集合的含义与表示.docx
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集合的含义与表示
1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
Q
一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家:
“尊敬的先生,请你告诉我,集合是什么?
”集合是不加定义的概念,数学家很难回答那位渔民.
有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,轻轻一拉,许多鱼在网中跳动.数学家非常激动,高兴地告诉渔民:
“这就是集合!
”
问题1:
数学家说的集合是指什么?
问题2:
网中的“大鱼”能构成集合吗?
X
1.集合的概念
(1)含义:
一般地,我们把所研究对象统称为元素,把一些元素组成的__总体__叫做集合(简称为集).
(2)集合相等:
只要构成两个集合的__元素__是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集合相等.
[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质:
(1)确定性:
指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的,要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.
(2)互异性:
集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性:
集合中的元素是没有顺序的,比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合.
2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A
a__∈__A
a属于
集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A
a∉A
a__不属于__集合A
[知识点拨] 符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
3.集合的表示法
(1)自然语言表示法:
用文字语言形式来表示集合的方法.例如:
小于3的实数组成的集合.
(2)字母表示法:
用一个大写拉丁字母表示集合,如A,B,C等,用小写拉丁字母表示元素,如a,b,c等.常用数集的表示:
名称
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
(3)列举法:
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
(4)描述法:
在花括号内先写上表示这个集合元素的__一般符号__及__取值(或变化)范围__,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的__共同特征__.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.
Y
1.下列给出的对象中,能组成集合的是( D )
A.著名的数学家 B.很大的数
C.较胖的人 D.小于3的整数
[解析] “著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准,对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断,因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合;“很大的数”也无明确的标准,所以也不能组成集合;任意给定一个整数,能够判定是否小于3,有明确的标准,故D能组成一个集合.
2.下列关系:
①0.21∈Q;②
∉N*;③-
∈N*;④
∈N.其中正确的个数是( C )
A.0 B.1C.2 D.3
[解析] ①是正确的,②中
=2∈N*,③中-
∉N*,④是正确的,故有①④正确.
3.集合{x∈N*|x-2<3}用列举法表示为( B )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
[解析] 由x-2<3,得x<5,又x∈N*,所以x=1,2,3,4,即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}.
4.下列集合:
①{1,2,2};
②R={全体实数};
③{3,5};
④不等式x-5>0的解集为{x-5>0}.
其中,集合表示方法正确的是__③__.
[解析] ①违背了集合中元素的互异性;②中全体实数本身就是集合,不能再加大括号;④中用描述法表示的集合,未写出代表元素,应为{x|x-5>0}.
5.
(1)用列举法表示集合{x∈N|x<5}为__{0,1,2,3,4}__.
(2)方程x2-6x+9=0的解集用列举法可表示为__{3}__.
(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为__{x|3<x≤8}__.
[解析]
(1)因为x∈N,且x<5,所以x=0,1,2,3,4.
