初三26正整数简单性质的复习.docx
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初三26正整数简单性质的复习
初中数学竞赛辅导资料(初三26)
正整数简单性质的复习
甲.连续正整数
一.n位数的个数:
一位正整数从1到9,共9个,两位数从10到99,共90个,三位数从100到999共9×102个,那么n位数的个数共__________.(n是正整数)
练习:
1.一本书共1989页,用0到9的数码,给每一页编号,总共要用数码___个.
2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数;
100110021003……19881989是_______位数.
3.除以3余1的两位数有____个,三位数有____个,n位数有_______个.
4.从1到100的正整数中,共有偶数____个,含3的倍数____个;
从50到1000的正整数中,共有偶数____个,含3的倍数____个.
二.连续正整数的和:
1+2+3+……+n=(1+n)×
.
把它推广到连续偶数,连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.
练习:
5.计算2+4+6+……+100=__________.
6.1+3+5+……+99=____________.
7.5+10+15+……+100=_________.
8.1+4+7+……+100=____________.
9.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数?
答______
10.和等于100的连续正整数共有______组,它们是______________________.
11.和等于100的连续整数共有_____组,它们是__________________________.
三.由连续正整数连写的整数,各位上的数字和
整数123456789各位上的数字和是:
(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45;
1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.
练习:
12.整数1234……9991000各位上的数字和是_____________.
13.把由1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止:
这个数用9除的余数是__________.
(1987年全国初中数学联赛题)
14.由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中:
1它是一个________位数;
2它的各位上的数字和等于________;
3从这一数中划去100个数字,使剩下的数尽可能大,那么剩下的数的前十位是___________________________.
四.连续正整数的积:
①1×2×3×…×n记作n!
读作n的阶乘.
②n个连续正整数的积能被n!
整除.
如:
2!
|a(a+1),3!
|a(a+1)(a+2),n!
|a(a+1)(a+2)…(a+n-1).a为整数.
③n!
中含有质因数m的个数是
+
+…+
.
[x]表示不大于x的最大正整数,i=1,2,3…mi≤n
如:
1×2×3×…×10的积中,含质因数3的个数是:
=3+1=4
练习:
15.在100!
的积中,含质因数5的个数是:
____
16.一串数1,4,7,10,……,697,700相乘的积中,末尾共有零_______个 (1988年全国初中数学联赛题)
17.求证:
10494|1989!
18.求证:
4!
|a(a2-1)(a+2)a为整数
五.两个连续正整数必互质
练习:
19.如果n+1个正整数都小于2n,那么必有两个是互质数,试证之.
乙.正整数十进制的表示法
一.n+1位的正整数记作:
an×10n+an-1×10n-1+……+a1×10+a0
其中n是正整数,且0≤ai≤9(i=1,2,3,…n)的整数,最高位an≠0.
例如:
54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.
例题:
从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233.试证:
A能被99整除.
证明:
A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33
=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.
∵100的任何次幂除以9的余数都是1,即100n=(99+1)n≡1(mod9)
∴A=99k+12+13+14+……+31+32+33(k为正整数)
=99k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)
=99k+45×11
=99k+99×5.
∴A能被99整除.
练习:
20.把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除
二.常见的一些特例
=10n-1,
=
(10n-1),
(10n-1).
例题:
试证明12,1122,111222,11112222,……这些数中的任何一个,都是两个相邻的正整数的积.
证明:
第n个数是
=
×10n+
=
(10n+2)
=
=
=
×
.证毕.
练习:
21.化简
×
+1
=_______________________________.
22.化简
=____________________________________________.
23.求证
是合数.
24.已知:
存在正整数n,能使数
被1987整除.
求证:
数p=
和
数q=
都能被1987整除.
(1987年全国初中数学联赛题)
25.证明:
把一个大于1000的正整数分为末三位一组,其余部分一组,若这两组数的差,能被7(或13)整除,则这个正整数就能被7(或13)整除.
