二次函全章导学案三份.docx
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二次函全章导学案三份
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
总结归纳:
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫做二次函数,其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a,b,c.现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数,其表达式分别是y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)、y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0).
2、自学检测:
1.下列函数中,是二次函数的有__.
A.y=(x-3)2-1B.y=1-
x2
C.y=
(x+2)(x-2)D.y=(x-1)2-x2
2.二次函数y=-x2+2x中,二次项系数是____,一次项系数是___,常数项是___.
1、小组合作:
探究1 若y=(b-2)x2+4是二次函数,则__b¡Ù2__.
探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元出售,那么每月可售出500个,根据销售经验,售价每提高1元,销售量相应减少10个,如果超市将篮球售价定为x元(x>50),每月销售这种篮球获利y元.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元,又要吸引更多的顾客,那么这种篮球的售价为多少元?
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
一、自学指导.
(1)画函数图象的一般步骤:
取值-描点-连线;
(2)在同一坐标系中画出函数y=x2,y=
x2和y=2x2的图象;
(3)观察上述图象的特征:
形状是抛物线,开口向上,图象关于y轴对称,其顶点坐标是(0,0),其顶点是最低点(最高点或最低点);
(4)找出上述三条抛物线的异同:
__________.
(5)在同一坐标系中画出函数y=-x2,y=-
x2和y=-2x2的图象,找出图象的异同.
点拨精讲:
可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律.
总结归纳:
一般地,抛物线的对称轴是y轴,顶点是(0,0),当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点.a越大,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大.
2、自学检测:
1、小组合作:
探究1 填空:
(1)函数y=(-
x)2的图象形状是______,顶点坐标是______,对称轴是______,开口方向是______.
(2)函数y=x2,y=
x2和y=-2x2的图象如图所示,请指出三条抛物线的解析式.
解:
(1)抛物线,(0,0),y轴,向上;
(2)根据抛物线y=ax2中,a的值来判断,在x轴上方开口小的抛物线为y=x2,开口大的为y=
x2,在x轴下方的为y=-2x2.
点拨精讲:
解析式需化为一般式,再根据图象特征解答,避免发生错误.抛物线y=ax2中,a>0时,开口向上;a<0时,开口向下;|a|越大,开口越小.
探究2 已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?
求这个最低点;当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?
最大值为多少?
当x为何值时,y随x的增大而减小?
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
(1)
一、自学指导.
总结归纳:
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,其对称轴是y轴,顶点是(0,0),开口方向由a的符号决定:
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向__下__.当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.抛物线有最__低__点,函数y有最__小__值.当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.抛物线有最__高__点,函数y有最__大__值.
抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到,当k>0时,向__上__平移;当k<0时,向__下__平移.
2、自学检测:
1.在抛物线y=x2-2上的一个点是( C )
A.(4,4) B.(1,-4)
C.(2,2)D.(0,4)
2.抛物线y=x2-16与x轴交于B,C两点,顶点为A,则¡÷ABC的面积为__64__.
点拨精讲:
与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值,即可求出两个交点的坐标.
1、小组合作:
探究1 抛物线y=ax2与y=ax2±c有什么关系?
探究2 已知抛物线y=ax2+c向下平移2个单位后,所得抛物线为y=-2x2+4,试求a,c的值.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
(2)
一、
总结归纳:
二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0),对称轴为直线x=h.当a>0时,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,抛物线有最低点,函数y有最小值;当a<0时,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,抛物线有最高点,函数y有最大值.抛物线y=ax2向左平移h个单位,即为抛物线y=a(x+h)2(h>0);抛物线y=ax2向右平移h个单位,即为抛物线y=a(x-h)2(h>0).
2、自学检测:
1.抛物线y=-
(x-1)2的开口向,顶点坐标是,对称轴是,通过向平移个单位后,得到抛物线.
一、小组合作
探究1在直角坐标系中画出函数y=
(x+3)2的图象.
(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)根据图象回答,当x取何值时,y随x的增大而减小?
当x取何值时,y随x的增大而增大?
当x取何值时,y取最大值或最小值?
(3)怎样平移函数y=
x2的图象得到函数y=
(x+3)2的图象?
探究2 已知直线y=x+1与x轴交于点A,抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.
