0基础系列数量关系.docx
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0基础系列数量关系
0基础系列-数量关系
【方法技巧】数量0基础——你真的会代入吗?
(1)题干特征:
①多位数问题(题干描述一个多位数,各个数字满足的要求,问题求这个多位数)
②年龄问题(题干描述N个人年龄之前的关系,问题求某个或某几个人的年龄)
③余数类问题(题干涉及到分配物品有余数或恰好平均分配,问题求物品总数或被分配的人数)
④不定方程问题(题干涉及到两个未知数,只能列出一个方程,或涉及到三个未知数,列出两个方程,问题求某一个未知数的值或某几个未知数的值)
⑤操作类问题(题干涉及到多步操作,较为复杂,问题求初始情况)
①简单入手原则:
如果选项里面有整十整百,先代这些整十整百的数值算,为什么?
——好算!
补充一句:
整十整百作为正确答案的概率也更高一些;
②最值代入原则:
如果可以代入,但是问题中出现最多/最少,按照从大到小/从小到大的顺序依次代入验证!
切记!
(否则存在出错的可能)
③排除原则:
当某个选项不满足题干中的某个条件时,无需继续验证该选项是否满足题干的其他条件。
【小作业】(建议时间:
7分钟,把所有可以代入的题目找到并解决)
1.某班有56名学生,每人都参加了a、b、c、d、e五个兴趣班中的其中一个。
已知有27人参加a兴趣班,参加b兴趣班的人数第二多,参加c、d兴趣班的人数相同,e兴趣班的参加人数最少,只有6人,问参加b兴趣班的学生有多少个?
( )
A.7个B.8个C.9个D.10个
2.某单位共有四个科室,第一科室20人,第二科室21人,第三科室25人,第四科室34人,随机抽取一人到外地考察学习,抽到第一科室的概率是多少?
A.0.3B.0.24C.0.2D.0.15
3.将2万本书籍分给某希望小学9个班的学生。
在9个班中,其中1个班有学生32人,其余8个班人数相同且在40到50人之间。
如每名学生分到的书本数相同,问每人分到了多少本书?
A.40B.50C.60D.80
4.某单位志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶,到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人,如果给每个老人分5盒,则剩下38盒;如果每个老人分6盒,则最后一个老人不足5盒,但至少分得1盒,问该敬老院至少有多少名老人:
A.39B.40C.41D.43
5.以一个矩形任意两条边为直径画圆,将该矩形分成的区域数有几种不同的可能性:
A.1B.2C.3D.4
6.一艘船在河水流速为每小时15公里的河中央抛锚,停在码头下游60公里处。
一艘时速为40公里的救援船从码头出发前去拖船,已知救援船拖上另一艘船后,船速将下降1/4。
救援船从码头出发,一共需要大约多少小时才能将抛锚的船拖回码头:
A.3B.3.5C.4D.5.1
7.有一堆围棋子。
白子数是黑子的3倍。
每次拿出5颗白子、3颗黑子,经过若干次后,剩下的白子数是黑子数的9倍。
问原来白子最少有几颗:
A.22B.27C.33D.66
8.A、B、C、D四个工程队修建一条马路,A、B合作可用8天完成,A、C或B、D合作可用7天完成,问C、D合作能比A、B合作提前多少天完成:
A.16/9B.15/8C.7/4D.2
9.某科室共有8人,现在需要抽出两个2人的小组到不同的下级单位检查工作,问共有多少种不同的安排方案:
A.210B.260C.420D.840
10.小李的弟弟比小李小2岁,小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。
1994年,小李的弟弟和小王的年龄之和为15。
问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁?
( )
A.25、32B.27、30C.30、27D.32、25
【方法技巧】数量0基础——枚举、凑也是方法
①题干较简单,满足题干要求的情况数较少(常见题型:
简单排列组合)
【例1】餐厅需要使用9升食用油,现在库房里库存有15桶5升装的,3桶2升装的,8桶1升装的。
问库房有多少种发货方式,能保证正好发出餐厅需要的9升食用油?
A.4B.5C.6D.7
【小齐分析】由于9升食用油只能由若干5、2、1凑成,且满足要求的情况一定不多(看选项),故直接按顺序枚举出所有情况即可:
5升、2升、1升依次使用(1、2、0)(1、1、2)(1、0、4)(0、3、3)(0、2、5)(0、1、7)共6种方式。
(由于只有3桶2升,故不存在0、4、1)
【例2】某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放9份材料。
问一共有多少种不同的发放方法?
