第6章《平行四边形》刘汝东.docx
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第6章《平行四边形》刘汝东
6.1平行四边形的性质
(1)
设计人刘汝东
学习目标:
掌握平行四边形有关概念和性质;探索并掌握平行四边形的对边相等,对角相等的性质。
学习重点:
探索平行四边形的性质及其应用。
学习难点:
平行四边形性质的理解和应用。
学习过程:
一、情境引入
(1)观察课本P4的图片中,有你熟悉的哪些图形?
(2)你对平行四边形有哪些了解?
二、自主探究
探究一:
阅读课本P4,自学平行四边形的定义、表示法
(1)定义:
有两组对边分别的四边形叫做平行四边形,
(2)表示法:
四边形ABCD是平行四边形,记作
(3)对边:
与,与,对角:
与,与,
探究二:
平行四边形的性质
(1)观察平行四边形ABCD的对边,对角
(2)你猜一猜平行四边形ABCD的对边,对角
(3)如何推理证明?
已知:
求证:
证明:
(4)综上所述,你能说出平行四边形的性质吗?
平行四边形性质定理1:
平行四边形的对边分别
平行四边形性质定理2:
平行四边形的对角分别
三、展示交流
平行四边形的对边平行
基本推理:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
③平行四边形的对角相等
基本推理:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
平行四边形的对边相等
基本推理:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
平行四边形的邻角互补
基本推理:
∵四边形ABCD是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD∴AD∥BC
∴∴
四、精讲点拨
1.如图,四边形ABCD是平行四边形
(1)若AB=5㎝,则CD=
(2)若∠A=100°,则∠B=,∠C=,∠D=
(3)若∠A+∠C=300°,则∠B=,∠D=
2.在
ABCD中,E、F分别在DC、AB上,且DE=BF。
求证:
(1)AE=CF。
(2)AE∥CF
3.在
ABCD中,E、F分别在DC、AB上,且AE∥CF。
求证:
AE=CF。
4.如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F。
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形;
(2)选择
(1)中的任意一对进行证明。
5.已知:
如图所示,在
ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD
求证:
AE=CF
6.1平行四边形的性质
(2)
设计人刘汝东
学习目标
经历探索平行四边形对角线的性质的过程,能熟练应用平行四边形的性质解决问题。
学习重点:
理解并正确运用平行四边形的性质。
学习难点:
平行四边形性质的应用。
学习过程:
一、复习引入
问题:
上节课我们学习了平行四边形的哪些性质?
怎样发现这些性质的?
边的关系:
,;
角的关系:
,;
二、自主探索
1.做一做:
鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质:
如图4-3,□ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,
(1)图中有哪些三角形是全等的?
有哪些线段是相等的?
(2)能设法验证你的猜想吗?
2.观察、讨论:
(小组交流)
通过以上活动,你能得到哪些结论?
并由各小组派学生表述看法。
3.结论:
平行四边形的性质:
平行四边形的对角线。
基本推理:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
三、交流展示观察右图:
(1)相等的线段有对,
(2)相等的角有对,(3)全等三角形有对
(4)面积相等的三角形有对
E
四、精讲点拨
1.如图,□ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,
F
OE⊥AD,OF⊥BC;
求证:
OE=OF
E
2.如图,□ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,
EF经过点o,交AD于点E,交BC于点F;
F
求证:
OE=OF
3.如图,□ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,
EF经过点o,交AB的延长线于点E,交CD的延长线于点F;
求证:
OE=OF
4.如图,□ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,
(1)若AB=5㎝,BC=6㎝,则AC的取值范围
BD的取值范围
(2)若AC=8㎝,BD=10㎝,则AB的取值范围
BC的取值范围
(3)若AB=1㎝,BC=6㎝,且AC的长是整数,则AC=
(4)若AC=4㎝,BD=10㎝,且BC的长是奇数,则BC=
五、积累总结
本节课你学会了什么,和同桌说说。
六、当堂测试
1.如图,已知
的周长为60cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长长8cm,求这个四边形各边长.
2.如图,如果△AOB与△AOD的周长之差为8,而AB∶AD=3∶2,
那么
的周长为多少?
6.2平行四边形的判定
(1)
设计人刘汝东
学习目标:
1.掌握平行四边形的判别方法1和平行四边形的判别方法2。
⒉.经历平行四边形判别条件的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法;
学习重点:
平行四边形的判别条件。
学习难点:
平行四边形的判别条件的应用。
学习过程:
一、情境导入:
1.平行四边形的定义:
有两组对边分别的四边形叫做平行四边形
包含的意义:
(1)性质作用:
平行四边形两组对边分别平行
(2)判定作用:
两组对边分别平行平行四边形
2.如图,在□ABCD中,E、F分别是BC、AD上的点,且AE∥CF,
(1)试判断四边形AECF的形状?
