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第一章随机过程的基本概念与基本类型
一.随机变量及其分布
1.随机变量X,分布函数F(x)
P(X
x)
离散型随机变量
X的概率分布用分布列
pk
P(X
xk)
分布函数F(x)
p
k
X的概率分布用概率密度
f(x)
x
f(t)dt
连续型随机变量
分布函数F(x)
2.n维随机变量X
(X1,X2,
Xn)
其联合分布函数F(x)
F(x1,x2,,xn)
P(X1
x1,X2
x2,
Xn
xn,)
离散型
联合分布列
连续型
联合概率密度
3.随机变量的数字特征
数学期望:
离散型随机变量
X
EX
xkpk
连续型随机变量
X
EX
xf(x)dx
方差:
DXE(X
EX)2
EX2
(EX)2
反映随机变量取值的离散程度
协方差(两个随机变量
X,Y):
BXY
E[(X
EX)(Y
EY)]
E(XY)
EXEY
相关系数(两个随机变量
X,Y):
XY
BXY
若
0,则称X,Y不相关。
DX
DY
独立
不相关
0
4.特征函数g(t)
E(eitX)
离散
g(t)
eitxkpk
连续
g(t)
eitx
f(x)dx
重要性质:
g(0)
1
,g(t)
1
,g(t)
g(t),gk(0)
ikEXk
5.常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差
0-1分布P(X1)p,P(X0)qEXpDXpq
二项分布P(Xk)CnkpkqnkEXnpDXnpq
k
泊松分布P(Xk)eEXDX均匀分布略
k!
1
(x
a)2
正态分布N(a,
2)f(x)
e2
2
2
EXaDX
2
f(x)
ex,x
0
EX
1
1
指数分布
x
0
DX2
0,
6.N正随机量
X
(X1,X2,
Xn)的合概率密度X~N(a,B)
f(x1,x2,
xn)
1
exp{
1
T
B
1
(xa)}
n
1
(xa)
(2
)2
|B|2
2
a(a1,a2,
an),x
(x1,x2,,xn),B
(bij
)nn正定方差
二.随机程的基本概念
1.随机程的一般定
(,
P)是概率空,T是定的参数集,若每个tT,都有一个随机量X与之,
称随机量族
X(t,e),tT是(,
P)上的随机程。
X(t),tT。
含:
随机程是随机象的化程,
用一族随机量才能刻画出种随机象的全部
律性。
另一方面,它是某种随机的果,而出的本函数是随机的。
当t固定,X(t,e)是随机量。
当
e固定,X(t,e)普通函数,称随机程的一个本
函数或道。
分:
根据参数集T和状空I是否可列,分四。
也可以根据X(t)之的概率关系分,
如独立增量程,可夫程,平程等。
2.随机程的分布律和数字特征
用有限分布函数族来刻划随机程的律性。
随机程X(t),tT的一分布,二分
布,⋯,n分布的全体称有限分布函数族。
随机程的有限分布函数族是随机程概率特征的完整描述。
在中,要知道随机程的全部有限分布函数族是不可能的,因此用某些特征来取代。
(1)均函数
mX(t)
EX(t)
表示随机程X(t),tT在刻t的平均。
(2)方差函数
DX(t)
E[X(t)
mX(t)]2表示随机程在刻t均的偏离程度。
BX(s,t)E[(X(s)mX(s))(X(t)mX(t))]
(3)方差函数
且有BX(t,t)DX(t)
E[X(s)X(t)]mX(s)mX(t)
(4)相关函数
RX(s,t)
E[X(s)X(t)]
(3)和(4)表示随机程在刻s,t的性相关程度。
(5)互相关函数:
X(t),tT
,Y(t),t
T是两个二距程,下式称它的互方差函
数。
BXY(s,t)
E[(X(s)
mX(s))(Y(t)
mY(t))]
,那么RXY(s,t)
E[X(s)Y(t)],称为互相关函数。
E[X(s)Y(t)]
mX(s)mY(t)
若E[X(s)Y(t)]
mX(s)mY
(t),则称两个随机过程不相关。
3.复随机过程
Zt
Xt
jYt
均
值
函
数
mZ(t)EXt
