整理命题定理证明教案.docx
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整理命题定理证明教案
命题、定理、证明教案(推荐完整)
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命题、定理、证明教案(推荐完整)
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张嬗雒老师
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13。
1.1命题、定理、证明
(1)
(一)教学目标
1、了解命题的概念。
2、能区分命题的题设和结论。
3、经历判断命题真假的过程,对命题的真假有一个初步的了解。
(二)教学重难点
重点:
命题的概念和区分命题的题设与结论。
难点:
区分命题的题设和结论。
(三)学情分析:
七年级学生对语句有一定的理解和判断能力。
(四)课前预习
预习教材第20页至21页,并尝试完成课本随堂练习.
(五)教学过程
一、情境引入
教师与学生们打招呼,说出以下四句话:
(1)七(3)的同学们你们好吗?
(2)大家今天都能认真听课吗?
(3)七(3)班的所有学生都是好学生。
(4)有时间我请大家吃饭。
问题1:
下列四句话中,哪一句是对一件事情作出判断的语句?
(1)七(3)的同学们你们好吗?
()
(2)大家今天都能认真听课吗?
()
(3)七(3)班的所有学生都是好学生.()
(4)有时间我请大家吃饭。
()
问题2 下列语句在表述形式上,哪些是对事情作了判断?
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两
条直线也互相平行()
(2)画一个角等于已知角()
(3)对顶角相等;()
(4)若a2=b2,则a=b。
()
(5)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补;()
(6)若a2=4,求a的值;()
二、新知探究,合作交流
教师点评:
象上题中的
(1)、(3)、(4)、(5)这样判断一件事情的语句叫做命题。
注意:
1、只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.如:
相等的角是对顶角。
2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。
如:
画线段AB=CD。
问题3 判断下列语句是不是命题?
(1)两点之间,线段最短;()
(2)请画出两条互相平行的直线;()
(3)过直线外一点作已知直线的垂线;()
(4)如果两个角的和是90º,那么这两个角互余.()
提问几位学生,从而检查学生们是否真正理解命题的概念。
问题4 你能举出一些命题的例子吗?
(教师这时让几名学生发言)
问题5 请同学们观察一组命题,并思考命题是由
几部分组成的?
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,
那么这两条直线也互相平行;
(2)两直线平行,
同位角相等;
(3)如果两个角的和是90º,
那么这两个角互余;
教师点评:
命题是由题设(或条件)和结论两部分组成。
题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。
例如:
两直线平行,同位角相等。
题设(条件)
结论
前面的命题都能看得出它的题设与结论两部分很明显,但我们有些命题这两部分是不明显的,这时我们该如何很好的把握题设与结论呢?
如:
对顶角相等.这个命题我们怎么正确指出它的题设与结论呢?
教师点评:
命题一般都能写成“如果…,那么…”的形式。
“如果"后接的部分是题设,“那么"后接的部分是结论。
注意:
添加“如果”、“那么”后,命题的意义不能改变,改写的句子要完整,语句要通顺,使命题的题设和结论更明朗,易于分辨,改写过程中,要恰当增加词语,不能生搬硬套
例如对于命题:
对顶角相等。
改写:
如果两个角是对顶角,那么它们相等.
题设:
两个角是对顶角
结论:
它们相等
问题6 下列语句是命题吗?
如果是,请将它们改
写成“如果……,那么……”的形式。
(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;
(2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
(3)同旁内角互补;
注:
此过程以问答形式为主,让学生举手发言.
问题7 请同学们说出一个命题,并说出此命题的题设和结论.
注:
些问题有助于学生更好的巩固命题以及命题的题设和结论相关知识。
问题8 问题6中哪些命题是正确的,哪些命题是错误的?
(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;()
(2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式;()
(3)互为相反数的两个数相加得0;()
(4)内错角相等;()
(5)对顶角相等.()
教师点评:
真命题:
如果题设成立,那么结论一定成立,
这样的命题叫做真命题.
假命题:
如果题设成立时,不能保证结论一定成立,
这样的命题叫做假命题.
问题8 请同学们举例说出一些真命题和假命题
问题9 问题6中哪些命题是真命题,哪些命题是假命题?
(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;
(2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
(3)互为相反数的两个数相加得0;
(4)同旁内角互补;
(5)对顶角相等.
