数学新学案同步人教A版必修一讲义第一章集合与函数概念13 132 第1课时 Word版含答案.docx

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数学新学案同步人教A版必修一讲义第一章集合与函数概念13132第1课时Word版含答案

1．3.2　奇偶性

第1课时　奇偶性的概念

学习目标

　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．

知识点一　函数奇偶性的几何特征

思考　下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？

关于原点对称的呢？

答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称．

梳理　一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．

知识点二　函数奇偶性的定义

函数奇偶性的概念：

（1）偶函数：

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．其实质是函数f（x）上任一点（x，f（x））关于y轴的对称点（－x，f（x））也在f（x）图象上．

（2）奇函数：

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．其实质是函数f（x）上任一点（x，f（x））关于原点的对称点（－x，－f（x））也在f（x）的图象上．

知识点三　奇（偶）函数的定义域特征及奇（偶）函数的性质

1．奇（偶）函数的定义域关于原点对称．

2．重要性质

（1）奇函数在区间[a，b]和[－b，－a]（b>a>0）上有相同的单调性．

（2）偶函数在区间[a，b]和[－b，－a]（b>a>0）上有相反的单调性．

1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．（×）

2．若f（x）是奇函数，f

（1）＝2，则f（－1）＝－2.（√）

3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．（√）

4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．（√）

类型一　证明函数的奇偶性

例1　

（1）证明f（x）＝

既非奇函数又非偶函数；

（2）证明f（x）＝（x＋1）（x－1）是偶函数；

（3）证明f（x）＝

＋

既是奇函数又是偶函数．

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断简单函数的奇偶性

证明　

（1）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f（x）＝

既非奇函数又非偶函数．

（2）函数的定义域为R，因为函数f（x）＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，又因为f（－x）＝（－x）2－1＝x2－1＝f（x），所以函数为偶函数．

（3）定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f（x）＝0，所以f（－x）＝f（x）＝－f（x）＝0，故函数f（x）＝

＋

既是奇函数又是偶函数．

反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．

跟踪训练1　

（1）证明f（x）＝（x－2）

既非奇函数又非偶函数；

（2）证明f（x）＝x|x|是奇函数．

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断简单函数的奇偶性

证明　

（1）由

≥0，得定义域为[－2,2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．

（2）函数的定义域为R，因为f（－x）＝（－x）|－x|＝－x|x|＝－f（x），所以函数为奇函数．

类型二　奇偶性的应用

命题角度1　奇（偶）函数图象的对称性的应用

例2　定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示．

（1）画出f（x）的图象；

（2）解不等式xf（x）>0.

考点　函数图象的对称性

题点　中心对称问题

解　

（1）先描出（1,1），（2,0）关于原点的对称点（－1，－1），（－2,0），连线可得f（x）的图象如图．

（2）xf（x）>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf（x）>0的解集是（－2,0）∪（0,2）．

引申探究　

把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．

解　

（1）f（x）的图象如图所示：

（2）xf（x）>0的解集是（－∞，－2）∪（0,2）．

反思与感悟　可以用奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．

跟踪训练2　已知奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．

（1）画出在区间[－5,0]上的图象；

（2）写出使f（x）<0的x的取值集合．

考点　函数图象的对称性

题点　中心对称问题

解　

（1）如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.

分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，

再用光滑曲线连接即得．

（2）由

（1）图可知，当且仅当x∈（－2,0）∪（2,5）时，f（x）<0.

∴使f（x）<0的x的取值集合为（－2,0）∪（2,5）．

命题角度2　利用函数奇偶性的定义求值

例3　若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

考点　函数奇偶性的应用

题点　由二次函数为偶函数求参数值

答案　

　0

解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝

，f（x）＝

x2＋bx＋b＋1.

又f（x）为偶函数，

所以f（－x）＝

（－x）2＋b（－x）＋b＋1＝f（x）＝

x2＋bx＋b＋1对定义域内任意x恒成立，

即2bx＝0对任意x∈

恒成立，

所以b＝0.综上，a＝

，b＝0.

