1997考研数学三真题和详解.docx
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1997考研数学三真题和详解
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
(1)设
其中
可微,则
___________.
(2)若
则
___________.
(3)差分方程
的通解为___________.
(4)若二次型
是正定的,则
的取值范围是___________.
(5)设随机变量
和
相互独立且都服从正态分布
而
和
分别是来自总体
的简单随机样本,则统计量
服从___________分布(2分),参数为___________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设
则当
时,
是
的()
(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小
(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小
(2)若
在
内
且
则在
内有()
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)设向量组
线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)设
为同阶可逆矩阵,则()
(A)
(B)存在可逆矩阵
使
(C)存在可逆矩阵
使
(D)存在可逆矩阵
和
使
(5)设两个随机变量
与
相互独立且同分布:
则下列各式中成立的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
三、(本题满分6分)
在经济学中,称函数
为固定替代弹性生产函数,而称函数
为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).
试证明:
但
时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有
.
四、(本题满分5分)
设
有连续偏导数,
和
分别由方程
和
所确定,求
.
五、(本题满分6分)
一商家销售某种商品的价格满足关系
(万元/吨),
为销售量(单位:
吨),商品的成本函数
(万元).
(1)若每销售一吨商品,政府要征税
(万元),求该商家获最大利润时的销售量;
(2)
为何值时,政府税收总额最大.
六、(本题满分6分)
设函数
在
上连续、单调不减且
试证函数
在
上连续且单调不减(其中
).
七、(本题满分6分)
从点
作
轴的垂线,交抛物线
于点
;再从
作这条抛物线的切线与
轴交于
然后又从
作
轴的垂线,交抛物线于点
依次重复上述过程得到一系列的点
.
(1)求
;
(2)求级数
的和.
其中
为自然数,而
表示点
与
之间的距离.
八、(本题满分6分)
设函数
在
上连续,且满足方程
求
.
九、(本题满分6分)
设
为
阶非奇异矩阵,
为
维列向量,
为常数.记分块矩阵
,
其中
是矩阵
的伴随矩阵,
为
阶单位矩阵.
(1)计算并化简
;
(2)证明:
矩阵
可逆的充分必要条件是
.
十、(本题满分10分)
设三阶实对称矩阵
的特征值是1,2,3;矩阵
的属于特征值1,2的特征向量分别是
.
(1)求
的属于特征值3的特征向量;
(2)求矩阵
.
十一、(本题满分7分)
假设随机变量
的绝对值不大于1;
;在事件
出现的条件下,
在
内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求
的分布函数
.
十二、(本题满分6分)
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光;电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早晨八点的第
分钟到达底层候梯处,且
在
上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.
十三、(本题满分6分)
两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布;首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.
试求两台记录仪无故障工作的总时间
的概率密度
、数学期望和方差.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
(1)【答案】
【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下:
由
可知
(2)【答案】
【分析】本题中
是个常数,只要定出这个数问题就解决了.
【解析】令
则
两边从0到1作定积分得
解得
.
【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分
表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.
(3)【答案】
【解析】对应的齐次差分方程是
显然有不恒等于零的特解
.
因方程的右端函数
可设非齐次差分方程的特解有形式
代入方程得
由于
于是
可确定
即非齐次差分方程有一个特解是
.
从而,差分方程的通解是
.
(4)【答案】
【解析】二次型
对应的矩阵为
.
因为
正定
的顺序主子式全大于零.又
故
正定
即
.
(5)【答案】
分布,参数为9
【解析】由
是来自总体
的简单随机样本,故
独立,且都服从正态分布
.类似有
相互独立,且都服从正态分布
.
又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即
.
其中
.
由期望的性质,
;
由独立随机变量方差的性质,
故
.
因
故
所以,
.
由
分布的定义,现已有
将其标准化得
故
.
化简有
即
.
【相关知识点】1.数学期望的性质:
其中
为常数.
2.方差的性质:
与
相互独立时,
其中
为常数.
3.
分布的定义:
若
相互独立,且都服从标准正态分布
则
.
4.若
则
.
5.
分布的定义:
若
独立,则
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)【答案】(B)
【分析】只要求出极限
就能判断出正确的选项.
【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得
故应选(B).
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式:
若
均一阶可导,则
.
2.无穷小的比较:
设在同一个极限过程中,
为无穷小且存在极限
(1)若
称
在该极限过程中为同阶无穷小;
(2)若
称
在该极限过程中为等价无穷小,记为
;
(3)若
称在该极限过程中
是
的高阶无穷小,记为
.
若
不存在(不为
),称
不可比较.
(2)【答案】(C)
【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.
方法1:
由
知,
的图形关于
轴对称.由在
内,
且
知,
的图形在
内单调上升且是凸的;由对称性知,在
内,
的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).
方法2:
由
可知
.
当
时,
此时由题设知
则
故应选(C).
方法3:
排除法.取
易验证
符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).
方法4:
由题设可知
是一个二阶可导的偶函数,则
为奇函数,
为偶函数,又在
内
则在
内
故应选(C).
(3)【答案】(C)
【分析】这一类题目最好把观察法与
技巧相结合.
【解析】对于(A),
即存在一组不全为零的数1,
-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知
线性相关,排除(A);
对于(B),
即存在一组不全为零的数1,1,
-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知
线性相关,排除(B);
对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数
使得
整理得
已知
线性无关,上式成立,当且仅当
因
的系数行列式
故
有唯一零解,即
.故原向量组
线性无关.应选(C).
或者也可以将
用
线性表出,且写成矩阵形式,有
则
可逆,故两向量组是等价向量组,由
线性无关知
线性无关.
(4)【答案】(D)
【解析】方法1:
用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.
例如,若
由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立;
若
则
.
故(A)不成立;应取(D).
方法2:
因
是同阶(设为
)可逆阵,故有
而
等价
存在可逆阵
使得
(这里只需取
既有
成立),故应选(D).
或者,因
是同阶可逆阵,故
均可以通过初等行变换化成单位阵,
即存在初等阵
使得
从而有
得
.故(D)成立.
(5)【答案】(A)
【解析】因
和
相互独立,而
故有:
;
;
;
;
故(A)正确,(B)错;
故(C)错;
故(D)错.
三、(本题满分6分.)
【分析】要证明
只须证明
即可,因为
为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算.
【解析】因为
而且
所以,
于是,
.
四、(本题满分5分.)
【解析】由题设有
.(*)
在
中,将
视为
的函数,两边对
求导,得
.
(1)
在
中,将
视为
的函数,两边对
求导,得
.
(2)
将
(1)、
(2)两式代入(
)式,得
.
【相关知识点】1.多元复合函数求导法则:
若
和
在点
处偏导数存在,函数
在对应点
具有连续偏导数,则复合函数
在点
处的偏导数存在,且
.
五、(本题满分6分)
【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系
它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出
后,满足
的
即为利润最大时的销售量,此时,
是
的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额
再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值
.
【解析】
(1)设
为总税额,则
.商品销售总收入为
.
利润函数为
.
令
即
得
.
由于
因此,
即为利润最大时的销售量.
(2)将
代入
得
.
由
得惟一驻点
;由于
可见当
时
有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.
六、(本题满分6分)
【分析】当
时,
显然连续,故只要证
且当
时,
即可.
【解析】方法1:
显然
时,
连续,又由洛必达法则知
所以
在
上连续.
当
时,
.
由于
单调不减,故
又
从而
.
于是有
.故
在
上单调不减.
方法2:
连续性证明同上.由于
可见,
在
上单调不减.
【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于
的不同处理方法.
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