一元一次方程《赏古诗列方程学数学》.docx
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一元一次方程《赏古诗列方程学数学》
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
1、赏古诗,列方程,学数学;2、学好一元一次方程一、二、三
3、“墓碑与遗嘱”与一元一次方程;4、特殊一元一次方程的巧解
5、巧构一元一次方程来解题;6、列方程归类剖析
7、解这些方程就象“剥洋葱皮”简单!
;8、去括号和去分母常见错解剖析
9、“绝对值”一次方程解法点击;10、理解等式的性质四注意
11、用一元一次方程解方案决策性问题; 12、转变思路,学好列方程解应用题
1、赏古诗,列方程,学数学
用诗歌的形式来表达数学问题,使数学思维与诗情画意融为一体,学者喜闻乐见,闻者
愿作深思.不妨看:
我国唐朝“李白”沽酒的故事.《李白沽酒》
李白无事街上走,提着酒壶去买酒.
遇店加一倍,见花喝一斗.
三遇店和花,喝光壶中酒.
借问此壶中,原有多少酒?
分析:
这是历史上有名的一道用诗歌形式表述数学的问题,不但诗名优美,而且富有韵
味.如果我们设壶中原有酒 x 斗,那么,我们将文字与式子对比如下:
原文翻译式
遇店加一倍——→2 x
见花喝一斗——→2 x -1
三遇店和花——→2[2(2 x -1)-1]-1
喝光壶中酒——→2[2(2 x -1)-1]-1=0
解:
设壶中原有酒 x 斗,依题意得
2[2(2 x -1)-1]-1=0
解这个方程,得 x = 7
8
.
答:
略.
点拔:
类似的古代数学问题,我们应边读诗,边揣摸题意,先把原文翻译成我们的现代文,
理解题意后设出未知数,再将题目中的语句转化为数学语言,找出等量关系,再依题意列方
程求解.
【自主练习】
1、《晚霞红》
太阳落山晚霞红,我把鸭子赶回笼.
一半在外闹哄哄,一半的一半进笼中.
剩下十五围着我,共有多少请算清.
2、《算法统宗》中“难题”之一:
百羊问题
甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊一只随其后,戏问甲及一百否?
甲云所说无差谬,若得这般一群凑,再添半群小半群(小半群就是四分之一群)
得你一只来方凑.玄机奥妙谁猜透?
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x
22
xx
24
解得 x =36(只).
2、学好一元一次方程一、二、三
一元一次方程是初中数学的基础知识,是我们今后学习一次方程组,一元一次不等式
(组)及一元二次方程的基础。
因此学好一元一次方程的意义非常重大,怎才能学好一元一
次方程呢?
我们可从以下几方面来做。
一、正确理解一元一次方程的概念
定义:
只含有一个未知数(元)x ,且求和数 x 的指数都是 1(次)的等式叫一元一次
1
方程。
从定义上可以看出一元一次方程具有以下几个特点:
、必须是等式的形式;2、只含
一个未知数;3、未知数的次数是 1 次;4、分母中不含未知数。
因此只有同时满足以上四个
特点的等式叫一元一次方程。
二、掌握好方程的变形规则
因为方程是等式,根据等式的基本性质我们可以得出方程的两个变形规则:
① 方程两
边都加上或都减去同一个数或同一个式子,方程的解不变;② 方程的两边都乘以或都除以
同一个不为零的数,方程的解不变。
这两个分别是移项和去分母的依据。
三、掌握一元一次方程的解法
1、 解一元一次方程的一般步骤分为五步:
① 去分母;② 去括号;③ 移项;④ 合并;
⑤ 系数化 1。
2、 注意事项:
①去分母时:
不要漏乘不含分母的项;②去括号时要注意符号,括号前
面是带“-”号的因数时,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符
号相反;③ 移项是将方程中的某些项从方程的一边移到另一边时要变号,操作时
要注意以下两点:
所移的项是方程中的项,并且是从方程(等号)的一边移到另一
边,而不是在方程的一边交换两项的位置;进行移项变形时,被移动的项一定要注
意改变符号。
3、 在解具体的一元一次方程时,上述有些步骤可能用不到,当然也不一定非得按照这
五个步骤来进行,而是可以根据方程的特点灵活进行。
4、 最后要注意所求得的解是否为原方程的解。
即解完方程后,应将所求得的解分别代
入方程的左右两边,如果左边=右边,说明所求的解是原方程的解;如果左边≠右
边,说明求解过程有错误,应认真检查看是哪一步计算出了错。
这一步可以不写在
书面上,但是不可疏漏。
3、“墓碑与遗嘱”与一元一次方程
在一些名人的“墓碑与遗嘱”中,常常会有一些数学问题,因其表述独特、构思巧妙、
趣味浓郁、惹人喜爱,给枯燥的数学带来新颖有趣之感.这些问题蕴含着丰富的数学内容与
思想,且许多问题可以通过列一元一次方程解答,其思路、方法和技巧,往往别具一格,令
人耳目一新.现列举几例,以开拓同学们的视野.