( )
A.12B.10C.9D.7
【小齐分析】排列组合问题,选项数值较小(很多排列组合问题,都可以直接枚举,不用管A、C)。
由于每个部门至少9份,故30份材料只能分为(9、9、12)(9、10、11)(10、10、10)三种情况,再把材料对应到3个部分,(9、9、12)有三种对应方式:
(9、9、12)(9,、12、9)(12、9、9);(9、10、11)有6种对应方式(9、10、11)(9、11、10)(10、9、11)(10、11、9)(11、9、10)(11、10、9)其实也就是A33;(10、10、10)只有一种对应方式(10、10、10)。
故一共有3+6+1=10种分配方式。
(本题其实是插板法的典型题目,见今天最后一条推送,但是如果你没有学会插板法,直接分类枚举同样可以凑出答案)
②不定方式求正整数解时(详见不定方程的推送)
③题目涉及到一般情况比较复杂,直接用简单的特殊情况计算答案
【例3】三个工程队完成一项工程,每天两队工作、一队轮休,最后耗时13天整完成了这项工程。
问如果不轮休,三个工程队一起工作,将在第几天内完成这项工程?
A.6天B.7天C.8天D.9天
【小齐分析】工程问题。
只描述了工作方式,但是不知道3个人的效率,那么:
3人的效率分别是多少一定不影响最后的答案,直接找到最简单的情况,三人的效率均赋值为1,计算工作总量为(1+1)×13=26,26÷(1+1+1)=8.几,故9天内完成。
④题目涉及到较大的N(遥远的以后的情况),先计算N取1、2、3、4时的简单情况
【例4】n为100以内的自然数(0也是自然数喔~),那么能令被7整除的n有多少个?
( )
A.32B.33C.34D.35
【小齐分析】2的100次方等于几,计算器都不知道,以后碰到此类题目(涉及到比较大的N,一定先计算简单情况:
n取0、1、2、3……找到规律。
本题中n=0时,2的0次方-1=0,能被7整除,尝试后发现,n取3、6的时候原式均能被7整除,发现当n取3的倍数时满足要求,1到100共33个3的倍数,再加上0,一共34个数满足要求。
)
⑤题目给出的数据计算较为麻烦,先强行赋值(较好算的数据),然后按比例推出答案
【例5】老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%,为尽快出手,老王将该艺术品按市价的八折出售,扣除成交价5%的交易费用后,发现与买进时相比赚了7万元。
问老王买进该艺术品花了多少万元?
( )
【小齐分析】由于已知了具体数值,一般不能直接赋值,但是如果我们假定进价是100万,则市价为150万,售价为150×0.8=120万,扣除交易费用120×5%=6万,最终盈利14万,而实际盈利为7万,即假设量的一半,所以进价也应该是假设量100万的一半,即50元。
即最后一步按照“赋值”与“实际值”的比例关系,扩大或缩小即可得到正确答案。
【方法技巧】数量0基础——快速查找等量关系
【方法技巧】数量0基础——快速查找等量关系
方程法步骤:
①找等量关系②设未知数(等量关系中缺谁设谁)③列方程,解方程
等量关系常见形式
①已知总和
②已知A与B中间的关系:
A比B……,A是B……,A与B……
③隐藏在多个条件中的不变量
注释:
第②条通常用来减少未知数的个数,用一个未知数x来表示多个量
【例1】某市现有70万人口,如果5年后城镇人口增加4%,农村人口增加5.4%,则全市人口将增加4.8%,那么这个市现有城镇人口( )。
本题其实也可以十字交叉(更简单一些),但是今天不用考虑~
【例2】有甲、乙两个项目组。
乙组任务临时加重时,从甲组抽调了四分之一的组员。
此后甲组任务也有所加重,于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。
此时甲组与乙组人数相等。
由此可以得出结论( )。
本题也可以设甲为4x,图片中的方程其实很好化简哒~
【例3】甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个,乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。
则两个工厂每天共能生产多少个零件?
【例4】某工厂的两个车间共有120名工人,每名工人每天生产15件设备。
如果将乙车间工人的1/3调到甲车间,则甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件。
问原来乙车间比甲车间多多少人?
( )
【例5】一群人坐车去旅游,如果每辆车坐22人,还剩5人没有坐车,如果每辆车坐26人,则空出15个座位。
问每辆车坐25人,空出多少个座位?
