二次函数在实际生活中的应用及建模应用.docx

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二次函数在实际生活中的应用及建模应用

二次函数在实际生活中的应用及建模应用

二次函数的建模

知识归纳：

求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：

1．运用配方法求最值；

2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；

4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题

1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？

最大面积是多少？

解：

（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18-x）（米），根据题意，得：

y=x（18-x）=-x2+18x；又∵⎧x＞0,∴0＜x＜18⎨

18-x＞0⎩

（自变量x的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：

利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式

中，18-x，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x＜18，0＜x＜18）

（2）∵y=x（18-x）=-x2+18x中，a=-1＜0，∴y有最大值，

b184ac-b20-182

=-=9时，y

max=即当x=-==812a2⨯（-1）4a4⨯（-1）

⎧x＞0

⎪

又∵⎨50-x,∴0＜x＜50

＞0⎪⎩2

∵y=x（

150-x1

）=-x2+25x中，a=-＜0，∴y有最大值，

222

b

即当x=-=-

2a

2512⨯（-）

2

=25时，ymax

4ac-b20-252625===

14a24⨯（-）

2

解：

∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，

∴∠A=∠D=90°，AD=a米．

∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH．在△AEF与△DHE中，

∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH

解：

设花圃的宽为x米,则花圃的长为（32-4x+3）=（35-4x）米,面积为S从而S=x（35-4x）-x=-4x²+34x

∵0＜35-4x≤10∴6.25≤x＜8.75S=-4x²+34x,对称轴x=4.25,开口朝下∴当x≥6.25时S随x的增大而减小故当x=6.25时,35-4×6.25=10S取最大值56.25㎡.

答：

可设计成宽6.25米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．

变式1：

小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,花圃的宽宽究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?

解：

设花圃的宽为x米,则花圃的长为（32-2x）米,面积为S

设矩形面积为y米²,得到：

S=x（32-2x）=-2x²+32x

∵0＜32-2x≤10∴11≤x＜16由图象或增减性可知x=11米时,S最大=110米²

7：

某人定制了一批地砖，每块地砖（如图

（1）所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图

（2）所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

（1）判断图

（2）中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

（2）E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

解：

（1）四边形EFGH是正方形．

图

（2）可以看作是由四块图

（1）所示地砖绕C点按顺（逆）时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG．

∴△CEF是等腰直角三角形

因此四边形EFGH是正方形．

（2）设CE=x,则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元那么：

y=

x×30+

×0.4×（0.4-x）×20+[0.16-x-×0.4×（0.4-x）×10]

2

=10（x-0.2x+0.24）

2=10（x-0.1）+2.3（0

当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：

当CE=CF=0.1米时，总费用最省．

8、某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x（m），花园的面积为y（m²）．

（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据

（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

2y=x（40-2x）=-2（x-20x）解：

=-2（x-10）2+200

∵0

∵二次函

数的顶点不在自变量x的范围内，

而当12.5≤x

ymax=-2（12.5-10）2+200=187.5（平方米）

答：

当x=12.5米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．

9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．

（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？

比较

（1）

（2）的结果，你能得到什么结论？

（2）可设从而支柱（3）设

，于是的长度是是隔离带的宽，

米．

是三辆车的宽度和，则点坐标是．

过点作垂直交抛物线于，则．

根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．12、

12、（2019年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，•分别以EM、MF为

一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？

最大值是多少？

解：

∵矩形MFGN∽矩形ABCD∴MF=2MN=2x∴EM=10-2x∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-2.5）2+12.5∵0

当x=2.5时，S有最大值12.5

13、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

解：

设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）易知CN=4-x，EM=4-y．过点B作BH⊥PN于点H则有△AFB∽△BHP∴

AFBH24-x

=

，即=，BFPH1y-3

∴y=-

1

x+5，21

S=xy=-x2+5x（2≤x≤4），

2

此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y随x的增大而增大，对于2≤x≤4来说，当x=4时，S最大=-

1

⨯42+5⨯4=12．2

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

14．如图，矩形ABCD的边AB=6cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设

BP=xcm，CQ=ycm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式．

ADQ

BP

C

解：

∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,

∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°.∴△ABP∽△PCQ.

ABBP6x

=,=,PCCQ8-xy

∴y=-

124x+x．63

15、如图所示，在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，

长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（D）

A．

245mB．6mC．15mD．m42

解：

AB=xm，AD=b，长方形的面积为ym

2

∵AD∥BC∴△MAD∽△MBN

ADMAb5-x12

==（5-x），即，b=BNMB1255

1212

y=xb=x⋅（5-x）=-（x2-5x）,当x=2.5时，y有最大值．

55

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

1、如图

（1）是一个横断面为抛物线形状

的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图

（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是.

∴

2

y=ax解：

设此函数解析式为：

，（a≠0）；那么

（2，-2）应在此函数解析式上．

2、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于

水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图

（1）所示.图

（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的

图

（1）图

（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

解：

（1）把x=0代入抛物线的解析式

55，即柱子OA的高度是44

29

=1时，y=,即水流距水平面的最大高度

（2）由题意得：

当x=-

2⨯（-1）4

得：

y=

（3）把y=0代入抛物线

2

得：

-x+2x+

551

=0，解得，x1=-（舍去，不合题意）

，x2=422

3．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标

系

.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

2

y=ax+c，解：

（1）①设抛物线解析式为：

∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，

∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），

222

r=（r-4）+10

（2）①设圆半径r米，圆心为W，∵BW2=BC2+CW2，∴，解得：

r=14.5；

②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：

4.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）

A．2.76米B．6.76米

解：

设该抛物线的解析式为y=ax2，