一、 墓志铭上的数学问题
丢番图是公元 3 世纪古希腊的著名数学家,只知道丢番图是从亚历山大来到希腊的,关
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于他的生平事迹,人们所知道的一切几乎全部由他的墓志铭得来的.丢番图把他的生平经历
年岁以数学题形式出现在他的墓志铭上:
“过路人!
这座古墓安葬着丢番图.请你计算一下,便可知他一生经过多少寒暑.他一
生的六分之一是幸福的童年,生命的十二分之一是无忧无虑的青少年.又过了生命的七分之
一他才结婚.五年后儿子出生,不料儿子竟先于父四年而终,年龄不过父亲终年的一半.晚
年丧子,老人真可怜,但他在数学研究中寻找慰籍,请你算一算,丢番图活到多少岁,才能
和死神见面.”
【析解】根据丢番图墓志铭的记载,设丢番图活了 x 岁,则可列出下面的方程:
1111
61272
人们从这里才知道丢番图 84 岁去世.同时,还可以得到丢番图的一些资料:
他 21 岁结
婚,38 岁当了父亲,80 岁晚年丧子,84 岁撒手人寰.
二、遗产分配问题
瑞士大数学家列昂纳德·欧拉(1707 ~ 1783)在他的一生中,为人类作出了卓越的贡献,
留下了 886 篇论文和著作,几乎在数学的每个分支中都留下了他的足迹.在他的名著《代数
基础》一书中,载有他着意收集到的许多趣题,下面一例就是该书中的一个趣题:
一位父亲临终时立下遗嘱,要按下述方式分配遗产:
第一个儿子分得 100 克郎和剩下财
产的
1 1
;第二个儿子分得 200 克郎和剩下财产的 ;第三个儿子分得 300 克郎和剩下财产
10 10
11
的;第四个儿子分得 400 克郎和剩下财产的;„„ ;依次类推,最后发现这种分法
1010
好极了,因为所有的孩子分得的遗产相等.问:
这位父亲共有多少财产?
他一共有几个儿子?
每个儿子分得多少?
【析解】设遗产总数为 x 克郎,因为每个儿子分得的遗产相等,所以选取第一个儿子和
第二个儿子分得的遗产的代数式列出方程:
100+
1 1 1
10 10 10
1
每人所得遗产:
100+(8100-100)=900(克郎).
10
儿子数:
8100÷900=9(人).
答:
略.
4、特殊一元一次方程的巧解
1
解一元一次方程一般是按:
去分母;去括号;移项;合并同类项;系数化为 这五个基
本步骤来进行,但有些方程若能抓住它的基本特点,灵活应用恒等变形等方法不但可求得方
程的解,而且还可达事半功倍的效果。
一、逆用分数通分法则
2 x - 3
-= 1.
46
3
与 -的差刚好为 1,称项合并可使右边为 0,故
46
先不急于去分母,而逆用分数通分法则把分数打开,再移项合并同类项。
解:
原方程可化为
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x1x1
+-+= 1
4232
,
11
移项合并,得 (- ) x = 0 ;
43
∴ x =0.