(2)由x2-6x+9=0,得x1=3,x2=3.(3){x|3 H 命题方向1 ⇨集合的基本概念 典题1下列各组对象: ①某个班级中年龄较小的男同学;②联合国安理会常任理事国;③2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目;④ 的所有近似值. 其中能够组成集合的是__②③__. [思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性,进而判断能否组成集合. [解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”,这些标准均不明确,即元素不确定,所以①④不能组成集合. ②③中的对象都是确定的、互异的,所以②③可以组成集合.填②③. 『规律方法』 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合. 2.判断集合中的元素个数时,要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个,即集合中的元素满足互异性. 〔跟踪练习1〕 下列每组对象能否构成一个集合: (1)我国的小城市; (2)某校2016年在校的所有高个子同学; (3)不超过20的非负数; (4)方程x2-9=0在实数范围内的解; (5)直角坐标平面内第一象限的一些点. [解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准,对于某个城市是否“小”无法客观地判断,因此,“我国的小城市”不能构成一个集合. (2)与 (1)类似,也不能构成集合.(3)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合.(4)类似于(3),也能构成集合.(5)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合. 命题方向2 ⇨元素和集合的关系 典题2已知N是自然数集,给出下列命题: ①N中最小的元素是1; ②若a∈N,则-a∉N; ③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2. 其中所有正确命题的个数是( A ) A.0 B.1 C.2 D.3 [思路分析] 解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系. [解析] 自然数集中最小的元素是0,故①③不正确;对于②,若a∈N,即a是自然数,当a=0时,-a仍为自然数,所以②也不正确.故选A. 『规律方法』 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集,在数学上分别用N+,N,Z,Q,R来表示,这些符号是我们学习高中数学的基础,它大大简化了数集的表示方法,应当熟练掌握. 2.判断一个元素是不是某个集合的元素,关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征. 〔跟踪练习2〕 (1)给出下列几个关系式: ∈R;0.3∈Q;0∈N;0∈{0};0∈N+; ∈N+;-π∈Z;-5∈Z.其中正确的关系式的个数是( B ) A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 运用常用数集的概念可作出判断: ∈R,0.3∈Q,0∈N,0∈{0},-5∈Z正确.其余均错误,故选B. (2)已知集合M={大于-2且小于1的实数},则下列关系式正确的是( D ) A. ∈M B.0∉M C.1∈M D.- ∈M [解析] >1,故 ∉M,A选项错;-2<0<1,故0∈M,B选项错;显然1不小于本身,故C错;-2<- <1,故D正确. 命题方向3 ⇨用列举法表示集合 典题3用列举法表示下列集合: (1)36与60的公约数组成的集合; (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根组成的集合; (3)一次函数y=x-1与y=- x+ 的图象的交点组成的集合. [思路分析] (1) (2)可直接求出相应元素,然后用列举法表示;(3)联立 →求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示. [解析] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}; (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合为{2,4}; (3)方程组 的解是 所求集合为{( , )}. 『规律方法』 1.用列举法表示集合,要注意是数集还是点集. 2.列举法适合表示有限集,当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便,且使人一目了然. 因此,集合是有限集还是无限集,是选择恰当的表示方法的关键. 〔跟踪练习3〕 用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数解组成的集合; (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合. [解析] (1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思.所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}. (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}. 命题方向4 ⇨用描述法表示集合 典题4用描述法表示下列集合: (1)满足不等式3x+2>2x+1的实数x组成的集合; (2)平面直角坐标系中,第一象限内的点的集合; (3)所有正奇数组成的集合. [思路分析] → → [解析] (1){x|3x+2>2x+1}或{x|x>-1}; (2){(x,y)|x>0,y>0,且x,y∈R}; (3){x|x=2k-1,k∈N+}. 『规律方法』 1.用描述法表示相应集合时,首先明确代表元素是点集还是数集,在此基础上,结合描述的定义给出集合的表示. 2.用描述法表示集合时,其代表元素的范围务必明确,如果省略不写,则默认为x∈R. 〔跟踪练习4〕 把 (1), (2),(3)分别更换条件如下,试分别求相应问题. (1)满足不等式3x+2>2x+1的有理数组成的集合; (2)在平面直角坐标系中,坐标轴上的点的集合; (3)所有偶数组成的集合. [解析] (1){x∈Q|3x+2>2x+1}或{x∈Q|x>-1}. (2){(x,y)|xy=0,x,y∈R}. (3){x|x=2n,n∈Z}. Y 忽略集合中元素的互异性(本栏目的跟踪练习仅供老师参考备用) 典题5设集合A={x2,x,xy}、B={1,x,y},若集合A、B所含元素相同,求实数x、y的值. [错解] 由A=B,得 ,或 , 解得 或 或 [错因分析] 当x=1,y∈0时,A=B={1,1,y},不满足集合元素的互异性,当x=1,y=1时,A=B={1,1,1}也不满足元素的互异性,当x=-1,y=0,A=B={1,-1,0},满足题意. [正解] 由错解得 或 或 经检验当取 与 时不满足集合中元素的互异性, 所以x=-1,y=0. [点评] 在实际解答过程中,很多同学只是把答案算出来后就结束了,根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求,有没有出现遗漏或增根.