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大学数学教案

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高等数学教案

湖北职业技术学院

第一章函数、极限与与连续

本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

具体的要求如下：

1．理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高要求）。

2．掌握极限四则运算法则。

3．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

4．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。

能够正确运用等价无穷小求极限。

5.理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。

6.了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。

7.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。

第一章共12学时，课时安排如下

绪论§1.1、函数§1.2初等函数2课时

§1.4数列极限及其运算法则2课时

§1.4函数极限及其运算法则2课时

§1.4两个重要极限无穷小与无穷大2课时

§1.4函数的连续性2课时

第一章习题课2课时

绪论

数学：

数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。

数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。

关于数学应用和关于微积分的评价：

恩格斯：

在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。

华罗庚：

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。

张顺燕：

微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。

……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。

航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。

数学一下子到了前台。

数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二）

初等数学与高等数学的根本区别：

用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。

高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。

用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

本学期教学内容：

第一章函数、极限与连续

第二章导数与微分

第三章导数学的应用

第四章不定积分

参考书：

高等数学（同济大学应用数学系主编第五版）《数学分析》武汉大学数学系编

电子阅览室（网络）高等数学精品课程

学习高等数学应注意的方法：

上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。

第一节函数、第二节初等函数

1.掌握区间、邻域的概念。

2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。

5.掌握基本初等函数的性质及其图形。

一．邻域，以a为中心的邻域

，以a为中心的去心邻域

二．函数：

定义1设和是两个变量，是一个数集。

如果对于中的每一个，按照某个对应法则，都有确定的值和它对应，那么称为定义在数集上的的函数，记作。

叫做自变量，叫做因变量，，数集叫做函数的定义域。

为因变量的函数也可表示为，，，……

函数的两个要素：

对应法则、定义域。

三．分段函数

1．称为“分界点”。

2．符号函数

3．取整函数：

不超过的最大整数，记做：

，如：

，。

四．反函数的定义：

设有函数其定义域，值域为，如果对于中的每一个值，都可以从关系式确定唯一的值（）与之对应，这样所确定的以为自变量的函数叫做函数的反函数，它对定义域为，值域为。

习惯上，函数的自变量都用表示，所以反函数通常表示为

五．函数的几种特性

1．有界性：

设，定义域为D，D，，恒有。

则称函数在D上有界。

否则称函数在D上无界。

例如：

函数，在内有界；在内无界。

2．单调性：

设，定义域为D，D，当时，单调递增；当时，单调递减。

单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。

3．奇偶性：

偶函数，

奇函数。

4．周期性：

周期函数D，D，

例1．狄里克莱函数。

狄里克莱函数是周期函数，但它没有最小正周期。

2．符号函数

六．复合函数

定义如果是的函数，而是的函数，且的值全部或部分地落在的定义域内，那么通过的联系也是发函数。

称这个函数是由及复合而成的，称为复合函数，记作，其中叫做中间变量。

注：

设、，如果的值部分地落在的定义域内，则复合函数的定义域是的定义域的子集；如果的值全部落在的定义域内，则复合函数的定义域与的定义域相同。

如果的值全部落在的定义域外，则不能构成复合函数。

例3．将下列函数“分解”成“简单”的函数：

，，

七．基本初等函数与初等函数：

1、常数函数

2、幂函数

3、指数函数

4、对数函数

5、三角函数

6、反三角函数：

初等函数：

由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数。

八．双曲函数与反双曲函数

，，。

作业P20~21习题2（3）、（4）、（6）；5；7。

第四节数列的极限

数列极限的定义

数列的定义：

数列实质上是整标函数，正整数集

（i）：

1，，，…，，…0

（ii）：

2，，，…，1+，…1

确定：

要使<0.01，只要>100；

要使<0.0001，只要>10000；

要使<，只要>[]。

（iii）：

1，-1，1，…，，…不存在

数列极限描述性定义（P27）：

如果当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数，那么就叫做数列的极限，或称数列收敛于，记作

或当

数列极限的定义：

如果存在常数，使得对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数，只要，绝对值不等式<恒成立，则称数列{}以常数为极限，记为=（或，）。