26.求证:
×1
5+1是完全平方数.
丙.末位数的性质
.一.用N(a)表示自然数的个位数.例如a=124时,N(a)=4; a=-3时,N(a)=3.
1.N(a4k+r)=N(ar)a和k都是整数,r=1,2,3,4.
特别的:
个位数为0,1,5,6的整数,它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4,9的正偶数次幂的个位数也是它本身.
2.N(a)=N(b)
N(a-b)=0
10|(a-b).
3.若N(a)=a0,N(b)=b0.则N(an)=N(a0n);N(ab)=N(a0b0).
例题1:
求①53100;和②7
的个位数.
解:
①N(53100)=N(34×24+4)=N(34)=1
②先把幂的指数77化为4k+r形式,设法出现4的因数.
77=77-7+7=7(76-1)+4+3
=7(72-1)(74+72+1)+4+3
=7×4×12×(74+72+1)+4+3
=4k+3
∴N(7
)=N(74k+3)=N(73)=3.
练习:
27.19891989的个位数是______,9
的个位数是_______.
28.求证:
10|(19871989-19931991).
29.2210×3315×7720×5525的个位数是______.
二.自然数平方的末位数只有0,1,4,5,6,9;
连续整数平方的个位数的和,有如下规律:
12,22,32,……,102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
1.用这一性质计算连续整数平方的个位数的和
例题1.填空:
12,22,32,……,1234567892的和的个位数的数字是_______.
(1991年全国初中数学联赛题)
解:
∵12,22,32,……,102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
11到20;21到30;31到40;………123456781到123456789,的平方的个位数的和也都是45.所以所求的个位数字是:
(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.
2.为判断不是完全平方数提供了一种方法
例题2.求证:
任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.
证明:
(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数,那么可记作:
(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2(n,k都是整数)
5(n2+2)=k2.
∵k2是5的倍数,k也是5的倍数.
设k=5m,则5(n2+2)=25m2.
n2+2=5m2.
n2+2是5的倍数,其个位数只能是0或5,那么n2的倍数是8或3.
但任何自然数平方的末位数,都不可能是8或3.
∴假设不能成立
∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.
3.判断不是完全平方数的其他方法
例题3.已知:
a是正整数.
求证:
a(a+1)+1不是完全平方数
证明:
∵a(a+1)+1=a2+a+1,且a是正整数
∴a2 ∵a和a+1是相邻的两个正整数,a(a+1)+1介于它们的平方之间 ∴a(a+1)+1不是完全平方数 例题4.求证: (n>1的正整数)不是完全平方数 证明: 根据奇数的平方数除以4必余1,即(2k+1)2=4(k+1)+1. 但 = =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 即 除以4余数为3,而不是1, ∴它不是完全平方数. 例题5.求证: 任意两个奇数的平方和,都不是完全平方数. 证明: 设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数. ∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1 =4(a2+b2+a+b)+2. 这表明其和是偶数,但不是4的倍数, 故任意两个奇数的平方和,都不可能是完全平方数. 三.魔术数: 将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果所得到的新数,都能被N整除,那么N称为魔术数.常见的魔术数有: a)能被末位数整除的自然数,其末位数是1,2,5 (即10的一位正约数是魔术数) b)能被末两位数整除的自然数,其末两位数是10,20,25,50(即100的两位正约数也是魔术数)) c)能被末三位数整除的自然数,其三末位数是100,125,200,250,500(即1000的三位正约数也是魔术数) 练习: 30.