说明理由.
(2)AE与CF相等吗?
说明理由.
二、自主探究
(1)阅读课本P10—11“观察与思考”,探究平行四边形的判定方法。
平行四边形的判定定理1:
有一组对边的四边形是平行四边形。
(2)证明判定定理1:
已知:
求证:
证明:
(4)尝试一下:
在□ABCD中,E、F分别在DC、AB上,且DE=BF,
四边形AFCE是平行四边形吗?
说说你的理由。
(3)阅读课本P11“交流与发现”,
平行四边形的判定定理2:
有两一组对边分别的四边形是平行四边形。
三、展示交流从边的角度总结一下,平行四边形的判定方法:
(1)两组对边分别的四边形是平行四边形;
(2)一组组对边的四边形是平行四边形;
(3)两组对边分别的四边形是平行四边形;
四、精讲点拨
1.小明拼成的四边形如图所示,
图中的四边形ABCD是平行四边形吗?
理由:
2.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是()
A、AB=CD,AD∥BCB、AB=CD,AB∥CD
C、AB∥CD,AD∥BCD、AB=CD,AD=BC
3.四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD为平行四边形,需添加一个条件
是(只需填一个你认为正确的条件即可)。
4.在□ABCD中,E、F是对角线AC上两点,且AE=CF,四边形DEBF是平行四边形吗?
请说明理由.
5.如图,等腰△ABC中,D是BC边上的一点,DE∥AC,DF∥AB,
通过观察分析DE+DF=AB吗?
试说明理由。
6.如图,在□ABCD中,点E是BC的中点,点F是AD的中点,
试判断四边形AECF的形状,说明理由
7.在图中,AC=BD=16,AB=CD=EF=15,CE=DF=9。
图中有哪些互相平行的线段?
6.2平行四边形的判别
(2)
设计人刘汝东
学习目标:
1.经历并了解平行四边形的判别方法探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法。
2.探索并了解平行四边形的判别方法:
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
学习重点:
平行四边形的判别方法。
学习难点:
根据判别方法进行有关的应用
学习过程:
一、复习引入
(1)两组对边分别的四边形是平行四边形;
(2)一组组对边的四边形是平行四边形;
(3)两组对边分别的四边形是平行四边形;
二、自主探究
(1)阅读课本P13,“交流与发现”,探究平行四边形的判定方法。
(2)平行四边形的判定定理3:
对角线的四边形是平行四边形。
(3)求证:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
三、展示交流
1.如图,四边形ABCD,AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,
则四边形ABCD是__________,根据是_____________________
2.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项,其中是平行四边形的是()
A、88°,108°,88°B、88°,104°,108°
C、88°,92°,88°D、88°,92°,92°
3.如图4,□ABCD中,E、F分别为边AB、DC的中点,
则图中共有个平行四边形。
4.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D.
则ABCD是平行四边形吗?
说明你的理由
5.如图,□ABCD中,AN=CM,猜想能否利用图中
现有的点构造出两条平行线段?
明你的理由。
四、精讲点拨
1.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,DC上的两点,且AE=CF.求证:
BD,EF互相平分
2.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,点M,N在对角线AC上,且AM=CN.
求证:
四边形BMDN是平行四边形.
3.如图,平行四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,
连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,
CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗?
4.A、B、C、D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC=AD;④BC∥AD.这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()
A.3种B.4种C.5种D.6种
5.以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.四边形ABCD中,AD∥BC,要判别四边形ABCD是平行四边形,还需满足条件()
A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°
6.3特殊的平行四边形(第一课时)
设计人刘汝东
学习目标:
1.掌握矩形的概念与有关性质,并会利用这些知识进行简单的推理与计算。
2.在了解矩形与平行四边形之间的关系,掌握、运用矩形性质的过程中,渗透数形结合、转化化归与方程思想,进一步提高分析问题与解决问题的能力。
学习重点:
矩形概念的理解;掌握并会运用矩形的性质
学习难点:
运用矩形的性质进行简单的推理与计算
学习过程:
一、情景引入
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;
⑵摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,
根据的数学道理是:
;
⑶将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形。
二、自主探究
1.矩形的定义:
有一个角是的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质:
共性:
(1)边:
矩形的对边
(2)角:
矩形的对角
(3)对角线:
矩形的对角线
特性:
(1)对称性:
矩形是图形,它的对称轴是.
(2)矩形的性质定理1:
矩形的四个角都是(故上图中有个直角三角形)
(3)矩形的性质定理2:
矩形的对角线
已知:
如图,四边形ABCD是矩形
求证:
AC=BD
证明:
(4)由矩形性质有OA=OC=
ACOB=OD=
BD且AC=BD
得OA===
①矩形对角线的交点O到各顶点的距离。
②图中有个等腰三角形,它们分别是
③若∠AOB=600,则△AOB和△COD的形状是
(5)由矩形性质有∠ABC=900,OA=OB=OD,若沿对角线BD
将矩形分成Rt△BAD和Rt△BCD,则OA=___BD,
这说明:
Rt△BAD中,若OA是斜边BD的,
则OA=BD
直角三角形的性质2:
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的
1如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点.
