数学建模与数学实验课后习题答案.docx

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数学建模与数学实验课后习题答案

P59

4•学校共1002名学生，237人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生要组织一个10人的委员会，使用Q值法分配各宿舍的委员数。

解:

设P表示人数，N表示要分配的总席位数。

i表示各个宿舍（分别取A,B,C），pi表

示i宿舍现有住宿人数，ni表示i宿舍分配到的委员席位。

首先，我们先按比例分配委员席位。

23710

A宿舍为:

na==2.365

1002

333"0

B宿舍为：

nB=3.323

1002

432X0

C宿舍为：

nC=4.311

1002

现已分完9人，剩1人用Q值法分配。

经比较可得，最后一席位应分给A宿舍。

所以，总的席位分配应为：

A宿舍3个席位，B宿舍3个席位，C宿舍4个席位。

商人们怎样安全过河

mm

賤縣臓

傻麴删舫紬削＜I11山名畝

臥蹄峨颂

禮训鋤嫌邂韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展縣確牡GH錚俩軸飙奸比臥鋪謎smm彌

鯉械

即第紘麵觎岸締熾x^M曲颁M删牘HX…

佛讪卜过樹蘇卜允棘髒合岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口於广歎煙船上觸人敦%vOjU;

xMmm朗“…

他1曲策D咿川|thPl,2卜允隸策集合刼為和啊母紳轉多步贱就匚叫=1入“山使曲并按

腿翻律由汩3』和騒側），

模型求解-穷举法〜编程上机■图解法

S={（x?

jOIx=o,j-0,1,2,3;

x=3?

j=0,1,2,3；x=»*=1,2}

J

状态$=（xy¥）~16个格点允许状态〜U）个。

点,允许决策〜移动1或2格；k奇）左下移；&偶，右上移.

右，…，必I给出安全渡河方案评注和思考

［廿

rfn

片十i

rfl

123x

规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况

由上题可求：

4个商人，4个随从安全过河的方案。

解：

用最多乘两人的船，无法安全过河。

所以需要改乘最多三人乘坐

的船。

如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对

岸回来。

商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。

总共需要9

P60

液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差△P与下列变量

有关：

管径d,p,v,l,卩,管壁粗糙度△，试求△P的表达式

解：

物理量之间的关系写为为p=d,「,v,l,~u。

U-l"m,v^LT’,^-L-LJMTJ,

各个物理量的量纲分别为

4=0是等价的，所以△P的表达式为:

l-pI-l2mt

-

1

-3

1

1

-1

2

01

A3>7

=

0

1

0

0

11

11

0

0

0

-1

0

-1

-3

0_

其中

Ay

二

0解得

G1

•1

-2

10

0

0）T

=（0

-i

-10

1

0

0T

=（0

-1

-30

0

1

0$

=（0

0

0

00

01

T

所以

昭1=

:

d'PWi

兀2

—

兀3

y2

y3

y4

yi

因为fd,「,v,l,d：

p=0与F,，二

△是--个无量纲量。

P」v」Ap兀4=△

Ap=Pv呼（兀」2}

P77

1.在一块边长为6m的正方形空地上建造一个容积为50m3，深5m的长方体无盖水池，如

果池底和池壁的造价每平方米分别为137元和100元，那么水池的最低总造价为多少元？

设:

建立优化模型。

v表示为水池容积，h表示为水池深度，C1表示水池池底每平方米造价,

C2表示水池池壁每平方米造价，Z表示总造价，x表示池底长度，y表示池底宽度。

解:

建立模型：

Z=VG・C22h（xy），其中x_5，x岂6。

h3

代入数值，可化简为:

Z=13701000x10000，（-<6）

x3

模型求解：

使用matlab编程求解可得：

functionf=fun（x）

f=1370+1000*x+10000/x;

end

x=5/3:

0.1:

6;

fplot（'fun',[5/3,6]）

[x,fval]=fminbnd（'fun',5/3,6）

A=vpa（fval,6）

其中a的结果为A=（sym）7694.56

所以水池的最低总造价为7694.56元

2.