在小于130的自然数中魔术数的个数为_________. (1986年全国初中数学联赛题) 四.两个连续自然数,积的个位数只有0,2,6;和的个位数只有1,3,5,7,9. 练习: 31.已知: n是自然数,且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积,那么n的值是: ___________________.(1985年上海初中数学竞赛题) 丁.质数、合数 1.正整数的一种分类: 2.质数中,偶数只有一个是2,它也是最小的质数. 3.互质数: 是指公约数只有1的两个正整数.相邻的两个正整数都是互质数. 例题: 试写出10个连续自然数,个个都是合数. 解: 答案不是唯一的,其中的一种解法是: 令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11 那么A+2,A+3,A+4,A+5,A+6,A+7,A+8,A+9,A+10,A+11就是10个连续数,且个个都是合数. 一般地,要写出n个连续自然数,个个是合数,可用 令m=n+1,那么m! +2,m! +3,m! +4,+……+m! +n+1就是所求的合数. ∵m! +i(2≤i≤n+1)有公约数i. 练习: 32.已知质数a,与奇数b的和等于11,那么a=___,b=___. 33.两个互质数的最小公倍数是72,若这两个数都是合数,那么它们分别等于____,____. 34.写出10个连续正奇数,个个都是合数,可设m=(10+1)×2,m! =22! 那么所求的合数是22! +3,_____,____,____,…… 35.写出10个连续自然数,个个都是合数,还可令N=2×3×5×7×11. (这里11=10+1,即N是不大于11的质数的积).那么N+2,N+3,N+4,……N+11就是所求的合数.这是为什么? 如果要写15个呢? 36.已知: x, m, n都是正整数.求证: 24m+2+x4n是合数. 戊.奇数和偶数 1.整数的一种分类: 2.运算性质: 奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,奇数+偶数=奇数. 奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数. (奇数)正整数=奇数,(偶数)正整数=偶数. 4.其他性质: ①两个连续整数必一奇一偶,其和是奇数,其积是偶数. ②奇数的平方被4除余1;偶数的平方能被4整除;除以4余2或3的整数 不是平方数. a)2n(n为正整数)不含大于1的奇因数. b)若两个整数的和(差)是奇数,则它们必一奇一偶. c)若n个整数的积是奇数,则它们都是奇数. 例1.设m与n都是正整数,试证明m3-n3为偶数的充分必要条件是m-n为偶数. 证明: ∵m3-n3=(m-n)(m2+mn+n2). 当m-n为偶数时,不论m2+mn+n2是奇数或偶数,m3-n3都是偶数; ∴m-n为偶数是m3-n3为偶数的充分条件. 当m-n为奇数时,m,n必一奇一偶,m2,mn,n2三个数中只有一个奇数, ∴m2+mn+n2是奇数,从而m3-n3也是奇数. ∴m-n为偶数,是m3-n3为偶数的必要条件. 综上所述m3-n3为偶数的充分必要条件是m-n为偶数. 例2.求方程x2-y2=1990的整数解. 解: (x+y)(x-y)=2×5×199. 若x,y同是奇数或同是偶数,则x+y,x-y都是偶数,其积是4的倍数,但1990不含4的因数,∴方程左、右两边不能相等. 若x,y为一奇一偶,则x-y,x+y都是奇数,其积是奇数,但1990不是奇数,∴方程两边也不能相等. 综上所述,不论x,y取什么整数值,方程两边都不能相等. 所以原方程没有整数解 本题是根据整数的一种分类: 奇数和偶数,详尽地讨论了方程的解的可能性. 练习: 37.设n为整数,试判定n2-n+1是奇数或偶数. 38.1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数,为什么? 39.有四个正整数的和是奇数,那么它们的立方和,不可能是偶数,试说明理由. 40.求证: 方程x2+1989x+9891=0没有整数根. 41.已知: 求证: n是4的倍数. 42.若n是大于1的整数,p=n+(n2-1) 试判定p是奇数或偶数,或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题) 已.按余数分类 1.整数被正整数m除,按它的余数可分为m类,称按模m分类. 如: 模m=2,可把整数分为2类: {2k},{2k+1}k为整数,下同 模m=3,可把整数分为3类: {3k},{3k+1},{3k+2}. …… 模m=9,可把整数分为9类: {9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}. 