反思与感悟　函数奇偶性的定义有两处常用：

①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，恒有f（－x）＝f（x）（或－f（x））成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值．

跟踪训练3　已知函数f（x）＝

为奇函数，则a＋b＝________.

考点　函数奇偶性的应用

题点　其他已知函数奇偶性求参数值问题

答案　0

解析　由题意知

则

　解得

当a＝－1，b＝1时，经检验知f（x）为奇函数，故a＋b＝0.

1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是（　　）

考点　函数的奇偶性概念

题点　函数奇偶性概念的理解

答案　B

2．函数f（x）＝x（－1

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断简单函数的奇偶性

答案　C

3．已知函数y＝f（x）＋x是偶函数，且f

（2）＝1，则f（－2）＝________.

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数值

答案　5

解析　函数y＝f（x）＋x是偶函数，

∴x＝±2时函数值相等．

∴f（－2）－2＝f

（2）＋2，∴f（－2）＝5.

4．若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为偶函数，则m的值是________．

考点　函数奇偶性的应用

题点　由二次函数为偶函数求参数值

答案　2

解析　∵f（x）为偶函数，

∴对于任意x∈R，有f（－x）＝f（x），

即（m－1）（－x）2＋（m－2）（－x）＋（m2－7m＋12）

＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12），

∴2（m－2）x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.

5．判断函数f（x）＝x＋

（a为常数）的奇偶性，并证明你的结论．

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断简单函数的奇偶性

解　f（x）为奇函数，证明如下：

f（x）的定义域为{x|x≠0}．

对于任意x≠0，f（－x）＝－x＋

＝－

＝－f（x）．

∴f（x）为奇函数．

1．两个定义：

对于f（x）定义域内的任意一个x，如果都有f（－x）＝－f（x）⇔f（－x）＋f（x）＝0⇔f（x）为奇函数；如果都有f（－x）＝f（x）⇔f（－x）－f（x）＝0⇔f（x）为偶函数．

2．两个性质：

函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．

3．证明一个函数是奇函数，必须对f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x）．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.

一、选择题

1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（　　）

A．－1B．1C．0D．2

考点　函数奇偶性的应用

题点　由奇偶函数定义域的对称性求参数值

答案　A

解析　因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，

根据奇函数的定义域关于原点对称，

所以a与b有一个等于1，一个等于－2，

所以a＋b＝1＋（－2）＝－1，

故选A.

2．（2017·葫芦岛检测）下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是（　　）

考点　函数图象的对称性

题点　中心对称问题

答案　B

解析　A，D不是函数；C不关于原点对称．

3．f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（　　）

A．f（－x）＋f（x）＝0B．f（－x）－f（x）＝－2f（x）

C．f（－x）·f（x）≤0D.

＝－1

考点　函数的奇偶性概念

题点　函数奇偶性概念的理解

答案　D

解析　由于f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），①

由此可推A，B，C正确，

由于f（－x）可能为0，由①不能推出D.

4．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）等于（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数值

答案　A

解析　∵f（x）是奇函数，

当x≤0时，f（x）＝2x2－x，

∴f

（1）＝－f（－1）＝－[2×（－1）2－（－1）]＝－3.

5．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（　　）

A．f（x）＋|g（x）|是偶函数

B．f（x）－|g（x）|是奇函数

C．|f（x）|＋g（x）是偶函数

D．|f（x）|－g（x）是奇函数

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断抽象函数的奇偶性

答案　A

解析　由f（x）是偶函数，可得f（－x）＝f（x），

由g（x）是奇函数可得g（－x）＝－g（x），

故|g（x）|为偶函数，

∴f（x）＋|g（x）|为偶函数．

6．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）

A．f（x）g（x）是偶函数

B．|f（x）|g（x）是奇函数

C．f（x）|g（x）|是奇函数

D．|f（x）g（x）|是奇函数

答案　C

解析　A中，令h（x）＝f（x）·g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－h（x），∴h（x）是奇函数，A错；