数列极限的分析（）定义：

设，，，当时，恒成立，则将数列{}以常数为极限，记为=（或，）。

例1．证明数列2，，，，…，，…的极限是1。

证：

[分析]令=，记a=1，要使===<，只要>，取N=。

[证明]，，当n>N时，恒有，故=1。

例2．若，证明：

。

证：

[分析]==<<，要使<，只要，取N=，再放大

[证明]当n>N时，恒成立，故。

例3．设，证明数列：

1，，，…，，…的极限是0。

证：

[分析]令，记a=0，由于==，要使，只要，只要，只要，只要，取N=。

[证明]，，当n>N时，恒有，故=0（当时）。

例4．数列{}有界，又，证明=0。

证：

，对一切n均有，又，对于，，当n>N时，恒有，，所以=0。

收敛数列的性质

性质1（有界性）收敛数列一定有界。

注：

有界数列不不一定收敛。

性质2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。

数列极限的运算法则

如果，，那么

（1）+

（2）

（3）

特别地，如果C为常数，那么由

（2）得

无穷递缩等比数列的和（P30）

化循环小数为分数

例（P29例3）

作业P32第2题

（1）、（3）、（6）、（8）；第3题（3）、（4）；第4题

（2）

第五节函数的极限

一、当时函数极限

函数极限的描述性定义：

设函数当||时有定义（为某个常数），如果当自变量的绝对值无限增大（记作）时，其函数值无限接近于某确定的常数，则称为函数当时的极限，记作

或当时，

函数在当时（）定义：

，，当时，恒成立，则称为函数当时的极限，记作

注意：

或

二、当时函数极限

引例：

，当时，，时，

即

研究：

在点的某个去心邻域内有定义，当时，

定义：

如果存在常数a，使得对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，当时，恒成立，记作。

，，当时，恒成立。

例1．证明下列极限：

（1）；

（2）；（3）。

证：

（1）[分析]这里，恒成立

[证明]，任取一个正数，当时，恒成立，证之。

（2）[分析]由于，只要，取

[证明]，，当时，恒成立，故

（3）[分析]由于，要使，只要，只要，即，取

[证明]，，当，恒成立，故

例2．证明。

证：

[分析]，，

由于===

要使，只要，即，只要，取

[证明]，，当时，恒成立，证之。

例3．证明。

证：

[分析]由于，要使，只要，只要，即，取

[证明]，

，当时，恒成立，证之。

左极限

右极限

极限存在

例4．当时，讨论的极限

三、极限的性质

具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。

性质1．（唯一性）如果存在，则极限唯一。

证：

反证法。

设，，且。

，，当时，有；

，，当时，有。

取，上面两式均成立，由

矛盾！

性质2．（局部有界性）：

如果存在，则在点的某个去心邻域内，函数有界。

证：

令=a，由定义，，（对于=1），，当，，

。

推论：

收敛数列必有界；无界数列必发散。

性质3．（局部保号性）如果且（或），则在点的某个去心邻域内，函数（或）。

证：

不妨令，取，，当时，，，

。

性质4．（函数极限与数列极限的关系）设存在，设是函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足：

（），那么相应的函数值数列必收敛，且。

证：

设，，，当，恒有，即。

由于，故知数列只有有限多项在之外，从而数列只有有限多项在之外，根据数列极限的定义得

例1数列是发散的。

为什么？

例2证明当时，没有极限。

证：

取两个收敛于0的数列：

，所以不存在。

例3对于数列，若，，证明

证：

，，当时，

，，当时，

，，当时，恒有，即

作业：

P38T1

（1）、92）（3）、（7）、（8）。

T5。

第六节．函数极限的运算法则、两个重要极限

一、函数极限的四则运算法则

定理1：

设，。

则

（1）

；

（2）

；

（3）当时，。

推论1、常数因子可以提到极限符号外面去，即

推论2如果存在，则

注：

上述法则对于时的情形也是成立的。

例1．求下列极限：

（1）；

（2）

例2．求下列极限：

（1）；

（2）；（3）。

例3．设，求。

解：

二、极限存在准则

准则Ⅰ如果数列、、满足下列条件：

（1）…，

（2），

那么数列的极限存在，且。

准则Ⅱ单调有界数列必有极限。

第一个重要极限：

例1求下列极限：

（1）；

（2）；（3）。

例2求。

第二个重要极限：

例3求下列极限

（1）；

（2）；（3）。

例4求极限.