若AB=10㎝,则CD=;若CD=8㎝,则AB=
②直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6,则它的面积是______________.
三、合作交流
1.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若对角线AC=10cm,边BC=8cm,
则△BOC的周长为________.
2.若矩形的两条对角线的夹角是120°,对角线上为10,则矩形的短边为_____;
3.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分,则该矩形的周长是()
A.16B.22C.26D.22或26
4.如图,在等腰△BED中BD=BE,且四边形ABCD是矩形.
求证:
四边形ABEC是平行四边形.
5.如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC于E,
CF⊥BD于F,则BE与CF相等吗?
为什么?
6.已知:
如图,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,
点M、N分别是BC、DE的中点.
求证:
MN⊥DE.
6.3特殊的平行四边形(第二课时)
设计人刘汝东
学习目标:
(1)理解并掌握矩形的判定方法.
(2)使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题
学习重点:
矩形的判定及其应用.
学习难点:
矩形的判定及性质的综合应用.
学习过程:
一、情境引入
一位很有名望的木工师傅,招收了两名徒弟。
一天,师傅有事外出,两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门,完事之后,两人都说对方的门不是矩形,而自已的是矩形。
甲的理由是:
“我用直尺量这个门的两条对角线,发现它们的长度相等,所以我这个四边形门就是矩形”。
乙的理由是:
“我用角尺量我的门任意三个角,发现它们都是直角。
所以我这个四边形门就是矩形”。
根据它们的对话,你能肯定谁的门一定是矩形。
二、自主探究
1.自学课本P20-22的“交流与发现”,矩形有几种判定方法,
2.探究一:
(1)已知:
∠A=∠B=∠C=90°
求证:
四边形ABCD是矩形
证明:
(2)矩形的判定定理1有三个角是的四边形是矩形。
(3)已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E为CD中点,AE=BE,
求证:
四边形ABCD是矩形。
3.探究二
(1)已知:
在
ABCD中,AC=BD
求证:
四边形ABCD是矩形
证明:
(2)矩形的判定定理2对角线的平行四边形是矩形。
(3)如图,
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB是等边三角形,
求证:
四边形ABCD是矩形。
三、合作交流:
总结以上所作,我们可以得到矩形的判定方法:
(1)一般的四边形:
有三个角是的四边形是矩形
(2)平行四边形:
有一个角是的平行四边形是矩形
对角线的平行四边形是矩形
四、精讲点拨
1.议一议:
下列各句判定矩形的说法是否正确?
为什么?
(1)有一个角是直角的四边形是矩形;()
(2)有四个角是直角的四边形是矩形;()
(3)四个角都相等的四边形是矩形;()(4)对角线相等的四边形是矩形;()
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;()(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;()
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;()
(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;()
(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.()
2.(选择)下列说法正确的是().
(A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
(C)对角线互相平分的四边形是矩形(D)对角互补的平行四边形是矩形
3.如图 ,在△ABC中,∠C=90°, CD为中线,延长CD到点E,
使得DE=CD.连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形.
4.已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的内角平分线,
AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,连结DE,
求证:
DE=AC.
6.3特殊的平行四边形(第三课时)
设计人刘汝东
学习目标:
理解菱形的定义,掌握菱形的性质;能运用菱形的性质进行简单的计算与证明.
学习重点:
菱形的性质、判定的理解和掌握;
学习难点:
菱形的性质、判定的综合应用.
学习过程:
一、情境引入
(1)观察课本P23的三幅图形,你能发现我们熟悉的图形吗?
(2)这些平行四边形的邻边有何关系?
二、自主探究
自学课本P23-24的“交流与发现”,回答下列问题:
1.菱形的定义:
的平行四边形叫做菱形。
包含的意义:
(1)性质作用:
菱形
平行四边形
邻边相等
(2)判定作用:
平行四边形
邻边相等菱形
2.菱形是一个特殊的平行四边形,它特殊在
3.菱形的性质
共性:
(1)边:
菱形的对边
(2)角:
菱形的对角
(3)对角线:
菱形的对角线
特性:
(1)对称性:
菱形是图形,它的对称轴是.
(2)矩形的性质定理1:
菱形的四条边都(故上图中有个等腰三角形)
(3)矩形的性质定理2:
菱形的对角线
(4)菱形的对角线每一组对角①菱形的对角线具有双重身份和
②菱形对角线的交点到四条边的距离
5.观察上面的图形
相等的线段:
对
相等的角:
对
全等三角形:
对
直角三角形:
个
等腰三角形:
个
6.菱形的面积:
例如:
如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线
AC=6,BD=8,其面积为.