则该如何

对边长为2m的正方形铁板，在4个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，剪使水槽的容积最大？

X表示剪去的正方体的边长。

设:

建立优化模型。

v表示体积，I表示正方体的边长,解:

建立模型：

v=（l-2X）2.X，其中x0，x:

:

：

1。

代入数值，可化简为：

v=4x‘_8x2•4x。

其中（0：

：

：

x:

:

1）。

模型求解：

使用matlab编程求解可得

functionf=fun（x）f=-（4*xA3-8*xA2+4*x）;endx=0:

0.01:

1;

fplot（'fun',[0:

1]）

[x,fval]=fminbnd（'fun',0:

1）a=vpa（x,6）

b=vpa（fval,6）

其中a与b的值分别为a=0.333320，b=-0.592593

所以水槽的容积最大0.592593立方米。

3.生产某种电子原件，如果生产一件合格品，可获利200元，如果生产一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是p=3x

4x+37

（xN）。

（1）、将该产品的日盈利额t（元）表示为日产量x的函数

（2）、为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？

设:

建立优化模型。

x表示日生产量。

Ci表示为生产一件合格品的获利金额。

C2表示为生

产一件次品损失的金额。

t表示为日盈利额。

解:

建立模型：

t=6x（1—p）C2xp。

代入数值，可化简为

t=200x-300・3x2。

4x+37

模型求解：

使用matlab编程求解可得：

functionf=fun（x）

f=-（200*x-900*xA2/（4*x+37））;

end

x=0:

100;

fplot（'fun',[0,100]）

[x,fval]=fminbnd（'fun',0,100）

其中的结果为：

x=18.5000,fval=-925.0000;

1某饲养场用n种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对m种营养成分有一个最低

标准，即对i=1,2，…，m,要求第i种营养成分在饲料中的含量不少于b,若每单位的第j

种原料中含第i种营养成分的量为ay,第j种原料的单价为q,问应如何配制饲料才能是成本最低？

解：

设原料中j的量为Xj,Cj为第j种原料的单价，bj为第i种营养成分在饲料中的含量的最低值,z为配制饲料的最低成本。

目标函数为：

n

Minz=二XjCj

j弓

n

S.t.'aij-b，i=1,2,3，…m

j土

xj_0,j=1,2,3,...n

2、拟分配甲，乙，丙，丁4人去做4项工作，每人做且仅做一项。

他们做各自工作的御用天数见下表，应如何分配才能是总用工天数最少？

天数

i——n'工作

工人

1

2

3

4

甲「

10

9

7

8

乙

5

8

7

7

丙

5

4

6

5

丁

2

3

4

5

解:

设i=1,2,3,4分别对应甲乙丙丁，j=1,2,3,4分别对应工作1,2,3,4，其中x,=1表示第i名工人做了第j分工作，舛-0表示第i名工人没做第j分工作，cij表示第i名工人做了第j分工作的天数，z表示为总用工天数的最小值。

目标函数为：

44

Minz八、Xj■-Cij

j=1i=1

4

S.t._Xij=1,j~1,2,3,4

i±

4

二Xij=1,i=1,2,3,4

jT

XjE（0,1）

3、某校经预赛选出A,B,C,D4名学生。

将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛，此次竞赛的4门功课考试将在同一时间进行，因而每人只能参加一门比赛，比赛结果将以团队

总分计名次（不计个人名次）。

设下表是4名学生选拔时的成绩，应如何组队较好？

课程

学生

数学

物理

化学

外语

A

90

95

78

83

B

85

89

73

80

C

93

91

88

79

D

79

85

84

87

解:

设i=1,2,3,4分别分别对应同学A,B,C,D，j=1,2,3,4分别对应数学，物理，化学，外语，

其中Xj=1表示选了第i名同学的第j门课程，Xj=0表示不选择第i名同学的第j门课程，

Cij表示第i名同学做了第j门功课的成绩，z表示为成绩之和的最大值。

目标函数为：

44

Maxz='、xij■-cij

j1iW

4

S.t.xij=1,j=1,2,3,4

i1

4

二xij~1,i-1,2,3,4

jT

Xj€（0,1）

8、要从宽度分别为3m和5m的B1型和B2型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切

割出宽度分别为1.5m，2.1m和2.7m的A1型、A2型和A3型3种卷纸3000m，10000m

和6000m。

如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少？

解:

找出切割的各种方案；

万案

标准卷纸类型

1.5

2.1

2.7

余料

1

B1

2

0

0

0

2

0

1

0

0.9

3

0

0

1

0.3

4

B2

3

0

0

0.5

5

1

1

0

1.4

6

1

0

1

0.8

7

0

2

0

0.8

8

0

1

1

0.2

设Xi,X2….X8分别表示方案1至U方案8,z表示剩下的余料面积。

目标函数为：

Minz=0.9*x20.3*x30.5*x41.4*x50.8*x60.8*x70.2*x8

S.t1.5*（2*x13*x4x5x6）_3000

2.1*（x2x2*x7x8）_10000

2.7*（X3X6X8）亠6000

X1,X2，…X8—0

9、某储蓄所每天的营业时间是9:

00--17:

00。

根据经验，每天不同时间段所需要的服务员人

数见表5.27。

表5.27不同时间段所需要的服务员数量

时间段/h

9-10

10-11

11-12

12-13

13-14

14-15

15-16

16-17

服务员人数

4

3

4

6

5

6

8

8

储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100元，从9:

00--17:

00工作，

但12:

00--14:

00之间必须安排1h的午餐时间。

储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务

员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬40元。

该储蓄所应如何雇佣全时和半时服务员？

如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？

如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？

解:

设雇佣的全日制服务员为a人，在12:

00到13:

00吃饭的全日制服务员为b人，在13:

00

到14:

00吃饭的全日制服务员为c人。

X1,X2,X3,X4,X5分别表示9点，10点，11,点，12点，

13点上班的半日制服务员人数，z表示雇佣的最少费用。

目标函数为：

Minz=100*a40*（x1x2x3x4x5）

S.ta捲_4

ax1x2-3

aX1X2X3-4

cx1x2x3x4-6

bX2X3X4X5-5

ax3X4X5—6

ax4X5丄8

ax5二8

x1x2x3x4x5乞3

a二bc

P153

4•某工厂生产两种标准件，A种标准件每个可获利0.3元，B中标准件每Xi个可获利0.15元。

若该厂仅生产一种标准件，每天可生产A种标准件800个或B种标准件1200个，但A

种标准件还需要某种特殊处理，每天最多处理600个，A,B标准件最多每天包装1000个。

该厂应如何安排生产计划，才能使每天获利最大？

解:

先设：

x1为生成标准件A的件数，X2为生成标准件B的件数，X3为特殊处理的标准件A的件数。

z为每天的获利。

建立模型：

Maxz=0.3x30.15x2

S.t捲_800

x2<1200

x3乞600

X3乞为

x2x3乞1000

7.已知某厂3名工人生产5种产品的有关参数见下表:

原料

单位消耗

产品

A

B

C

D

E

限额/kg

甲

0.1

0

0.2

0.3

0.1

600

乙

0.2

0.2

0.1

0

0.3

500

丙

0

0.3

0

0.2

0.1

300

单价/元

4

3

6

5

8

（1）、求最优生产方案；

（2）、根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案。

（3）、因E滞销，计划停产，求相应生产方案。

（4）、根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案。

（5）、若限定原料价需要剩余至少50kg，求相应的生产方案。

（6）、若限定生产A至少1000件，生产B至少200件，求相应生产方案。

解:

设：

Xi为生产的产品A的件数，X2为生产的产品B的件数，X3为生产的产品C的件数,

X4为生产的产品D的件数，X5为生产的产品E的件数。

z为工厂的获利。

（1）、建立模型：

MaxZ=4*捲+3*x2+6*x3+5*X4+8*X5

S.t0.1*x100.2*x30.3*x40.1*x5_600

0.2*x10.2*x20.1*x300.3*x5_500

（2）、建立模型：

Max

00.3*x200.2*x40.1*x5_300

=4*x13*x26*x35*x48*x5

S.t0.1*x100.2*x30.3*x40.1*x5乞600

0.2*x-i0.2*x20.1*x300.3*x5_500

00.3*X200.2*X40.1*X5_300

捲_500

（3）、建立模型:

Maxz=4*禺十3*x2+6*x3+5*沧

S.t0.1*x100.2*x30.3*x4乞600

0.2*x,0.2*x20.1*x30<500

（4）、建立模型：

Max

00.3*x200.2*x4乞300

=4*x13*x26*x35*x48*X5

S.t0.1*x100.2*x30.3*x40.1*x^l600

0.2*x10.2*x20.1*x300.3*x5乞500

00.3*X200.2*X40.1*X5冬300

x3-1640

（5）、建立模型:

Maxz=4*x^3*x2+6*x3+5*x^+8*x

S.t0.1*论00.2*x30.3*x40.1*x5_550

0.2*Xi0.2*X20.1*X300.3*X5_500

00.3*X200.2*X40.1*X5_300

（6）、建立模型：

Maxz=4*x<|+3*乂2+6*乂3+5*人+8*Xg

S.t0.1*x100.2*x30.3*x40.1*x5_600

0.2*x-i0.2*x20.1*x300.3*x5_500

00.3*X200.2*X40.1*X5_300

捲_1000

X2一200

11.某公司将甲、乙、丙、丁4种不同含硫量的液体原料混合生产A,B两种产品。

按照

生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料

丙混合生产A、B。

已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3%，1%，2%，1%,进货价

格分别为6,16,10,15（千元/t）；产品A、B的含硫量本别不能超过2.5%，1.5%，售价分别

为9,15（千元/t）。

根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50T，产品A、B的市场需求分别为100t，200t。

应如何安排生产？

解:

设:

i为原料甲乙丙丁，表示为i=1,2,3,4。

j为产品A,B，表示为j=1,2。

z表示为公司盈利。

建立模型：

442222

Maxz=9*二知15*二Xi2-6*二勺T6八x?

jT0*二X3jT5八

i=1i4jzljdj=1jd

4

S.t0.03*X110.01*X210.02*X310.01*X4^0.025八心

iW

4

0.03*X120.01*X220.02*X320.01*X42^0.015*'Xi2

id

X41X42-50

Xii_100

i4

4

二Xj2—200

i4

P205

1、1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分

析了它含C14的量约为大气中的0.7757倍，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？

已知

14

C的半衰期为5730年。

解:

设:

t为死后年数，y为C14的量。

建立微分方程模型:

dy=y

dt一5730

解得：

在带入初值得:

当y=0.7757*y。

求得t=1455.359。

所以该女尸的下葬年代因为：

公元517年左右。

2、表7.5是美国1790~1980年每隔10年的人口记录。

年份

1790

1800

1810

1820

1830

1840

1850

人口（"06）

3.9

5.3

7.2

9.6

12.9

17.1

23.2

年份

1860

1870

1880

1890

1900

1910

1920

人口（x106）

31.4

38.6

50.2

62.9

76.0

92.0

106.5

年份

1930

1940

1950

1960

1970

1980

人口（x106）

123.2

131.7

150.7

179.3

204.0

226.5

参照油气产量和可采储量的预测问题，用这些数据检验

Malthus人口指数增长模型和

Logistic模型，根据检验结果进一步讨论人口模型的改进。

解：

模型一：

Malthus人口指数增长模型的假设:

1人口的增长率为常数，记为r

2、记时刻t的人口为x（t），初始时刻的人口为X。

模型建立:

微分方程为：

dt

x（0）=Xo

模型二：

Logistic模型人口阻滞增长模型的假设:

1人口增长率是当时人口数x的递减函数r（x）

2、Xm表示资源资源和环境条件下的最大人口容量

3、r表示固有增长率

模型建立:

dx"（1二）x

Xm

dt

用r（x）代替Malthus人口指数增长模型中的r:

A（0）=x。

求方程的解为：

Xm

x（t）二x

1（巫-1）e»

X0