三、归纳小结
1.什么叫做命题?
2.命题是由哪两部分组成的?
3.什么是真命题,什么是假命题.
四、布置作业
题目:
判断下列命题是真命题还是假命题,同时将下列命题改写成“如果……那么……"的形式,指出他们的题设和结论。
(1)两个锐角的和是锐角。
(2)邻补角是互补的角。
(3)同旁内角互补.
五、教学反思:
本节课引入较自然,学生也较容易理解命题的概念。
只是一部分学生在确定题设和结论时,还是比较容易把“如果"和“那么”放在里面。
13.1.2命题、定理、证明
一、教学目标
1.了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据.
2.了解综合法证明的格式和步骤.
3.通过一些简单命题的证明,初步训练学生的逻辑推理能力.
4.通过证明步骤中由命题画出图形,写出已知、求证的过程,继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力.
5.通过举例判定一个命题是假命题,使学生学会反面思考问题的方法.
二、学法引导
1.教师教法:
尝试指导,引导发现与讨论相结合.
2.学生学法:
在教师的指导下,积极思维,主动发现.
三、重点·难点及解决办法
(-)重点
证明的步骤和格式是本节重点.
(二)难点
理解命题,分清其题设和结论,正确对照命题画出图形,写出已知、求证.
(三)解决办法
通过学生分组讨论,教师归纳得出证明的步骤和格式,再以练习加以巩固,解决重点、难点及疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
投影仪、三角板、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过引例创设情境,点题,引入新课.
2.通过情境教学,学生分组讨论,归纳总结及练习巩固等手段完成新授.
3.通过提问的形式完成小结.
七、教学步骤
(-)明确目标
使学生严密推理过程,掌握推理格式,提高推理能力。
(二)整体感知
以情境设计,引出课题,引导讨论,例题示范讲解新知,以练习巩固新知.
(三)教学过程
创设情境,引出课题
师:
上节课我们学习了定理与证明,了解了这两个概念.并以证明“两直线平行,内错
角相等”来说明什么是证明.我们再看这一命题的证明(投影出示).
例1 已知:
如图1,
,
是截线,求证:
.
证明:
∵
(已知),∴
(两直线平行,同位角相等).
∵
(对项角相等),∴
(等量代换).
这节课我们分析这一命题的证明过程,学习命题证明的步骤和格式.
[板书]2。
9 定理与证明
探究新知
1.命题证明步骤
学生活动:
由学生分组讨论以上命题的证明过程,按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步.
【教法说明】根据上一节“两直线平行,内错角相等"这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤,一是可以加深对命题证明的理解,二是培养学生归纳总结能力。
在总结步骤时,学生所说的层次不一定有逻辑性,或不太严密,教师要注意引导,使学生分清命题证明几个步骤的先后层次.
根据学生讨论,回答结果.教师归纳小结,师生共同得出证明命题的步骤(出示投影):
第一步,画出命题的图形.
先根据命题的题设即已知条件,画出图形,再把命题的结论即求证的内容在图上标出.还要根据证明的需要,在图上标出必要的字母或符号,以便于叙述或推理过程的表达.
第二步,结合图形写出已知、求证.
把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中,命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.
第三步,经过分析,找出由已知推得求证的途径,写出推理的过程.
学生活动:
结合“两直线平行,内错角相等”这一命题的证明,理解以上命题证明的一般步骤(给学生一定时间理解记忆).
【教法说明】在以上第二个步骤中,将文字语言转化为符号语言是教学中的难点,要注意在练习中加强辅导,第三步由学生独立完成有困难,要逐步培养训练,现阶段暂不要求学生独立完成.
反馈练习:
(1)画出证明命题“两直线平行,同旁内角互补"时的图形,写出已知、求证.
(2)课本第112页A组第5题.
【教法说明】由学生依照例1“两直线平行,内错角相等”这一命题的证明画出图形,写出已知、求证,巩固命题证明的第一、二步.
2.命题的证明
例2 证明:
邻补角的平分线互相垂直.
【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难,但教师也不能包办代替,最好通过让学生分步讨论,同桌互相磋商,分步完成的方法,使学生对命题证明的每一步都进一步理解,教师可以给学生指明思考步骤.
(1)分析命题的题设与结论,画出命题证明所需要的图形.