三、合作交流
1.菱形的两邻角之比为1:
2,如果它的较短对角线为3cm,则它的周长为().
A.8cmB.9cmC.12cmD.15cm
2.菱形具有而矩形不一定具有的性质是().
A.对边相等B.对角相等C.对角线互相相等D.对有线相等
3.能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为().
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.不存在
4.下列说法不正确的是().
A.菱形的对角线互相垂直B.菱形的对角线平分各内角
C.菱形的对角线相等D.菱形的对角线交点到各边等距离
5.菱形的邻角比为1:
5,它的高为2cm,则它的周长为_______.
6.在菱形ABCD中,AC=6,DB=8,则菱形的面积为.
7.菱形的周长是16,两个邻角之比为1:
2,则这个菱形较短的对角线长为.
8.如右图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,
AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,
连结DF,则∠CDF等于()
A.80°B.70°C.65°D.60°
9.如右图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,且BE=CE,AB=2.
求:
(1)∠BAD的度数;
(2)对角线AC的长及菱形ABCD的周长.
10.如图,在菱形ABCD中,AB=5,
∠BCD= 120°,则对角线AC等于()
A.20B.15C.10D.5
11.如图,菱形花坛DEFG的边长为6,∠E=60度,
其中由两个正六边形组成的图形的部分种花,
则种花部分的周长(粗线部分)为.
6.3特殊的平行四边形(第四课时)
设计人刘汝东
学习目的:
探究并掌握菱形的判定方法;会判定一个四边形或平行四边形是菱形;
学习重点:
菱形的判定方法及其应用
学习难点:
定理的证明方法及运用。
学习过程:
一、情境引入
1.想一想:
菱形和矩形分别比平行四边形多了哪些性质?
怎样判定一个四边形是菱形?
矩形
菱形
性质
1.四个角都是直角
1.四条边都相等
2.对角线相等
2.对角线互相垂直且平分一组对角
判定
1.有一个角是直角的平行四边形
2.三个角是直角的四边形
3.对角线相等的平行四边形
看看上表,大家可以猜到,我们就研究如何判定一个四边形是菱形的问题.
2、已知:
如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,
DE∥AC,CE∥BD.
四边形OCED是菱形吗?
试说明理由
二、自主探究
猜想1:
四条边都相等的四边形是菱形.
已知:
如图,四边形ABCD,AB=BC=CD=DA
求证:
四边形ABCD是菱形
(1)菱形的判定定理1:
四条边的四边形是菱形。
(2)如图,ΔABC为等腰三角形,把它沿底边BC翻折后,得到ΔDBC.
请你判断四边形ABDC的形状,并说出你的理由;
B
求证:
四边形ABCD是菱形
D
求证:
四边形ABCD是菱形
猜想2:
如果一个平行四边形的两条对角线相互垂直,那么这个平行四边形是菱形。
已知:
平行四边形ABCD中,对角线AC、BD互相垂直。
求证:
四边形ABCD是菱形.
(1)菱形的判定定理2:
对角线的平行四边形是菱形.
(2)思考:
用一长一短的两
根细木条,在它们的中点处固定一个小钉;做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋(如图
(1)),做成一个四边形,转动木条,
这个四边形什么时候变成菱形?
理由是:
三、合作交流总结以上所作,我们可以得到菱形的判定方法:
(1)一般的四边形:
四条边的四边形是菱形;
(2)平行四边形:
有一组邻边的平行四边形是菱形;
四、精讲点拨
对角线的平行四边形是菱形
1.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:
分别以A和B为圆心,大于
AB的长为半径画弧,两弧相交于C、D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是形,你判定的理由是:
.
2.
已知:
如图,AD平分∠BAC,DE∥AB,DF∥AC.
试判断四边形AFED的形状,并加以证明.
3.两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起,
他们重合的图形是什么形状,并加以证明.
4.已知:
如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE.
求证:
四边形AFCE是菱形;
6.3特殊的平行四边形(第五课时)
设计人刘汝东
学习目标:
探索并掌握正方形的概念及其特殊的性质。
学习重点:
正方形特殊特征与性质的探索过程。
学习难点:
数学说理能力的培养。
学习过程
一、做一做:
用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个.
问题:
什么样的四边形是正方形?
正方形定义:
有一组邻边,并且有一个角是的平行四边形叫做正方形.
二、
自主探究
由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
1.正方形的性质:
正方形的四条边,四个角,
两条对角线,并且互相
,每条对角线。
2.正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如图.
3.正方形的判定:
(1)邻边矩形是正
方
(2)对角线矩形是正方形;
(3)有
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