长沙中考数学专题训练4与函数有关的新定义问题6道.docx
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长沙中考数学专题训练4与函数有关的新定义问题6道
与函数有关的新定义问题
1.实数x、y若存在坐标(x,y)同时满足一次函数y=px+q和反比例函数y=,则二次函数y=px2+qx-k为一次函数和反比例函数的“共享”函数.
(1)试判断(需要写出判断过程):
一次函数y=-x+4和反比例函数y=是否存在“共享”函数?
若存在,写出它们的“共享”函数和实数对坐标;
(2)已知整数m、n、t满足条件:
t (3)若同时存在两组实数对坐标(x1,y1)和(x2,y2)使一次函数y=ax+2b和反比例函数y=-存在“共享”函数,其中实数a>b>c,a+b+c=0,令L=|-|,求L的取值范围. 解: (1)令-x+4=,解得x=1或x=3,y=-x+4和y=是“共享”函数,实数对坐,标为(1,3)和(3,1); (2)y=(1+n)x+2m+2与y=的“共享”函数是y=(1+n)x2+(2m+2)x-2018, 由题意得,y=(1+n)x+2m+2与y=的“共享”函数为y=(m+t)x2+(10m-t)x-2018, ∴,即, 又∵t ∴m=2; (3)y=ax+2b和y=-存在“共享”函数为y=ax2+2bx+c,则a、b、c满足, ,即 ∴-2<<-. L2=(-)2====4=4(++1)=4( )2+3, ∵-2<<-,∴3 2.对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数,理由如下: 设P(x,y)为y=x2+1上任意一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|, ∵x≥0,|x2+1|=x2+1≥1,∴d≥1.∴y=x2+1是一个幸福函数. (1)若点P在反比例函数y=的图象上,且它的幸福指数d=2,请直接写出所有满足条件的P点坐标; (2)一次函数y=-x+1是幸福函数吗? 请判断并说明理由; (3)若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,试求出m的取值范围. 解: (1)设点P的坐标为(m,), ∴d=|m|+||=2, 解得: m1=-1,m2=1, 经检验,m1=-1,m2=1是原分式方程的解, ∴满足条件的P点坐标为(-1,-1)或(1,1); (2)一次函数y=-x+1是幸福函数,理由如下: 设P(x,y)为y=-x+1上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|; x<0时,d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x>1; 当0≤x≤1时,d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1; 当x>1时,d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1>1. ∴对于y=-x+1上任意一点P(x,y),它的幸福指数d≥1恒成立, ∴一次函数y=-x+1是幸福函数; (3)设P(x,y)为y=x2-(2m+1)x+m2+m上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|, ∵y=x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)(x-m-1),m>0, ∴分x≤0、0<x<m、m≤x≤m+1、x>m+1考虑. ①当x≤0时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=-x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m-1)2-m-1, 当x=0时,d取最小值,最小值为m2+m, ∴m2+m≥1, 解得: m≥; ②0<x<m时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1≥1, ∵(x-m)2≥0, ∴m-1≥1, 解得: m≥2; ③当m≤x≤m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x-x2+(2m+1)x-m2-m=-(x-m-1)2+m+1, 当x=m时,d取最小值,最小值为m, ∴m≥1; ④当x>m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1>m≥1, ∴m≥1. 解得: 若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,m的取值范围为m≥2. 3.在平面直角坐标系中,设直线l的解析式为: y=kx+b(k≠0),当直线与一条曲线有且只有一个公共点时,我们称直线l与这条曲线“相切”,这个公共点叫做“切点”. (1)求直线l: y=-x+2与双曲线y=的切点坐标; (2)已知抛物线y=ax2+bx+c经过两点(-1,0)和(3,0),若直线l: y=x+2与抛物线相切,试求实数a的值; (3)已知直线l: y1=kx+m与抛物线y2=2x2+相切于点(,),设二次函数M: y3=ax2+bx+c(a、b、c为整数且a≠0),对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2.求二次数M的解析式. 解: (1)联立,得x2-2x+1=0,∴x=1,∴切点坐标为(1,1) (2)由题可知,抛物线解析式可表示为: y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 联立,得: ax2-(2a+1)x-3a-2=0 由抛物线和直线相切易知: a≠0且Δ=0, ∴Δ=(2a+1)2-4a×(-3a-2)=16a2+12a+1=0, 解得: a1=,a2=, (3)由题可知: 直线y1=kx+m和抛物线M都经过(,), ∴=+m,=++c①, ∴m=-, 联立得2x2-kx-+=0, ∴Δ=k2-4×2×(-)=0. 解得: k=2,∴m=-, ∴直线l1的解析式: y1=2x-, ∵对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2,对于一切实数x恒有: 2x-≤ax2+bx+c≤2x2+. 当x=0时,有-<c<,而c为整数,∴c=0②. 