j
tE
Y
方
差
函
数
DZ(t)E[|Zt
mZ(t)|]2
E[(Zt
mZ(t))(Zt
mZ(t))]
BZ(s,t)
E[(Zs
mZ(s))(ZtmZ(t))]
(,
)
[
]
协方差函数
相关函数
RZst
EZsZt
E[ZsZt]mZ(s)mZ(t)
4.常用的随机过程
(1)二阶距过程:
实(或复)随机过程
X(t),t
T,若对每一个t
T,都有EX(t)
2
(二
阶距存在),则称该随机过程为二阶距过程。
(2)正交增量过程:
设
X(t),tT
是零均值的二阶距过程,对任意的
t1t2
t3t4
T,有
E[(X(t2)
X(t1))(X(t4)
X(t3))]0,则称该随机过程为正交增量过程。
其协方差函数BX(s,t)
RX(s,t)
X2(min(s,t))
(3)独立增量过程:
随机过程
X(t),t
T
,若对任意正整数
n
2,以及任意的t1
t2
tn
T,
随机变量X(t2)
X(t1),X(t4)X(t3),
X(tn)
X(tn1)是相互独立的,则称X(t),t
T是独立
增量过程。
进一步,如
X(t),t
T
是独立增量过程,对任意
s
t,随机变量X(t)
X(s)的分
布仅依赖于ts,则称X(t),tT是平稳独立增量过程。
(4)马尔可夫过程:
如果随机过程X(t),t
T具有马尔可夫性,即对任意正整数n及
t1
t2
tn
T,P(X(t1)x1,
X(tn1)
xn1)
0,都有
PX(tn)
xnX(t1)
x1,
X(tn1)
xn1
PX(tn)
xnX(tn1)
xn1,则则称X(t),t
T
是马尔可夫过程。
(5
)正态过程:
随机过程
X(t),t
T
,若对任意正整数n及t1,t2,
tn
T,
(X(t1),X(t2)
X(tn))是n维正态随机变量,其联合分布函数是
n维正态分布函数,则称
X(t),t
T是正态过程或高斯过程。
(6)维纳过程:
是正态过程的一种特殊情形。
设W(t),
t
为实随机过程,如果,①W(0)
0;②是平稳独立增量过程;③对任意
s,t增
量W(t)
W(s)服从正态分布,即
(
)
W
()~
N
(0,
2
t
s
)
2
0
。
则称
Wt
s
W(t),t为维纳过程,或布朗运动过程。
另外:
①它是一个Markov过程。
因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。
②维纳过程具有独立增量。
该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。
③它在任何有限时间上的变化服从正态分布,其方差随时间区间的长度呈线性增加。
(7)平稳过程:
严(狭义)平稳过程:
X(t),t
T
,如果对任意常数和正整数n及t1,t2,
tnT,
t1,t2
,tn
T,(X(t1),X(t2)
X(tn))与(X(t1),X(t2)
X(tn
))有相
同的联合分布,则称
X(t),tT是严(狭义)平稳过程。
广义平稳过程:
随机过程X(t),t
T
,如果①X(t),t
T是二阶距过程;②对任意的
tT,
mX(t)
EX(t)
常数;③对任意
s,t
T,RX(s,t)
E[X(s)X(t)]RX(t
s),或仅与时间差
ts有关。
则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程,或宽平稳过程,简称平稳过程。
第三章泊松过程
一.泊松过程的定义(两种定义方法)
1,设随机计数过程
X(t),t
0
,其状态仅取非负整数值,若满足以下三个条件,则称:
X(t),tT
是具有参数
的泊松过程。
①X(0)0;②独立增量过程,对任意正整数n,以及任意的
t1t2
tn
TX(t2)
X(t1),X(t3)
X(t2),,X(tn)X(tn1)相互独立,即不同时间间隔
的计数相互独立;③在任一长度为
t的区间中,事件A发生的次数服从参数
t0的的泊松分布,即
对任意t,s
0,有PX(t
s)
X(s)n
et(t)n
n0,1,
n!