B中，令h（x）＝|f（x）|g（x），则h（－x）＝|f（－x）|g（－x）＝|－f（x）|g（x）＝|f（x）|g（x）＝h（x），∴h（x）是偶函数，B错；

C中，令h（x）＝f（x）|g（x）|，则h（－x）＝f（－x）·|g（－x）|＝－f（x）|g（x）|＝－h（x），∴h（x）是奇函数，C正确；

D中，令h（x）＝|f（x）·g（x）|，则h（－x）＝|f（－x）·g（－x）|＝|－f（x）·g（x）|＝|f（x）·g（x）|＝h（x）．

∴h（x）是偶函数，D错．

7．函数f（x）＝|x＋1|－|x－1|为（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数也是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断简单函数的奇偶性

答案　A

解析　f（x）的定义域为R，

对于任意x∈R，f（－x）＝|－x＋1|－|－x－1|

＝|x－1|－|x＋1|＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

又f（－1）＝－2，f

（1）＝2，f（－1）≠f

（1），

∴f（x）不是偶函数．

8．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（3）＝0，则不等式

>0的解集为（　　）

A．（－3,0）∪（3，＋∞）

B．（－3,0）∪（0,3）

C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

D．（－∞，－3）∪（0,3）

考点　单调性与奇偶性的综合应用

题点　利用奇偶性、单调性解不等式

答案　A

解析　∵f（x）为奇函数，f（3）＝0，

∴f（－3）＝0.

又∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴f（x）在（－∞，0）上也为增函数．

由

＝f（x）>0，

①当x>0时，得f（x）>f（3）＝0，∴x>3；

②当x<0时，得f（x）>f（－3）＝0，∴－3

综上可得，原不等式的解集为（－3,0）∪（3，＋∞）．

二、填空题

9．已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是________．

考点　函数图象的对称性

题点　轴对称问题

答案　0

解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.

10．若函数f（x）＝

＋

为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为________．

考点　函数奇偶性的应用

题点　其他已知函数奇偶性求参数值问题

答案　a>1

解析　∵函数f（x）＝

＋

为偶函数且非奇函数，

∴f（－x）＝f（x）且f（－x）≠－f（x）．

又∵

∴a≥1.

当a＝1时，函数f（x）＝

＋

为偶函数且为奇函数，

故a>1.

11．函数f（x）＝

为________函数．（填“奇”或“偶”）

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断分段函数的奇偶性

答案　奇

解析　定义域关于原点对称，且

f（－x）＝

＝

＝－f（x），

所以f（x）是奇函数．

三、解答题

12．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3＋x5；

（2）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|；

（3）f（x）＝

.

考点　函数的奇偶性判定与证明

题点　判断简单函数的奇偶性

解　

（1）函数的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数．

（2）f（x）的定义域是R.∵f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），∴f（x）是偶函数．

（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数．

13．若函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．

考点　函数奇偶性的应用

题点　其他已知函数奇偶性求参数值问题

解　∵函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），

即（－x）2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，

∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，

∴a＝0.

四、探究与拓展

14．已知函数f（x）＝

，若f（a）＝

，则f（－a）＝________.

考点　函数图象的对称性

题点　中心对称问题

答案　

解析　根据题意，f（x）＝

＝1＋

，而h（x）＝

是奇函数，故f（－a）＝1＋h（－a）＝1－h（a）＝2－[1＋h（a）]＝2－f（a）＝2－

＝

.

15．已知函数f（x）＝

是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

考点　函数奇偶性的应用

题点　其他已知函数奇偶性求参数值问题

解　

（1）因为f（x）为奇函数，

所以f（－1）＝－f

（1），即1－m＝－（－1＋2），

解得m＝2.

经检验当m＝2时函数f（x）是奇函数．

所以m＝2.

（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，

结合f（x）的图象（图略）知

所以1＜a≤3，

故实数a的取值范围是（1,3]．