邻补角用图2表示:
图2
添画邻补角的平分线,见图3:
图3
(2)根据命题的题设与结论写出已知、求证.邻补角用几何符号语言提示:
,角平分线用几何符号语言表示:
,
,求证邻补角平分钱互相垂直,用符号语言表示:
.
(3)分析由已知谁出求证途径,写出证明过程.
有什么结论后可得
(
),由已知可以推导
吗?
学生讨论思考.
【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路,具体结论的得出与操作要由学生独立完成.找一个学生到黑板上板演,其他同学在练习本上写出完成整过程.
已知:
如图,
,
,
.
求证:
证明:
∵
(已知),又∵
,
(已知),∴
.
∴
(垂直定义).
证明完成后提醒学生注意以下几点:
①要证明的是一个简单叙述的命题,题设和结论不明显,可以先根据题意画出图形.如例2,结合图形分析命题的题设和结论.
②在写已知、求证的内容时,要将文字语言转化为符号语言来表示,转化时的写法也不是惟一的,要根据使用的方便来写,如:
与
互为邻补角,在已知中写为
,角平分线有几种表示方法,如
是
的平分线,
,
,根据此题写成
较好,方便于下面的推理计算.
③对命题的分析、画图,如何推理的思考过程,证明时不必写出来,不属于证明内容.
反馈练习:
按证明命题的步骤证明:
“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么内错角相等.”
【教法说明】由学生独立完成,找学生板演,发现问题教师及时纠正.
3.判定一个命题是假命题的方法
师:
以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法.那么如何判定一个命题是假命题呢?
如“相等的角是对项角”,同学们都知道这是一个假命题,如何说明它是一个假命题呢?
谁能试着说明一下?
【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法,而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题,让学生自己尝试着去说明,体验从反面去说明一个问题的方法,然后教师归纳小结.
根据学生说明,教师小结:
判定一个命题是假命题,只要举出一个反例即可,也就是说你所举命题符合命题的题设,但不满足结论.如“同位角相等”可如图,
与
是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”.
反馈练习:
课本第111页习题2。
3A组第4题.
【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法,再就是要澄清一些错误的概念.
反馈练习
投影出示以下练习:
1.指出下列命题的题设和结论
(1)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
(2)两个角的和等于直角,这两个角互为余角.
(3)对项角相等.
(4)同角或等角的余角相等.
2.画图,写出已知,求证(不证明)
(1)同垂直于一条直线的两条直线平行.
(2)两条平行直线被第三条直线所截,同位角的平分线互相平行.
3.抄写下题并填空
已知:
如图,
.
求证:
.
证明:
∵
( ),
∴
( ).
∴
( ).
【教法说明】以上练习让学生独立完成,第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论;第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力;第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤.
总结、扩展
教学反思:
13.2。
1全等三角形
教学目标一:
知识与技能:
1、了解三角形及全等三角形的概念。
2、运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题。
二、过程与方法:
1、知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;
2、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
1、问题:
你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗?
这两个三角形是完全重合的.
2.学生自己动手(同桌两名同学配合)
取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图
形裁下来,纸样与三角板形状、大小完全一样.
3.获取概念
让学生用自己的语言叙述:
全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边,以及有关的数学符号.
形状与大小都完全相同的两个图
形就是全等形.
要是把两个图形放在一起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同.
概括全等形的准确定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等形
.请同学们类推得出全等三角形的概念,并理解对应顶点、对应角、对应边的含义.仔细阅读课本中“全等"符号表示的要求.
Ⅱ.导入新课
利用投影片演示
将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.
议一议:
各图中的两个三角形全等吗?
不难得出:
△ABC≌△DEF,△ABC≌△DBC,△ABC≌△AED.
(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
启示:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.
观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关
系?
对应角呢?
(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)
得到全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.
[例1]如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,说出这两个三角形中相等的边和角.
问题:
△OCA≌△OBD,说明这两个三角形可以重合,思考通过怎样变换可以使两三角形重合?
将△OCA翻折可以使
△OCA
与△OBD重合.因为C和B、A和D是对应顶
点,所以C和B重合,A和D重合.
∠C=∠B;∠A=∠D;∠AOC=∠DOB.AC=DB;OA=OD;OC=OB.
总结:
两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.
[例2]如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
分析:
对应边和对应角
只能从两个三角形中找,所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来.