2.整数除以9的余数,与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同. 如: 6372,5273,4785各位数字和除以9的余数分别是0,8,6.那么这三个数除以9的余数也分别是0,8,6. 3.按模m分类时,它们的余数有可加,可乘,可乘方的性质. 如: 若a=5k1+1, b=5k2+2. 则a+b除以5余数是3(1+2); ab除以5余2 (1×2); b2除以5余4 (22). 例1.求19891989除以7的余数. 解: ∵19891989=(7×284+1)1989, ∴19891989≡11989≡1(mod7). 即19891989除以7的余数是1. 练习: 43.今天是星期一,99天之后是星期________. 44.n个整数都除以n-1,至少有两个是同余数,这是为什么? 45.a是整数,最简分数 化为小数时,若为循环小数,那么一个循环节最多有几位? 4.运用余数性质和整数除以9的余数特征,可对四则运算进行检验 例2.下列演算是否正确? ①12625+9568=21193; ②2473×429=1060927. 解: ①用各位数字和除以9,得到余数: 12625,9568,21193除以9的余数分别是7,1,7. ∵7+1≠7,∴演算必有错. ②2473,429,1060927除以9的余数分别是7,6,7. 而7×6=42,它除以9余数为6,不是7,故演算也有错. 注意: 发现差错是准确的,但这种检验并不能肯定演算是绝对正确. 练习: 46.检验下列计算有无差错: ①372854-83275=289679; ②23366292÷6236=3748. 5.整数按模分类,在证明题中的应用 例3.求证: 任意两个整数a和b,它们的和、差、积中,至少有一个是3的倍数. 证明: 把整数a和b按模3分类,再详尽地讨论. 如果a,b除以3,有同余数(包括同余0、1、2),那么a,b的差是3的倍数; 如果a,b除以3,余数不同,但有一个余数是0,那么a,b的积是3的倍数; 如果a,b除以3,余数分别是1和2,那么a,b的和是3的倍数. 综上所述任意两个整数a,b,它们的和、差、积中,至少有一个是3的倍数. (分类讨论时,要求做到既不重复又不违漏) 例4.已知: p≥5,且p和2p+1都是质数. 求证: 4p+1是合数. 证明: 把整数按模3分类.即把整数分为3k,3k+1,3k+2(k为整数)三类讨论 ∵p是质数,∴不能是3的倍数,即p≠3k; 当p=3k+1时,2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴2p+1不是质数,即p≠3k+1; 只有当质数p=3k+2时,2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. ∴2p+1也是质数,符合题设. 这时,4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数.证毕 练习: 47.已知: 整数a不能被2和3整除.求证: a2+23能被24整除. 48.求证: 任何两个整数的平方和除以8,余数不可能为6. 49.若正整数a不是5的倍数.则a8+3a4-4能被100整除. 50.已知: 自然数n>2求证: 2n-1和2n+1中,如果有一个是质数,则另一个必是合数. 51.设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除.(1986年全国初中数学联赛题) 庚.整数解 1.二元一次方程ax+by=c的整数解: 当a,b互质时,若有一个整数的特解 那么可写出它的通解 2.运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质 整数±整数=整数,整数×整数=整数, 整数÷(这整数的约数)=整数,(整数)自然数=整数 3.一元二次方程,用求根公式,根的判别式,韦达定理讨论整数解. 4.根据已知条件讨论整数解. 例1.小军和小红的生日.都在10月份,且星期几也相同,他们生日的日期的和等于34,小军比小红早出生,求小军的生日. 解: 设小军和小红的生日分别为x,y,根据题意,得 (k=1,2,3,4)2x=34-7kx=17- k=1,3时,x没有整数解; 当k=2时, 当k=4时, (10月份没有31日,舍去) ∴小军的生日在10月10日 例2.如果一个三位数除以11所得的商,是这个三位数的各位上的数的平方和,试求符合条件的所有三位数.(1988年泉州市初二数学双基赛题) 解: 设三位数为100a+10b+c,a,b,c都是整数,0 那么
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