作业：

P43T1

（1）、（3）、（5）、（7）。

T2

（2）（4）、（6）。

T

（1）、

（2）。

第七节、无穷小与无穷大

一、无穷小

1、无穷小的定义

定义：

以0为极限的函数（变量），称为无穷小量。

定理：

在自变量同一变化过程中，函数f（x）有极限的充分必要条件是，其中是无穷小量。

2、无穷小的性质

性质1、有限个无穷小量之和是无穷小量；

证：

（1）设，

，，当时，

，，当时，

性质2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。

性质3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。

推论：

常数与无穷小量之积是无穷小量。

例1．求。

二、无穷大

1、无穷大的定义

定义2、如果当时，函数的绝对值无限增大，那么称为当时的无穷大量，简称无穷大，记为

定义2（不论它多么大），，当时，恒有，记作

2、无穷大与无穷小的关系

定理：

在自变量的同一变化过程中，若是无穷大量，则是无穷小量；反之，若是无穷小量，且，则是无穷大量。

三、无穷小的比较

引入，，，

定义：

在自变量同一变化过程中，如果，均为无穷小量，若

1．，称是比高阶的无穷小量，记为o；

2．，称是比低阶的无穷小量；

3．（），称与是同阶无穷小量；

4．特别地当C=1时，即，称与是等价无穷小量，记为~

例1．

，称是x的二阶无穷小。

四、等价无穷小量的性质

性质1、是等价无穷小的充分必要条件为

性质2、设，，，是无穷小量，且~，~，如果，则

证：

。

例2．求下列极限

（1）；

（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）。

常见的等价无穷小有：

当时，

（1）

（2）

（3）（4）；（5）。

作业：

P51T2

（1）、

（2）、（5）、（8）。

T3

第八节函数的连续性

一、函数的连续性

1、函数的改变量

定义1、如果变量从初值变到终值，那么终值与初值的差叫做变量的改变量（或增量），记作，即

=。

改变量可以是正的，也可以是负的。

给自变量以改变量，函数有相应的改变量。

2、函数的连续性

定义2：

设函数在点的某一邻域内有定义，若存在，且其极限值等于，即，称函数在点处连续，点是的连续点。

即：

，，当时，恒有。

记，

定义3：

若，则称函数在点处连续。

若，则称在处左连续；若，则称在处右连续。

函数在处连续且。

如果函数在开区间内的每一点处连续，则称为开区间内的连续函数，称为函数的连续区间。

如果函数在区间内的每一点处连续，且在点处右连续，在点处右连续，则称为闭区间上的连续函数

重要结论：

基本初等函数在其定义区间内连续。

3、函数的间断点

如果函数在点处不连续，则称是的不连续点或间断点。

如果函数有下列三种情形之一：

（1）在点处无定义，即不存在；

（2）不存在；

（3）及都存在，但。

则就是的间断点。

例1．研究下列函数在指定点的连续性：

（1），点x=0；

（2）；点x=1；

（3），点x=0。

例2．，点。

例3．，点x=0。

例4、证明函数=在内是连续的。

证明：

，当有增量时，对应的函数的增量为

，

注意到||。

得

因为对于任意的角度，当时有，，所以有

因此，当时，由夹逼准则得这就证明了=对于是连续的。

间断点的分类：

二、初等函数的连续性

定理1、如果函数与在点处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）也都在点处连续。

定理2、如果函数在点处连续，且，函数在点处连续，那么复合函数在点处连续。

定理3、一切初等函数在其定义区间都是连续的。

三、闭区间上连续函数的性质

定理4：

（有界性及最大值最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上有界，且一定有最大值和最小值。

，使得，

定理2（零点定理）若函数在闭区间[a,b]上连续，且f（a）,f（b）异号，则f（x）在开区间（a,b）内至少有一个零点。