二、活用去括号
例 2.解方程:
3 ⎡ 4 ⎛ 1 1 ⎫ ⎤ 3
4 ⎢ 3 ç 2 4 ⎭ ⎦ 2
【分析】常规解法是先去小括号,再去中括号,移项,求出x 。
但是,按常规方法每次去括
34
号时都有分数,较繁琐。
观察中括号外的“”与中括号里的第一个数“”是互为倒数,
43
故而可先去中括号,再去小括号。
3
⨯çx - ⎪ -⨯ 8 =x + 1
43 ⎝ 24 ⎭42
113
x -- 6 =x + 1 ,
242
311
x -x =-- 6 - 1 ,
224
1
∴x = -7。
4
点精:
一般情况下,若括号内的项与括号外的项有倒数关系或者相乘得整数时,可不按
常规方法,按怎样计算简便就怎样算的原则计算。
三、巧去分母
例 3.解方程:
0.2 x - 2.7 1.6 + 2 x 1.5 x + 4
+ =
0.1 0.2 0.5
111
【分析】要注意此处:
0.1 =, 0.2 =, 0.5 =,只要将各项中的分子、分母分别乘
1052
以 10、5、2,即可去掉分母。
解:
将原方程中的三项分子、分母分别乘以 10、5、2
得:
2x - 27 + 8 + 10x = 3x + 8
9 x = 27
x = 3
四、剥“洋葱皮”法
1 ⎧ 1 ⎡ 1 ⎛ x + 2⎫⎤⎫
3 ⎩ 7 ⎣ 5 ⎝ 3⎭⎦⎭
【分析】常规方法是从内到外层层去掉括号,但是每次都有分数,较麻烦,但我们可采用从
外到内的方法,层层去掉分母,就像“剥洋葱皮”似的。
解:
去分母(从外到内),两边同乘 3:
1 ⎡1 ⎛ x + 2
ç
⎭
⎫ ⎤
1 ⎡1 ⎛ x + 2
ç
⎭
⎫ ⎤
方程两边同乘以 7:
ç+ 4⎪ + 6 = 7
5 ⎝3⎭
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1 x + 2
(+ 4) = 1,
53
x + 2
3
+ 4 = 5 ,
x + 2
3
= 1 ,
x + 2 = 3 ,
x = 1 。
五、用整体思想
7
32
【分析】观察本题可以发现:
方程中( x +1)和( x -1)各出现两次,因此我们不先急于去括
号,而是把它们分别看作一个整体,移项,合并同类项,再求出 x 的值。
解:
移项,得
3( x +1)+
7 1
2 3
1313
23
去分母,得3( x +1)=2( x -1)
解得x =-5。
★ 解题小结:
在寻找普通的一元一次方程的解法的时候,要注意每次变形是否都是恒等变
形,而且要注意观察每个方程的特点,找到最好的解法。
但不是每个方程都有巧妙解法,因
而若找不到巧妙解法时,应采用一般方法求解。
5、巧构一元一次方程来解题
认识了一元一次方程后,其实许多问题可以通过构造,转化为一元一次方程来解决,不
信,请看!
一、根据方程的定义来构造
例 1、当 m = ______时,等式 7 x 7-3m -15=0 是关于 x 的一元一次方程。
【分析】等式要是关于 x 的一元一次方程,则 x 的指数必须为 1,由此得到一个关于 m 的一
元一次方程.
解:
由一元一次方程定义,可知 7-3 m =1,解得 m =2.
二、根据方程解的定义来构造
例 2.已知关于 x 的方程 mx+2=2(m—x)的解满足|x-
1
2
|-1=0,则 m 的值是( )
2222
A.10 或B.10 或-c.-10 或D.-10 或 -
5555
1
【分析】先求出方程|x-|-1=0 的解,而由题意可知它的解又正好是前一方程的解,于
2
是可得关于 m 的一次方程,从而再求出 m 的解.
解:
解方程|x-
1 1 1
2 2 2
133
222
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112
2225
三、根据有关概念来构造
例 3.若 2 x - 3 与 - 1 互为倒数,则 x =
3
。
【分析】利用互为倒数的两数之积等于 1 的关系来列方程.
1
3
例 4.如果 2( x +3)的值与 3(1- x )的值与为相反数,那么 x =()
(A)-8(B)8(C)-9(D)9
【分析】根据互为相反数的两数之和等于 0,来构造方程.
解:
依题意,得 2( x +3)+3(1- x )=0,解得 x =9,故选(D)。
四、利用非负数的性质构造
例 5.已知实数 x , y 满足| x +5|+| y -4|=0,求代数式 (x + y )2009 的值。
【分析】依据几个非负数的和为 0,则这几个非负数都必为 0 即可求解.
解:
因为| x +5|+| y -4|=0 且| x +5|≥0,| y -4|≥0,
所以,| x +5|=0,且| y -4|=0;(0 的绝对值为 0)
所以 x +5=0,且 y -4=0, 所以 x =-5, y =4;
当 x =-5, y =4 时, (x + y )2009 = (-5 + 4 )2009 = -1 .
五、根据图表中的数字规律来构造
例 6.如图是一个数表,现用一个矩形在数表中任意框出 4 个数则
(1)a、c 的关系是:
__________________;
(2)当 a+b+c+d=32 时,a=__________.
【分析】观察发现出 b、c、d 与 a 的关系,再利用它们的和等于 32 列出
方程求解.