(1)求平移后的抛物线l的解析式;
(2)若点B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上,且-
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3) 总结归纳: 一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,平移的方向、距离要根据h,k的值来决定: 当h>0时,表明将抛物线向右平移h个单位;当k<0时,表明将抛物线向下平移|k|个单位. 抛物线y=a(x-h)2+k的特点是: 当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;对称轴是直线x=h;顶点坐标是(h,k). 2、自学检测: 函数y=2(x+3)2-5的图象是由函数的图象先向平移个单位,再向平移个单位得到的; 抛物线y=-2(x-3)2-1的开口方向是,其顶点坐标是,对称轴是直线,当x>3时,函数值y随自变量x的值的增大而. 1、小组讨论: 探究1 填写下表: 解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=-2x2 向下 y轴 (0,0) y= x2+1 向上 y轴 (0,1) y=-5(x+2)2 向下 x=-2 (-2,0) y=3(x+1)2-4 向上 x=-1 (-1,-4) 点拨精讲: 解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-h)2+k的形式,便于解答. 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 (1) 一、 总结归纳: 二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h,当a>0时,开口向上,此时二次函数有最小值,当x>h时,y随x的增大而增大,当x 用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,则h=- ,k= ;则二次函数的图象的顶点坐标是(- , ),对称轴是x=- ;当x=- 时,二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小)值,当a<0时,函数y有最大值,当a>0时,函数y有最小值. 二、自学检测: 1.求二次函数y=x2+2x-1顶点的坐标、对称轴、最值,画出其函数图象. 1、小组合作: 探究1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴. (1)y= x2-3x+21; (2)y=-3x2-18x-22. 点拨精讲: 第 (2)小题注意h值的符号,配方法是数学的一个重要方法,需多加练习,熟练掌握;抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解. 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 (2) 一、 总结归纳: 若知道函数图象上的任意三点,则可设函数关系式为y=ax2+bx+c,利用待定系数法求出解析式;若知道函数图象上的顶点,则可设函数的关系式为y=a(x-h)2+k,把另一点坐标代入式中,可求出解析式;若知道抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0),可设函数的关系式为y=a(x-x1)(x-x2),把另一点坐标代入式中,可求出解析式. 2、自学检测: 1.二次函数y=4x2-mx+2,当x<-2时,y随x的增大而减小;当x>-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值为. 点拨精讲: 可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴,从而求出m的值. 2.抛物线y=-x2+6x+2的顶点坐标是. 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示,下列判断错误的是( D ) A.a<0 B.b>0 C.c>0 D.ac>0 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为( ) A.0B.-1C.1D.2 点拨精讲: 根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(-1,0),将此点代入解析式,即可求出a-b+c的值. 5.如图是二次函数y=ax2+3x+a2-1的图象,a的值是. 点拨精讲: 可根据图象经过原点求出a的值,再考虑开口方向. 1、小组合作: 探究1 已知二次函数的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3),求函数的关系式和对称轴. 探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A(3,0),B(-1,0),且经过点C(2,9).试求该抛物线的解析式及顶点坐标. 点拨精讲: 因为已知点为抛物线与x轴的交点,解析式可设为交点式,再把第三点代入即可得一元一次方程,较之一般式得出的三元一次方程组简单.而顶点可根据顶点公式求出. 22.2 二次函数与一元二次方程 (1) 一、自学指导. 总结归纳: 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种: 当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴有0个交点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根的三种情况: 有两个不等的实数根,有两个相等实数根,没有实数根. 二、自学检测: 1.观察图中的抛物线与x轴的交点情况,你能得出相应方程的根吗? 方程x2+x-2=0的根是: 方程x2-6x+9=0的根是: 方程x2-x+1=0的根是: 1、小组合作: 探究 已知二次函数y=2x2-(4k+1)x+2k2-1的图象与x轴交于两点.求k的取值范围. 22.2 二次函数与一元二次方程 (2) 一、 总结归纳: 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y=0组成的方程组的解;抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标实质上是 的解;抛物线y=ax2+bx+c与直线的交点坐标实质上是 的解. 2、自学检测: 1.若二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围为( ) A.k<4 B.k≤4 C.k<4且k¡Ù3D.k≤4且k¡Ù3 1、小组合作: 探究1 将抛物线y=x2+2x-4向右平移2个单位,又向上平移3个单位,最后绕顶点旋转180°. (1)求变换后新抛物线对应的函数解析式; (2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2-(4m+n)x+3m2-2n=0的两根,求m,n的值. 探究2 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是. 22.3 实际问题与二次函数 (1) 一、 总结归纳: 图象是抛物线的,可设其解析式为y=ax2+bx+c或y=a(x-h)2+k,再寻找条件,利用二次函数的知识解决问题;实际问题中没有坐标系,应建立适当的坐标系,再根据图象和二次函数的知识解决实际问题. 二、自学检测: 1.用长16m的绳子围成如图所示的矩形框,使矩形框的面积最大,那么这个矩形框的最大面积是. 一、小组合作: 探究1 某窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长为15m(图中所有线条长度之和),当x等于多少时,窗户通过的光线最多? 此时,窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m) 解: 由题意可知4y+ ¡Á2πx+6x=15,化简得y= ,设窗户的面积为Sm2,则S= πx2+2x¡Á =-3x2+ x,∵a=-3<0,∴S有最大值.¡à当x=1.25m时,S最大值≈4.69(m2),即当x=1.25m时,窗户通过的光线最多.此时,窗户的面积是4.69m2. 点拨精讲: 中间线段用x的代数式来表示,要充分利用几何关系;要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内. 探究2 如图,从一张矩形纸片较短的边上找一点E,过E点剪下两个正方形,它们的边长分别是AE,DE,要使剪下的两个正方形的面积和最小,点E应选在何处? 为什么? 解: 设矩形纸较短边长为a,设DE=x,则AE=a-x,那么两个正方形的面积和y为y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2,当x=- = a时,y最小值=2¡Á( a)2-2a¡Á a+a2= a2. 即点E选在矩形纸较短边的中点时,剪下的两个正方形的面积和最小. 点拨精讲: 此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解. 22.3 实际问题与二次函数 (2) 一、 总结归纳: 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.用二次函数的知识解决实际问题时,关键是先将实际问题抽象成数学问题,即先建立二次函数关系,然后再利用二次函数的图象及性质进行解答.在二次函数y=a(x-h)2+k中,若a>0,当x=h时,函数y有最小值,其值为y=k;若a<0,当x=h时,函数y有最大值,其值为y=k. 点拨精讲: 遇到一般式,可先化成顶点式,再求最值;自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值. 2、自学检测: 1.已知二次函数y=x2-4x+m的最小值是2,那么m的值是. 2.边长为10cm的正方形铁片,中间剪去一个边长是xcm的小正方形,剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系是. 3.服装店将进价为100元的服装按x元出售,每天可销售(200-x)件,若想获得最大利润,则x应定为元. 1、小组合作: 探究 某经销店代销一种材料,当每吨售价为260元时,月销售量为45吨,该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现: 当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨,每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元,设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式;(不要求写出x的取值范围) (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)王强说: ¡°当月利润最大时,月销售额也最大.¡±你认为对吗? 请说明理由.
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