【例6】甲乙两个乡村阅览室,甲阅览室科技类书籍数量的1/5相当于乙阅览室该类书籍的1/4,甲阅览室文化类书籍数量的2/3相当于乙阅览室该类书籍的1/6,甲阅览室科技类和文化类书籍的总量比乙阅览室两类书籍的总量多1000本,甲阅览室科技类书籍和文化类书籍的比例为20:
1,问甲阅览室有多少本科技类书籍?
本题麻烦一些,但是理清条件,找到核心等量关系就很简单啦(图片中有个错误喔,看看能看出来不)
【例7】某单位今年一月份购买5包A4纸、6包B5纸,购买A4纸的钱比B5纸少5元;第一季度该单位共购买A4纸15包、B5纸12包,共花费510元。
那么每包B5纸的价格比A4纸便宜( )。
【方法技巧】数量0基础——不定方程解法汇总
常用解法:
①直接代入选项验证(小齐说:
能代入优先代入!
);
②枚举试算;
③利用奇偶、尾数、倍数等数字特性分析;
④特定题型可以采用赋“0”法。
【例1】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。
每个红色文件袋可以装7份文件,每个蓝色文件袋可以装4份文件。
要使每个文件袋都恰好装满,需要红色、蓝色文件袋的数量分别为多少个?
( )
A.1,6B.2,4C.3,2D.4,1
【例2】某班有56名学生,每人都参加了a、b、c、d、e五个兴趣班中的其中一个。
已知有27人参加a兴趣班,参加b兴趣班的人数第二多,参加c、d兴趣班的人数相同,e兴趣班的参加人数最少,只有6人,问参加b兴趣班的学生有多少个?
( )
A.7个B.8个C.9个D.10个
【例3】超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。
问两种包装盒相差多少个?
( )
A.3B.4C.7D.13
【练习】一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20,那么这两个质数的和是( )。
A.8B.9C.7D.6
【例4】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元,某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。
钱恰好用完,则这两种笔最多可买的支数是?
( )
A.12B.13C.16D.18
【例5】小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包,按照数量多少的顺序分别是小王、小李、小张、小周。
已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和;小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。
问小王捐赠了多少个书包?
( )
A.9B.10C.11D.12
【例6】某单位为业务技能大赛获奖职工发放奖金,一、二、三等奖每人奖金分别为800、700和500元。
11名获一、二、三等奖的职工共获奖金6700元,问有多少人获得三等奖?
( )
A.3B.4C.5D.6
【例7】现有3个箱子,依次放入1、2、3个球,然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙,接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍,此时箱子里共有22个球。
最终甲箱中的球比乙箱( )。
A.多1个B.少1个C.多2个D.少2个
【例8】射箭运动员进行训练,10支箭共打了93环,且每支箭的环数都不低于8环。
问命中10环的箭数最多能比命中9环的多几支?
( )
A.2B.3C.4D.5
【例9】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔,共花了43元。
如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱?
( )
A.21元B.11元C.10元D.17元
【例10】木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时,加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。
问如果他要加工桌子、凳子和椅子各10张,共需多少个小时?
( )
A.50B.47.5C.52.5D.55
【例11】小刚买了3支钢笔,1个笔记本,2瓶墨水花去35元钱,小强在同一家店买同样的5支钢笔,1个笔记本,3瓶墨水花去52元钱,则买1支钢笔,1个笔记本,1瓶墨水共需( )元。
A.9B.12C.15D.18
【方法技巧】数量0基础——工程问题
核心公式:
工作总量=工作效率×工作时间
赋值法:
①已知若干个工作时间,赋值总量为工作时间的公倍数;
②已知效率之间的比例关系,按比例赋值效率。
③N个相同的人/机器,赋值每人的效率为1;总量和效率均不好赋值时,设总量为单位1,把效率设为未知数,列方程求解
【例1】一项工程,甲、乙合作12天完成,乙、丙合作9天,丙、丁合作12天完成。
如果甲、丁合作,则完成这项工程需要的天数是:
A.16B.18C.24D.26
【例2】某项工程,甲工程队单独施工需要30天完成,乙施工队单独施工需要25天完成,甲队单独施工了4天后改由两队一起施工,期间甲队休息了若干天,最后整个工程共耗时19天完成,问甲队中途休息了几天?
A.1B.3C.5D.7
【例3】甲、乙、丙3个施工队,乙的工效与甲、丙两队合作的工效相等,丙的工效是甲、乙两队合作工效的四分之一。
现有一项工程,据测算,三队合作30个工作日可完成。
如果由甲队单独来做,需要多少个工作日?