在实际解答中要根据元素的特征,结合题目要求和隐含条件,加以重视. 〔跟踪练习〕 若将上式中的集合A改为{a, ,1},B改为{a2,a+b,0},其他条件不改变,怎样求a2015+b2015的值. [解析] 方法一: ∵{a, ,1}={a2,a+b,0}, 又∵a≠0,1≠0,∴ =0,∴b=0, ∴{a,0,1}={a2,a,0},∴a2=1,即a=±1, 又当a=1时,A={1,0,1}不满足集合中元素的互异性,舍去,∴a=-1,即集合A={-1,0,1}, 此时a=-1,b=0, 故a2015+b2015=(-1)2015+02015=-1+0=-1. 方法二: ∵{a, ,1}={a2,a+b,0}, ∴ 解得a=±1,b=0, 由集合中元素的互异性知a≠1, ∴a=-1,b=0. ∴a2015+b2015=(-1)2015+02015=-1+0=-1. X 数学抽象能力 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.主要包括: 从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征. 数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统. 在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验.学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题. 本节课从周围大量实例中抽象出集合的概念,领悟集合的本质属性是学习的首要任务,在此基础上,明确集合元素的属性及集合的表示方法. 典题6选择恰当方法表示所在正奇数组成的集合. [解析] 描述法: {x|x=2n-1,n∈N*}.列举法{1,3,5,7,…,2n-1,…}. 『规律方法』 用列举法表示无限集时,一是列出的前几项体现的规律,要和一般项统一起来,二是要加省略号. K 1.下列各组对象,能构成集合的有( C ) ①对环境污染不太大的塑料; ②中国古典文学中的四大名著; ③所有的正方形; ④方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根. A.① B.①②C.②③④ D.①②③④ [解析] 语句①“污染不太大”没有明确的标准;②中四大名著指的是《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》;③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性. 2.已知集合A={x∈N|- ≤x≤ },则必有( B ) A.-1∈A B.0∈AC. ∈A D.2∈A [解析] 集合A中元素有两个特征: x∈N且- ≤x≤ ,观察四个选项,只有B正确. 3.下列各组集合中,表示同一集合的是( B ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={3,2},N={(3,2)} [解析] A项中M={(3,2)}中的元素是(3,2),N={(2,3)}中的元素是(2,3),所以这是两个不同的集合;B项中M={3,2}中的元素是3,2,N={2,3}中的元素是2,3,由集合中元素的无序性可知,这是两个相同的集合;C项中集合M中的代表元素是(x,y),是直线x+y=1上的点,而集合N中的代表元素是y,是直线x+y=1上点的纵坐标,因此是两个不同的集合;D项中两集合M的元素分别是3、2,而N中含有一个元素(3,2),因此它们是两个不同的集合. 4.由实数x,-x,|x|, ,- ,所组成的集合最多含有元素的个数为( A ) A.2 B.3C.4 D.5 [解析] =|x|,- =-x,集合中的元素最多含有两个. 5.用适当的方法表示下列集合. (1)由大于-3且小于11的偶数组成的集合可表示为__{-2,0,2,4,6,8,10}__; (2)不等式3x-6≤0的解集可表示为__{x|x≤2}__; (3)方程x(x2+2x-3)=0的解集可表示为__{-3,0,1}__; (4)函数y=x2-x-1图象上的点组成的集合可表示为__{(x,y)|y=x2-x-1}__. A级 基础巩固 一、选择题 1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程x2-2=0的实数解”中,能够构成集合的是( C ) A.② B.③C.②③ D.①②③ [解析] 高一数学中的难题的标准不确定,因而构不成集合,而正三角形标准明确,能构成集合,方程x2-2=0的解也是确定的,能构成集合,故选C. 2.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( B ) A.{1,1} B.{1}C.{x=1} D.{x2-2x+1=0} [解析] ∵x2-2x+1=0,∴x=1.故集合为单元素集合.故选B. 3.已知集合A={x|x≤10},a= + ,则a与集合A的关系是( A ) A.a∈A B.a∉AC.a=A D.{a}∈A [解析] 由于 + <10,所以a∈A. 4.方程组 的解集是( D ) A. B.{x,y|x=3且y=-7} C.{3,-7} D.{(x,y)|x=3且y=-7} [解析] 解方程组 得 , 用描述法表示为{(x,y)|x=3且y=-7},用列举法表示为{(3,-7)},故选D. 5.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( D ) A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形 [解析] 由集合中元素的互异性知a,b,c互不相等,故选D. 