联立,得ax2+(b-2)x+c+=0. ∴Δ=(b-2)2-4a×(c+)=0, ∴b2-4b+4-4ac-a=0 ③, 联立①②③式得: a=b=1,c=0. 故二次函数M的解析式为: y3=x2+x. 4.已知y是关于x的函数,若其图象经过点P(t,t),则称点P为函数图象上的“bingo点”,例如: y=2x-1上存在“bingo点”P(1,1). (1)直线________(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”;双曲线y=上的“bingo点”是________; (2)若抛物线y=x2+(a+1)x-a2-a+2上有“bingo点”,且“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),求x+x的最小值; (3)若函数y=x2+(n-k+1)x+m+k-1的图象上存在唯一的一个“bingo点”,且当-2≤n≤1时,m的最小值为k,求k的值. 解: (1)y=x;(1,1)和(-1,-1); (2)设二次函数y=x2+(a+1)x-a2-a+2的“bingo点”为(x,x), ∴x=x2+(a+1)x-a2-a+2, ∴x2+ax-a2-a+2=0, ∴x1+x2=-a,x1·x2=-a2-2a+4, ∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=(-a)2-2×(-a2-2a+4)=(a+)2-, 又∵“bingo点”A、B(点A和点B可以重合), ∴Δ≥0,即(a)2-4··(-a2-a+2)≥0, ∴a≤-3-或a≥-3+, 当a=-3+时,x+x取最小值, ∴(x+x)min=-; (3)∵y=x2+(n-k+1)x+m+k-1只有一个“bingo点”,∴y=x2+(n-k+1)x+m+k-1与y=x只有一个交点, 则x2+(n-k)x+m+k-1=0有两个相同根, ∴Δ=b2-4ac=(n-k)2-(m+k-1)=0, 可得m=(n-k)2-k+1, 当k<-2时,n=-2,m取最小值,即(-2-k)2-k+1=k,则无解; 当-2≤k<1时,n=k,m取最小值,即-k+1=k,则k=; 当k≥1时,n=1,m取最小值,即(1-k)2-k+1=k,则k2-4k+2=0; ∴k1=2-(不合题意,舍去),k2=2+, 综上所述,k值为或2+. 5.已知y是关于x的函数,若其图象经过点P(t,2t),则称点P为函数图象上的“偏离点”.例如: 直线y=x-3上存在“偏离点”P(-3,-6). (1)在双曲线y=上是否存在“偏离点”? 若存在,请求出“偏离点”的坐标;若不存在,请说明理由; (2)若抛物线y=-x2+(a+2)x-a2-a+1上有“偏离点”,且“偏离点”为A(x1,y1)和B(x2,y2),求w=x+x-的最小值(用含k的式子表示); (3)若函数y=x2+(m-t+2)x+n+t-2的图象上存在唯一的一个“偏离点”,且当-2≤m≤3时,n的最小值为t,求t的值. 解: (1)存在.假设存在“偏离点”,根据题意得2x=,解得x1=,x2=-, 当x=时,y=;当x=时,y=-, ∴“偏离点”坐标为(,)或(-,-); (2)设抛物线上的“偏离点”坐标为(x,2x),代入抛物线得-x2+(a+2)x-a2-a+1=2x得-x2+ax-a2-a+1=0, ∵Δ=+2(-a2-a+1)≥0,∴a≤1, 又∵x1+x2=a,x1·x2=a2+2a-2, ∴x+x-=(x1+x2)2-2x1·x2-=a2-(4+)a+4,又∵抛物线开口向上,且对称轴为a=,∴若36+3k≥16,即k≥-,则当a=1时,w=x+x-最小值为-, 若36+3k<16,即k<-,则当a=时,x+x-最小值为-, 综上所述,w的最小值为; (3)将“偏离点”(x,2x)代入x2+(m-t+2)x+n+t-2=2x得: x2+(m-t)x+n+t-2=0, ∵该函数图象上存在唯一一个“偏离点”, ∴Δ=(m-t)2-4×(n+t-2)=0, 即n=m2-2mt+t2-t+2=(m-t)2-t+2, 又∵对称轴为m=t, ∴①若t≤-2,取m=-2时,有nmin=4+4t+t2-t+2=t,即t2+2t+6=0,∵Δ=4-4×1×6<0, 方程无解;②若-2 t=1,成立; ③若t≥3,取m=3时,有nmin=32-6t+t2-t+2=t, 即: t2-8t+11=0,解得t1=4+,t2=4-(舍), 综上所述,t=4+或t=1. 6.若y是关于x的函数,H是常数(H>0),若对于此函数图象上的任意两点(x1,y1),(x2,y2),都有|y1-y2|≤H,则称该函数为有界函数,其中满足条件的所有常数H的最小值,称 第6题图 为该函数的界高.如图所表示的函数的界高为4. (1)若函数y=(k>0)(-2≤x≤-1)的界高为6,则k=________; (2)若函数y=kx+1(-2≤x≤1)的界高为4,求k的值; (3)已知函数y=x2-2ax+3a(-2≤x≤1)的界高为,求a的值. 解: (1)12; 【解法提示】当-2≤x≤-1时,函数y=(k>0)中y随x的增大而减小,∴y1>y2,将x1=-2代入得y1==-,将x2=-1代入得y2==-k,∵|y1-y2|=6,∴--(-k)=6,解得k=12; (2)将x1=-2代入得y1=-2k+1; 将x2=1代入得y2=k+1, ∵|y1-y2|=4, ∴|-3k|=4,解得k=±; (3)①当a≥1时,将x1=-2,x2=1代入函数解析式得, y1=4+7a,y2=1+a, ∵|y1-y2|=,函数对称轴为x=a,在对称轴左侧,y随x的增大而减小, ∴3+6a=,解得a=, 又∵a≥1,故此种情况不成立; ②当-≤a<1时,将x1=-2,x2=a代入函数解析式得, y1=4+7a,y2=3a-a2, ∵|y1-y2|=, ∴a2+4a-=0, 解得a1=,a2=-(舍去), ∴a=; ③当-2≤a<-时,同理有x1=1时y值最大,x2=a时y值最小,将x1=1,x2=a代入函数解析式得, y1=1+a,y2=3a-a2, ∵|y1-y2|=, ∴a2-2a-=0, 解得a1=-,a2=(舍去), ∴a=-; ④当a<-2时,将x1=-2,x2=1代入函数解析式得, y1=4+7a,y2=1+a, ∵|y1-y2|=,在对称轴右侧,y随x的增大而增大, ∴-(3+6a)=, 解得a=-, 又∵a≤-2,故此种情况不成立, 综上所述,a=或a=-.
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