解:
(1)观察数表发现,c=a+5;
4 5 6 7 8
9 10 11 12 13
14 15 16 17 18
19 20 21 22 23
24 25 26 27 28
(2)因为 b=a+1,c=a+5,d=a+6,
所以 a+a+1+a+5+a+6=32,
解得 a=5.
6、列方程归类剖析
初学一元一次方程,感觉最难的就是如何列一元一次方程,虽然还是“大小多少、和差
倍分”,但由于它的类型多,范围广,许多同学在“加减乘除”还是时常犯错.下面给大家
归类举例分析.
一、“大小多少”类
例 1.某班学生为希望工程共捐款 331 元,比每人平均 6 元还多 35 元,设这个班的学生有 x
人,根据题意列方程为____.
析解:
设学生有 x 人,若每人平均 6 元,共有 6x 元;比 6x 多 35 元,就是 6x+35,如果是
比 6x 少 35 元,则是 6x-35。
因此根据捐款数额列出方程为。
二、“倍数”型
例 2.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”,校园生活丰富多彩.星期二下午 4 点
至 5 点,初二年级 240 名同学分别参加了美术、音乐和体育活动,其中参加体育活动人数是
参加美术活动人数的 3 倍,参加音乐活动人数是参加美术活动人数的 2 倍,那么参加美术活
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动的同学有多少名。
析解:
若设参加美术活动的同学有 x 名,则参加体育活动人数是 3x,参加音乐活动人数是
2x,则根据初二年级 240 名同学分别参加了美术、音乐和体育活动可列出方程为。
三、“提高减少”型
例 3、一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价,又以 8 折优惠卖出,结果每件仍获利 15
元,这种服装每件的成本为多少元.
析解:
设成本价为 x 元,注意“按成本价提高 40%”与“成本价的 40%”的区别,前者是
“x(1+40%)”,后者是“40%x”;如果按成本价减少 40%,则是“x(1-40%)”。
根据以 8 折
优惠卖出,结果每件仍获利 15 元可列出方程为。
四、“比例配套”型
例 4、某电脑公司今年计划销售电脑 2000 台,其中 I 型、II 型、III 型三种电脑的数量比为 2:
3:
5,则这三种电脑计划各销售多少台?
析解:
三种型号电脑的比为 2∶3∶5,I 型占了 2 份,II 型占了 3 份,III 型占了 5 份,如果
设每份为 x 台,则三种型号分别为 2x 台、3x 台、5x 台。
根据计划所销电脑总数列出可方程
为.
五、“盈余不足”型
例 5、为了加强学生的交通安全意识,某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活
动,星期天选派部分学生到交通路口值勤,协助交通警察维护交通秩序.若每一个路口安排
4 人,那么还剩下 78 人;若每个路口安排 8 人,那么最后一个路口只有 6 人,共有多少个
交通路口安排值勤?
析解:
设有 x 个交通路口,若每一个路口安排 4 人,那么还剩下 78 人,所以总人数为(4x
+78)人;若每个路口安排 8 人,则最后一个路口只有 6 人,也就是安排 8 人的路口只有(x
-1)个,所以总人数又为:
8(x-1)+6。
根据总人数列出方程为。
参考答案:
1、6x+35=331;
2、x+3x+2x=240;
3、x(1+40%)×80%-x=15;
4、2x+3x+5x=2000;
5、4x+78=8(x-1)+6
7、解这些方程就象“剥洋葱皮” 简
单!
有些方程有大括号,又有中括号,还有小括号,看上去好难,其实你若由外到内去括号,
象“剥洋葱皮”似的,这样解常能化繁为简,变难为易。
不信,我们来看看:
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例 1 解方程:
10 [(x -2)-3]- x =2.
35 4
【分析】你若由内到外的去括号一定好繁,还易出错,但若注意到
括号。
解:
去中括号,得 2( 1 x -2)-10- x =2,
4
1
2
系数化为 1,得 x =-32.
10 3
× =2,可先去中
3 5
例 2解方程:
x -
1 1 1
[ x - ( x -9)]= ( x -9).
3 3 9
111
解:
先去中括号,得 x -x +( x -9)=( x -9),
399
11
两边同减( x -9),得 x -x =0,
93
2
合并,得x =0,
3
系数化为 1,得 x =0.
例 3 解方程:
7{5[4(x-3)-3]-4}-6=1.
【分析】先把-6 移到右边,两边同除以 7,这样依次剥去掉大、中、小括号可妙解本题。
解:
移项,得 7{5[4(x-3)-3]-4}=7,
两边同除以 7(去大括号),得 5[4(x-3)-3]-4=1,
同理,依次去中括号,去小括号,得 x-3=1,
)
所以 x=4. (是否比依次先去小括号,中括号,大括号简单!