A.60B.96C.100D.150
【例4】某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量,晴天浇水量为阴雨天的2.5倍。
灌满该装置的水箱后,在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18天。
小李6月1日0:
00灌满水箱后,7月1日0:
00正好用完。
问6月有多少个阴雨天?
A.10B.16C.18D.20
【例5】甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4,现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队,甲队负责A工程,乙队负责B工程,丙队参与A工程若干天后转而参与B工程,两项工程同时开工,耗时16天同时结束。
问丙队在A工程中参与施工多少天?
( )A.6B.7C.8D.9
【练习1】有A和B两个公司想承包某项工程。
A公司需要300天才能完工,费用为1.5万元/天。
B公司需要200天就能完工,费用为3万元/天。
综合考虑时间和费用等问题,在A公司开工50天后,B公司才加入工程。
按以上方案,该项工程的费用为多少?
A.475万元B.500万元C.615万元D.525万元
【练习2】蓄水池有两个进水口,正常情况下,单独开甲进水口,5小时可以将蓄水池注满;单独开乙进水口,3小时可以注满。
现由于出水口出现渗水,同时开甲、乙两个进水口,2小时才能注满。
假定渗水速度恒定,如果单独开甲进水口,需要多少分钟才能将蓄水池注满?
A.300B.360C.400D.480
【练习3】小张和小赵从事同样的工作,小张的效率是小赵的1.5倍。
某日小张工作几小时后小赵开始工作,小赵工作了1小时之后,小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。
再过几个小时,小张已完成的工作量正好是小赵的4倍?
( )
A.1B.1.5C.2D.3
【练习4】一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天,甲队与乙队的工作效率相同,丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。
三队同时开工2天后,丙队被调往另一工地,甲、乙两队留下继续工作。
那么,开工22天以后,这项工程:
( )A.已经完工B.余下的量需甲乙两队共同工作1天
C.余下的量需乙丙两队共同工作1天D.余下的量需甲乙丙三队共同工作1天
【练习5】A、B、C三支施工队在王庄和李庄修路,王庄要修路900米,李庄要修路1250米。
已知A、B、C队每天分别能修24米、30米、32米,A、C队分别在王庄和李庄修路,B队先在王庄,施工若干天后转到李庄,两地工程同时开始同时结束。
问B队在王庄工作了几天?
A.9B.10C.11D.12
【练习6】某农场有36台收割机,要收割完所有的麦子需要14天时间。
现收割了7天后增加4台收割机,并通过技术改造使每台机器的效率提升5%。
问收割完所有的麦子还需要几天?
( )
A.3B.4C.5D.6
【练习7】某市有甲、乙、丙三个工程队,工作效率比为3∶4∶5。
甲队单独完成A工程需要25天,丙队单独完成B工程需要9天。
现由甲队负责B工程,乙队负责A工程,而丙队先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。
如希望两个工程同时开工同时竣工,则丙队要帮乙队工作多少天?
( )
A.6B.7C.8D.9
【方法技巧】数量0基础——工效统筹(选学)
题型特征:
两个人、两项工作,每个人分别完成这两项工作的效率不相等(简单来说:
各自有效率)。
如何求解呢?
先看看下面的例1,听听视频中的解法:
【例】小王和小刘手工制作一种工艺品,每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成,小王每天可以制作150个甲部件,或者制作75个乙部件;小刘每天可以制作60个甲部件,或者制作24个乙部件。
现两人一起制作工艺品,10天时间最多可以制作该工艺品( )件。
A.660B.675C.700D.900【答案】C
甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。
已知甲队单独完成A项目需13天,单独完成B项目需7天;乙队单独完成A项目需11天,单独完成B项目需9天。
如果两队合作用最短的时间完成两个项目,则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务?
( )
A.1/12天B.1/9天C.1/7天D.1/6天【答案】D
【例】小王和小刘手工制作一种工艺品,每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成,小王每天可以制作150个甲部件,或者制作75个乙部件;小刘每天可以制作60个甲部件,或者制作24个乙部件。
现两人一起制作工艺品,10天时间最多可以制作该工艺品( )件。
A.660B.675C.700D.900
如下图所示:
①把两个人的上衣、裤子横着抄成两行,交叉相乘计算乘积,找到乘积更大的那一组,标为(A、B),大数为A,小数为B,在本题中为75是A,60是B;
②将A旁边的数,标记为C,在本题中为150;
③每天能够生产的最大套数=A×(B+C)÷(A+C),记忆方法为ABCAC。
【方法技巧】数量0基础——约数倍数
①最大公约数和最小公倍数的计算方法:
短除法:
(3个数怎么求先不用问我,真题中会遇到,到时后再说吧~)
计算30和48的最大公约数和最小公倍数,如下图所示:
②判断某个数约数的个数:
方法1,两两一组因式分解
如判断30有多少个约数。
30=1×30=2×15=3×10=5×6,故30一共有(1、2、3、5、6、10、15、30)8个约数。
换一个数,48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8,故48共有(1、2、3、4、6、8、12、16、24、48)0个约数。
方法2,分解质因数(0基础最好不要看这个方法)
将所求数字分解为若干个质数的乘积形式,如下所示:
③常用结论:
只有平方数(1、4、9、16、25、36……)的约数个数为奇数个!