E[X(t)]
E[X(t)]
t,
,表示单位时间内时间A发生的平均个数,也称速率或强度。
t
2,设随机计数过程X(t),t0,其状态仅取非负整数值,若满足以下三个条件,则称:
X(t),t0
是具有参数
的泊松过程。
①X(0)
0;②独立、平稳增量过程;③
P
X(th)
X(t)
1
ho(h)
P
X(th)
X(t)
2
。
o(h)
第三个条件说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件发生,而不可能有两个或两个以上事件同时发生,也称为单跳性。
二.基本性质
1,数字特征
mX(t)
E[X(t)]
tD[X(t)]
RX(s,t)
s(
t
1)
s
t
t(
s
1)
s
t
BX(s,t)RX(s,t)mX(s)mX(t)
min(s,t)
推导过程要非常熟悉
2,Tn表示第n
1事件A发生到第
n次事件发生的时间间隔,
Tn,n
1是时间序列,随机变量Tn
服从参数为
的指数分布。
概率密度为
f(t)
0,
e
t,t
0,分布函数FTn(t)
1
e
t,t
0均值
t
0
0,
t
0
为ETn
1
证明过程也要很熟悉
到达时间的分布
略
三.非齐次泊松过程
到达强度是t的函数
①X(0)
0
PX(th)
X(t)
1
(t)ho(h)
;②独立增量过程;③
PX(th)
X(t)
2
o(h)
。
不具有平稳增量
性。
均值函数mX(t)
t
(s)ds
E[X(t)]
0
X(t),t
0
是具有均值为mX
(t)
t
定理:
(s)ds的非齐次泊松过程,则有
0
PX(t
s)
X(t)
n
[mX(ts)
mX
(t)]n
s)mX(t)]
n!
exp[mX(t
四.复合泊松过程
设N(t),t
0
是强度为
的泊松过程,
Yk,k
1,2,
是一列独立同分布的随机变量,且与
N(t)
X(t),t
0
N(t),t0独立,令X(t)
Yk
则称
为复合泊松过程。
k1
重要结论:
X(t),t0是独立增量过程;若E(Y12),则E[X(t)]tE(Y1),
D[X(t)]
tE(Y12)
第四章
马尔可夫链
泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程,
维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。
时间和状态
都离散的马尔可夫过程称为
马尔可夫链。
马尔可夫过程的特性:
马尔可夫性或无后效性。
即:
在过程时刻
t0所处的状态为已知的条件下,
过程在时刻t
t0所处状态的条件分布与过程在时刻
t0之前所处的状态无关。
也就是说,将来只与现
在
有
关
,
而
与
过
去
无
关。
表
示
为
PX(tn)xnX(t1)x1,,X(tn1)xn1
PX(tn)xnX(tn1)xn1
一.马尔可夫链的概念及转移概率
1.定义:
设随机过程
Xn,n
T
,对任意的整数
n
T和任意的i0,i1,,in1
I
,条件概率满足
PXn1in
1X0
i0,X1
i1,
Xn
in
P
Xn
1
in
1
Xn
in
,则称
Xn,n
T
为马尔可夫
链。
马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P
Xn1
in1
Xn
in
所决定。
2
PXn
1
jXn
i
相当于随机游动的质点在时刻
n处于状态
i
的条件下,下一步转
.转移概率
移到
j
的概率。
记为
p
ij(
n
)。
则
p(n)
PXn1
jXn
i
称为马尔可夫链在时刻
n
的一步转移概
ij
率。
若齐次马尔可夫链,则
pij(n)与n无关,记为pij。
P
[pij]
i,j
I
I1,2,
称为系统的一步转移矩阵。
性质:
每个元素
ij
0
,每行的和
p
为1。
3.n步转移概率
p
(n)
=P
X
m
n
j
X
m
i
;P(n)
[p
(n)]
i,jI
I
1,2,
称为n步转
ij
ij
移矩阵。
重要性质:
①
pij
(n)
pik(l)pkj(n
l)
称为C
K方程,证明中用到条件概率的乘法公式、马尔可夫
kI
性、齐次性。
pij(n)
PXmn
jXmi
PXm
i,Xmn
j
P
Xmi
PXm
i,Xml
k,Xmn
j
掌握证明方法:
kT
P
Xm
i
PXm
i,Xml
k,Xmn
jPXm
i,Xml
k
kTPXm
i,Xmlk
PXm
i
pkj(nl)(m
l)
pik(l)(m)
pik(l)
pkj(nl)
k
I
k
I
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