试一试:
(可要先仔细观察再做哟!
)
1、 解方程:
3{2x-1-[3(2x-1)+3]}=5.(x=0)
2、 解方程:
3 ⎡ 4 ⎛ 1 1 ⎫ ⎤ 3 1
4 ⎢ 3 ⎝ 2 4 ⎭ ⎦ 2 4
⎫⎤⎫
3 ⎩ 7 ⎣ 5 ⎝ 3⎭⎦⎭
8、去括号和去分母常见错解剖析
前面我们学习了利用移项,合并同类项解简单的一元一次方程.如今要去括号,有时还
要去分母,有些同学由于有关性质或某些运算法则掌握不好而导致错解方程。
现针对常见的
典型错例进行归类剖析如下:
一、去括号时,漏乘括号中的项
例 1.解方程 3+5(x-2)=2x+5.
【错解】去括号,得 3+5x-2=2x+5,
移项,合并,得 3x=4.
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
系数化为 1,得 x=- 4
3
.
“
〖评析〗去括号时,是利用分配律,用 5 去乘括号里的各项,再把积相加,而在此题中, 5”
只乘了括号里的第一项。
正解:
去括号,得 3+5x-10=2x+5,
移项,合并,得 3x=12,
系数化为 1,得 x=4.
二、去括号时,符号搞错.
例 2.解方程 5(x-1)-3(2x-1)=8.
【错解】去括号,得 5x-5-6x-3=8,
移项,合并,得-x=16,
系数化为 1,得 x=-16.
〖评析〗去括号时,应用“-3”去乘括号里的各项时,应得到:
-6x+3,
正解:
去括号,得 5x-5-6x+3=8,
移项,合并,得-x=10,
系数化为 1,得 x=-10.
三、去分母时,漏乘不含分母的项
5x + 1
- 6 =.
23
【错解】去分母,得 3(x+1)-6=2(5x+1),
去括号,得 3x+3-6=10x+2,
移项,合并,得-7x=5,
系数化成 1,得 x= - 5
7
.
〖评析〗去分母时,根据等式的第二个性质,方程两边同时乘以分母的最小公倍数 6 时,每
项都要乘,方程左边的“6”没有乘以 6,出现了漏乘不含分母的项.
正解:
去分母,得 3(x+1)-36=2(5x+1),
去括号,得 3x+3-36=10x+2,
移项,合并,得-7x=35,
系数化成 1,得 x=-5.
四、去分母后,分子忘记加括号
x + 2
= 2 -
63
【错解】去分母 ,得 18x-x-1=12-2x+2,
移项,合并,得 19x=15,
系数化成 1,得 x=
15
19
.
〖评析〗分数线除了有除号的作用外,还有括号的作用.两边的分数在去掉分母后,分子是
多项式,不要忘记加括号.
正解:
去分母 ,得 18x-(x-1)=12-2(x+2),
去括号,得 18x-x+1=12-2x-4,
移项,合并,得 19x=7,
系数化成 1,得 x= 7
19
.
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
9、“绝对值”一次方程解法点击
解含有绝对值符号的方程时,应利用绝对值符号性质,由性质去掉绝对值符号,使其成
为不含绝对值的方程。
例 1.解方程 2 x 1
3
=7.
0 还是小于 0),故应分情况来求解。
【分析】本方程中有一个绝对值符号,一般应先将方程变为| x |= a ( a >0)的形式,然
后按绝对值的意义转化为:
x = a 或 x =- a 。
解:
|2 x -1|=21,去绝对值,得
2 x -1=21或2 x -1=-21,
分别解这两个方程,得
x =11 或 x =-10,
故原方程有两根 x =11 或 x =-10.
12
例 2.求方程| x +3|-| x -1|= x +1 的解。
【分析】要去掉绝对值符号,必须确定绝对值符号内的代数式的符号(即代数式的值是大于
...
解:
由题意可知:
原方程有两个分界点:
由 x +3=0,得 x =-3;由 x -1=0,得 x =1,
故应分三种情况来求解:
x 小于-3; x 大于等于-3 但小于 1; x 大于等于 1.
①当 x 小于-3 时, x +3<0, x -1<0,
所以原方程变为-( x +3)+( x -1)= x +1,
解之得:
x =-5;
②当 x 大于等于-3 但小于 1 时, x +3>0, x -1≤0,
所以原方程变为:
x +3+ x
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