在上连续，且

，使得。

定理3（介值定理）设函数在闭区间[a,b]上连续，且，则对介于与之间的任何实数，在区间（a,b）内至少存在一点，使得。

证明：

作辅助函数，满足定理2的条件：

在[a,b]上连续，且

，即，。

推论1：

闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。

推论2：

闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间。

切记：

若不是闭区间，或不是连续函数，上述性质均不一定成立。

例1．证明方程在区间（-1,1）内有唯一的根。

证：

讨论函数，闭区间[-1,1]。

先证明存在性；再证明唯一性——指出为单调函数

例2．证明方程有分别包含于（1，2），（2，3），内的两个实根。

证：

由方程可知，，，故原方程之同解方程为

引入辅助函数

易知F（x）在上连续，故可分别在闭区间[1，2]，[2，3]上讨论之。

作业：

P60T1；T2；T3

（1）、（3）；T4

（2）。

第一章习题课

一、内容小结

1、函数的定义，反函数、复合函数的定义，函数的几种特性，基本初等函数，基本初等函数。

2、数列极限的定义、性质。

3、函数极限的定义：

。

函数极限的性质：

（1）如果函数则在点的去心邻域内是有界的。

（2）如果存在，那么这极限是唯一的。

4、无穷小、无穷大：

无穷小：

；无穷大：

；无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的关系；无穷小阶的比较。

等价无穷小的性质与其在极限计算中的应用。

5、极限存在准则、两个重要极限：

.

6、函数的连续性与性质

①设函数在点的某邻域内有定义，如果

②如果

，那么就称函数在点处连续。

左连续；右连续。

区间上连续函数：

在区间上每一点都连续的函数称为该区间上的连续函数。

③间断点：

有下列三种情形之一

（1）在处无定义；

（2）在有定义，但不存在；（3）在有定义，存在，但。

则函数在点处间断。

间断点分类：

在间断，与分别存在，则称为的第一类间断点，否则称为第二类间断点。

④重要结论：

基本初等函数在其定义域内是连续的。

一切初等函数在其定义区间都是连续的。

⑤闭区间上连续函数的性质

（1）最大值、最小值及有界性定理。

（2）零点定理

（3）介值定理

7、运算法则

（1）无穷小的运算性质①有限个无穷小的和仍为无穷小；②有限个无穷小的积仍为无穷小；③有界函数与无穷小的积为无穷小。

（2）极限的四则运算法则。

（3）复合函数的极限运算法则：

设函数是由函数与复合而成的，在点的某去心邻域内有定义，若，。

且存在当时，有，则。

（4）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。

（5）若在点处连续，在点连续，，且，则复合函数在点连续，且

。

关于极限计算的几点说明

1．极限的计算，首先区分谁是变量，谁是常量，同时搞清变量的变化过程；

2．区分极限是定型的还是未定型的。

定型的极限直接进行计算；未定型的极限，则要研究如何将其转化为定型的极限；

3．未定型的极限转化为定型的极限方法，最基本的有四种：

（a）利用初等变形的方法：

消去零因子，根式有理化，分离为无穷小，变量代换，恒等变换等进行转化。

（b）利用两个重要极限进行转化。

（c）利用等价无穷小量代换

利用洛必达法则（第三章介绍）。

例1、

例2、若，求a,b的值。

解：

当时，，且

例3、函数内是否有界？

这个函数的是否为时的无穷大？

为什么？

解：

函数内无界，但不是时的无穷大。

理由如下：

取数列，当时，，

这时

，所以这个函数无界。

取数列，当时，，

这时

，

所以这个函数不是无穷大.

例4、求极限

解：

.

例5、设

要使函数在内连续，应当怎样选择

解：

因为函数在与内均为初等函数，所以函数在与蒙古内均为连续函数。

要函数在处连续，则

故当时，函数在处连续；

从而当时，函数在内连续。

补充作业：

1、证明：

函数在区间上无界，但不是是时的无穷大。

。

2、