二、填空题 6.用符号∈与∉填空: (1)0__∉__N*; __∉__Z; 0__∈__N;(-1)0__∈__N*; +2__∉__Q; __∈__Q. (2)3__∈__{2,3};3__∉__{(2,3)}; (2,3)__∈__{(2,3)};(3,2)__∉__{(2,3)}. (3)若a2=3,则a__∈__R,若a2=-1,则a__∉__R. [解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别. (2)中3是集合{2,3}的元素;但整数3不是点集{(2,3)}的元素;同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素;因为坐标顺序不同,(3,2)不是集合{(2,3)}的元素.(3)平方等于3的数是± ,当然是实数,而平方等于-1的实数是不存在的. 7.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=__2__. [解析] 显然a≠0,则a+b=0,a=-b, =-1,所以a=-1,b=1,b-a=2. 三、解答题 8.用适当的方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集. (1)不超过10的非负质数的集合; (2)大于10的所有自然数的集合. [解析] (1)不超过10的非负质数有2,3,5,7,用列举法表示为{2,3,5,7},是有限集. (2)大于10的所有自然数有无限个,故可用描述法表示为{x|x>10,x∈N},是无限集. B级 素养提升 一、选择题 1.下列集合中,不同于另外三个集合的是( B ) A.{x|x=1} B.{x|x2=1} C.{1} D.{y|(y-1)2=0} [解析] {x|x2=1}={-1,1},另外三个集合都是{1},选B. 2.下列六种表示法: ①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)|x=-1或y=2}. 能表示方程组 的解集的是( C ) A.①②③④⑤⑥ B.②③④⑤C.②⑤ D.②⑤⑥ [解析] 方程组 的解是 故选C. 3.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为( B ) A.2 B.3C.0或3 D.0或2或3 [解析] 因为2∈A,所以m=2或m2-3m+2=2,解得m=0或m=2或m=3.又集合中的元素要满足互异性,对m的所有取值进行一一检验可得m=3,故选B. 4.已知x,y,z为非零实数,代数式 + + + 的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( D ) A.0∉M B.2∈MC.-4∉M D.4∈M [解析] 当x>0时, =1,当x<0时, =-1, 故当x,y,z全为正时,原式=4; 当x,y,z两正一负时,xyz<0,原式=0; 当x,y,z两负一正时,xyz>0,原式=0; 当x,y,z全为负时,xyz<0,原式=-4,故M的元素有4,0,-4,∴4∈M.故选D. 二、填空题 5.已知P={x|2<x<k,x∈N,k∈R},若集合P中恰有3个元素,则实数k的取值范围是__{k|5<k≤6}__. [解析] x只能取3,4,5,故5<k≤6. 6.用列举法写出集合{ ∈Z|x∈Z}=__{-3,-1,1,3}__. [解析] ∵ ∈Z,x∈Z, ∴3-x为3的因数. ∴3-x=±1,或3-x=±3. ∴ =±3,或 =±1. ∴-3,-1,1,3满足题意. C级 能力拔高 1.设A,B为两个实数集,定义集合A+B={x|x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={2,3},则集合A+B中元素的个数为( B ) A.3 B.4C.5 D.6 [解析] 当x1=1时,x1+x2=1+2=3或x1+x2=1+3=4;当x1=2时,x1+x2=2+2=4或x1+x2=2+3=5;当x1=3时,x1+x2=3+2=5或x1+x2=3+3=6.∴A+B={3,4,5,6},共4个元素. 2.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}. (1)若A是单元素集合,求集合A; (2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围. [分析] 集合A是方程ax2-3x+2=0的解集,故可将求集合中元素个数问题转化为方程根的个数问题. (1)集合A为单元素集合,说明方程有唯一根或两个相等的实数根.要注意方程ax2-3x+2=0可能不是一元二次方程. (2)至少有一个元素,说明方程有一根或两根. [解析] (1)因为集合A是方程ax2-3x+2=0的解集,则当a=0时,A={ },符合题意; 当a≠0时,方程ax2-3x+2=0应有两个相等的实数根, 则Δ=9-8a=0,解得a= ,此时A={ },符合题意. 综上所述,当a=0时,A={ },当a= 时,A={ }. (2)由 (1)可知,当a=0时,A={ }符合题意; 当a≠0时,要使方程ax2-3x+2=0有实数根, 则Δ=9-8a≥0,解得a≤ 且a≠0. 综上所述,若集合A中至少有一个元素,则a≤ . [点评] “a=0”这种情况容易被忽视,如“方程ax2+2x+1=0”有两种情况: 一是“a=0”,即它是一元一次方程;二是“a≠0”,即它是一元二次方程,只有在这种情况下,才能用判别式“Δ”来解决. 3.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集; (2)试写出一个含3个元素的可倒数集. [解析] (1)由于2的倒数为 不在集合A中,故集合A不是可倒数集. (2)若a∈A,则必有 ∈A,现已知集合A中含有3个元素,故必有一个元素有a= ,即a=±1,故可以取集合A={1,2, }或{-1,2, }或{1,3, }等
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