看这个:
25=1×25=5×5,共(1、5、25)3个约数;
36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6,共(1、2、3、4、6、9、12、18、36)9个约数。
【方法技巧】数量0基础——溶液问题(送分题)
基本公式:
溶液(盐水)=溶质(盐)+溶剂(水);浓度=溶质÷溶液;
常考题型及入手点:
①蒸发稀释类:
溶质不变、②溶液混合类:
混合前后总溶质相等、③反复操作类:
总溶液不变,计算剩余溶质
【例1】将40千克浓度16%的溶液蒸发一部分水,化为20%的溶液。
应去水多少千克?
A.8千克B.9千克C.10千克D.11千克
【例2】已知盐水若干千克,第一次加入一定量的水后,盐水浓度变为6%,第二次加入同样多的水后,盐水浓度变为4%,第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少?
A.3%B.2.5%C.2%D.1.8%
【例3】瓶中装有浓度为20%的酒精溶液1000克,现在又分别倒入200克和400克的A、B两种酒精溶液,瓶里的溶液浓度变为15%。
已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍。
那么A种酒精溶液的浓度是多少?
( )
A. 5%B. 6%C. 8%D. 10%
【例4】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水,每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水,问最少加多少次之后,烧杯中的盐水浓度能达到25%?
(假设烧杯中盐水不会溢出)
A.6B.5C.4D.3
【例5】从一瓶浓度为20%的消毒液中倒出2/5后,加满清水,再倒出2/5,又加满清水,此时消毒液的浓度为( )。
A. 7.2%B. 3.2%C. 5.0%D. 4.8%
【例6】有A、B、C三种浓度不同的溶液,按A与B的质量比为5:
3混合,得到的溶液浓度为13.75%;按A与B的质量比为3:
5混合,得到的溶液浓度为16.25%;按A、B、C的质量比为1:
2:
5混合,得到的溶液浓度为31.25%。
问溶液C的浓度为多少:
A.35%B.40%C.45%D.50%
【方法技巧】数量0基础——经济利润
经济利润问题常用公式:
售价-成本=利润、利润率=利润÷成本、定价=成本×(1+利润率)
折扣:
打几折,就在定价(原价)的基础上乘以0.几、特殊题型:
部分打折类
破题点:
总售价=两部分售价之和;总利润=两部分利润之和
【例1】某商店的两件商品成本价相同,一件按成本价多25%出售,一件按成本价少13%出售,则两件商品各售出一件时盈利为多少?
( )
A.6%B.8%C.10%D.12%
【例2】某产品售价为67.1元,在采用最新技术生产节约10%成本之后,售价不变,利润可比原来翻一番。
问该产品最初的成本为多少元?
( )
A.51.2B.54.9C.61D.62.5
【例3】商场里某商品成本上涨了20%,售价只上涨了10%,毛利率(利润/进货价)比以前下降了10个百分点。
问原来的毛利率是多少?
A.10%B.20%C.30%D.40%
【练习】一商品的进价比上月低了5%,但超市仍按上月售价销售,其利润率提高了6个百分点,则超市上月销售该商品的利润率为:
A.12%B.13%C.14%D.15%
【例4】某网店以高于进价10%的定价销售T恤,在售出后2/3,以定价的8折将余下的T恤全部售出,该网店预计盈利为成本的:
A.3.2%B.不赚也不亏C.1.6%D.2.7%
【例5】商店花10000元进了一批商品,按期望获得相当于进价25%的利润来定价。
结果只销售了商品总量的30%。
为尽快完成资金周转,商店决定打折销售,这样卖完全部商品后,亏本1000元。
问商店是按定价打几折销售的?
( )
A.九折B.七五折C.六折D.四八折
【练习】某家具店购进100套桌椅,每套进价200元,按期望获利50%定价出售,卖掉60套
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