回到邮局,最少要用多少分钟?
}150
dh
弼局
解:
此题的关键是求出最佳路径,显然不满足一笔画,我们也要走到个
}150
个交点。
观察上图,前两种路线有重复部分,而第三个路线比第四个路线长。
所
以第四种路线最短。
至少要走3900米,有6X4-1=23个邮户。
所以需3900+200+(6X4-1)X0.5=19.5+11.5=31分钟。
例83、有一个沙漠地带,汽车每天行驶200千米,每辆汽车载运可行
驶24天的汽油。
现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发,并在完成任务后,沿原路返回。
为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车在行驶一段
路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他得油给甲车。
求甲车所
能开行的最远距离。
解:
甲一歩事出1|8丙甲t——
我们知道,甲车尽可能远,则乙车离开甲车时,保证甲车行驶24天得
汽油,则还有24天的汽油,是甲乙到达乙车离开的地点,然后,乙车原路返回,所以24天得汽油,3车次到达乙车离开的地点,于是24+
3=8天。
又甲车单独行驶的24天汽油,分成3部分,向前前进,返回至乙车离开地点,返回出发点。
由于向前前进部分=返回至乙车离开地点,返回出发点=8天
所以向前前进部分=(24-8)+2=8
所以,甲最远跑到8+8=18天得距离。
16X200=3200千米。
巩固练习
习题14、一条“☆”形道路,周长为7千米,甲乙丙3人从同一地点出发,每人环形3周,现有自行车2辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行出发,中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑。
已知甲步行的速度为每小时5千米,乙和丙步行的速度是每小时6千米,3人骑车的速度都是每小时30千米。
请你设计一种走法,使3个人2辆自行车同时到达终点。
那么环形3周最少要用多少分钟?
习题15、猴子爬窗吴尽的手风琴已经走了调,可他依旧弹奏不休,图中的那些人被他吵得要死。
如果不打发一点钱,他是不会走的。
现在,他的听众准备投降了。
请你说出。
他的那只叫乔科的猴子,将采取怎样一条最短的路线,带着一只锡碗从一个窗子爬到另一个窗子去向人家收钱?
注意,猴子必须从现在的位置出发,最后回到它主人的肩膀上。
如果每通过一个窗子需2分钟,等待别人的付钱1分钟,则需要时间为多少?
TwFMmricOTSPijgmK
习题16、在百慕大三角洲内,轮船每天行驶50海里,每辆轮船带有可
供50天的淡水;现在有“探索号”与“试验号”两艘轮船同时从同一码头出发,并在完成任务后,沿原路返回。
为了让“探索号”尽可能开出远的距离,“试验号”在行驶一段路程后,仅留下自己返回码头所需的淡水,把其他的淡水给“探索号”。
求“探索号”所能到达的最远航程?
其他问题
例84、龟兔赛跑,全程5.2千米,兔子每小时跑20千米,乌龟每小时跑3千米,乌龟不停的跑;但兔子却边跑边玩,它先跑了1分钟然后玩
15分钟,又跑了2分钟然后玩15分钟,再跑3分钟然后玩15分钟,那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?
解:
乌龟到达终点所需时间为5.2+3X60=104分钟。
兔子如果不休息,则需要时间5.2+20X60=15.6分钟。
注意到兔子休息的规律是跑1、2、3、……分钟后,休息15分钟。
15.6=1+2+3+4+5+0.6有5个间隔,所以休息5X15=75分钟,于是,兔子跑到终点所需时间为15.6+75=90.6分钟。
显然,兔子先到达,先乌龟104-90.6=14.6分钟。
例85、如下图,8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD勺边走向D点。
甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。
丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇;丁由D向C走去,8时30分在F点被乙追上。
问三角形BEF的面积为多少平方米?
AD
[b
&时10^
甲乙速彊相同
丙TSUffl同
甲
10好种
A0
丙
4今种ED
乙
14甘律
60+AE
T
10ifitDF
乙
20砒
604AD+DF
乙
_60+4F60-hDFED_DF
nT_1410T■TT
0a
AD=(AE+ED)・60+DF5ED=2DF
7(AE+ED)=5(60+AE)
AE=87*ED詁&DF=45
2497.5m2
SBEF
S3边形ABCDSABESEDF
SFCB
111
608718—6087—1845—1560
222
例86、某出租车的计价方式为:
起价是2千米5元,往后每增加1千米(最后不足1千米按1千米计算)增加2元。
现从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元,如果从甲地到乙地先步行800米,然后再乘也要35元。
问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱?
解:
35-5=30元,所以起价后付了30元,我们以起价后2元为1段。
又先走800米,付的车费不变,所以,最后的一段路程为800-1000米
之间,于是全程为2+30*2-1=16
所以半程为8--,为400-500米之间
22
所以需支付5+(8-2)X2=19元。
例87、如果在游泳池中用水拍打水面,就会有水波从拍打处向四周扩
在一个游泳池(水深都一样)里,放了一台
10秒钟可以打出6个水波
如果游泳池的水深都一样的
轻轻打水、水波的扩散速度
散,这时水波的速度仅仅和水的深度有关,话,那么不管是站立打水还是边走边打水、都将是一样的,水波真是奇怪的东西。
的机器。
这台机器带有轮子,所以也可以一定的速度前进。
水波是以每
10秒钟12米的速度扩散。
水波的最高处叫波峰,最低处叫波谷,请问:
这台机器静止不动打水,从一个波峰到另一个相邻的波峰的距离是
多少米?
太郎以每10秒钟4米的速度面向正在静止站立打水的机器走去,太郎在10秒钟内可以碰上几次波峰?
(时间的计算是一个波谷正好到太郎的面前开始的)。
这回是机器以每10秒钟4米的速度朝着站立不动的太郎边走边打水,太郎在10秒钟内可以碰上几个波峰?
(时间的计算同上)
太郎和机器分别以每10秒钟4米的速度面对面地走,太郎在10
秒内可以碰上几个波峰?
(时间的计算同上)解:
1、一瞬间产生的波以每10秒钟12米的速度扩散,在10秒内可产生6个水波。
12*6=2米
2、10秒钟内,开始计数时的波谷从太郎原先的位置前进了12米,太
郎前进了4米,其距
- 配套讲稿:
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- 图解 行程 问题