根据位置元素来找:
有相等元素,它们就是对应元素,然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边也是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
解:
对应角为∠BAE和∠CAD.
对应边为AB与AC、AE与AD、BE与C
D.
[例3]已知如图△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.(由学生讨论完成)
Ⅲ.课堂练习
课本练习1.
Ⅳ.课时小结
找对应元素的常用方法有两种:
(一)从运动角度看
1.翻转法:
找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.
2.旋转法:
三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
3.平移法:
沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
13。
2.2三角形全等的条件
教学目标一:
知识与技能:
1、三角形全等的“边
边边”的条件.
2、了解三角形的稳定性.
二、过程与方法:
经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
三、情感态度与价值观:
从中感受具体到抽象、特殊到一般的思考方法
发展数感和归纳能力.
教学重点:
三角形全等的条件。
教学难点:
寻求三角形全等的条件。
教学准备:
多媒体课件。
教学过程
Ⅰ.创设情境,引入新课
出示投影片,回忆前面研究过的全等三角形.
已知
△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.
图中相等的边是:
AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C.
相等的角是:
∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.
展示课作前准备的三角形纸片,提出问题:
你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
(可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等).
这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否
一定需要六个条件呢?
条件能否尽可能少呢?
现在我们就来探究这个问题.
Ⅱ.导入新课
出示投影片
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做.
①三角形一内角为30°,一条边为3cm.
②三角形两内角分别为30°和50°.
③三角形两条边分别为4cm、6cm.
学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.
结果展示:
1.只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出的两个条件可能是:
一边一内角、两内角、两边.
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况
吗?
归纳:
有四种可能.即
:
三内角、三条边
、两边一内角、两内有一边.
在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10c
m.你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?
1.作图方法:
先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.
2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合.这说明这些三角形都是全等的
.
3.特殊的三角形有这样的规律,要是
任意画一个三角形ABC,根据前面作法,同样可以作出一个三角形A′B′C′,使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′.将△A′B′C′剪下,发现两三角形重合.这反映了一个规律:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边"或“SSS”.
用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依
据.请看例题.
[例]如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.
求证:
△ABD≌△ACD.
Ⅲ.随堂练习
13。
2.3三角形全等的判定-——边角边
一、教学目标:
1、使学生理解并掌握“边角边基本事实"并能初步运用“边角边基本事实”解决实际问题。
2、经历探究“边角边”判定两个三角形全等的过程,体会数学知识来源于生活又应用于实际生活;
通过直观感知、操作确认的方式来探索两个三角形全等的判定方法;培养分类、推理、归纳和应用能力。
3、通过几何证明的教学,使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯 ;
二、教学重、难点:
1、重点:
掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法及简单应用,并能严谨、规范地写出证明的过程;
2、难点:
正确找出证明两个三角形全等所需的条件。
教学用具:
作图教具、多媒体设备
教学方法:
采用“操作—-—实验"的教学方法,让学生有一个直观的感受.
教学过程:
一、创设情境、激趣导入
九寨沟以他独特的自然风光吸引着中外游客,游客小聪在五彩池边突然产生了这样的一个想法:
他想测量出五彩池两边AB两点间的距离,可随身只带了一把5米的卷尺,你能帮他想想办法吗?
相信大家通过这节课的学习一定会解决这个问题的!
(出示课题)
【设计意图】通过这个小活动,可以激发学生的探究欲望,吸引学生的注意力。
二、提出问题、探索新知
我们探究过:
有一组元素对应相等的两个三角形不一定全等,有两组元素对应相等的两个三角形也不一定全等。
有三组元素对应相等的两个三角形又如何能?
如果两个三角形有三组对应相等的元素(边或角),那么此时会出现几种可能的情况呢?
(学生:
三边、三角、两边一角、两角一边)
好,对这四种情况我们将一一探究。
今天我们先探究两边一角这种情况。
两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,有可能会出现哪几种情况呢?
(结合图形说明)
可能出现的情况有:
也就是说应该分两种情况:
一种是角夹在两边的中间,形成两边夹一角;一种是角不夹在两边中间,形成两边一对角。
我们先来看第一种情况,两边夹一角。
三、合作交流
探究一:
已知两条线段和一个角,试画一个三角形,使这两条线段为其两边,这个角为这两边的夹角。
(一)教师示范作图
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