高中数学解三角形有问题详解.docx
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高中数学解三角形有问题详解
解三角形
一.选择题(共20小题)
1.(2015•二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的周长是( )
A.
18
B.
19
C.
16
D.
17
2.(2015•二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的周长是( )
A.
17
B.
19
C.
16
D.
18
3.(2014•模拟)在△ABC中,b2﹣a2﹣c2=ac,则∠B的大小( )
A.
30°
B.
60°
C.
120°
D.
150°
4.(2013•)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
不确定
5.(2013•)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( )
A.
B.
C.
D.
6.(2013•二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°,B=105°,a=1.则c=( )
A.
﹣1
B.
.
C.
.
D.
.2
7.(2013•模拟)在钝角△ABC中,已知AB=,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.
D.
8.(2013•一模)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为( )
A.
B.
3
C.
D.
7
9.(2013•浦东新区三模)已知△ABC中,AC=2,BC=2,则角A的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
10.(2012•)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,,则AC=( )
A.
B.
C.
D.
11.(2012•天河区三模)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
A.
30°
B.
45°
C.
135°
D.
45°或135°
12.(2010•)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=( )
A.
﹣
B.
C.
﹣
D.
13.△ABC的角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列,则的取值围是( )
A.
(0,+∞)
B.
(0,2+)
C.
(1,+∞)
D.
(1,2+)
14.(2014•)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为( )
A.
﹣
B.
C.
1
D.
15.(2014•三模)在△ABC中,若,则∠B等于( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
16.(2014•萧山区模拟)在锐角△ABC中,若C=2B,则的围( )
A.
B.
C.
(0,2)
D.
17.(2014•模拟)在△ABC中,如果,B=30°,那么角A等于( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
120°
18.(2014•广西模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠A:
∠B=1:
2,且a:
b=1:
,则cos2B的值是( )
A.
﹣
B.
C.
﹣
D.
19.(2014•鄂尔多斯模拟)在△ABC中,∠A=60°,b=1,△ABC的面积为,则边a的值为( )
A.
B.
C.
D.
3
20.(2014•文登市二模)△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+csinC+asinC=bsinB,则∠B( )
A.
B.
C.
D.
二.解答题(共10小题)
21.(2014•)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
22.(2014•东城区一模)设△ABC的角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.
23.(2014•)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.
24.(2014•)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
25.(2014•兴安盟一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0.
(Ⅰ)若b=7,a+c=13求此三角形的面积;
(Ⅱ)求sinA+sin(C﹣)的取值围.
26.(2014•模拟)设△ABC中的角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且,b=2.
(Ⅰ)当时,求角A的度数;
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.
27.(2014•模拟)三角形ABC中,角A,B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数列,且sinB+sin(A﹣C)=2sin2C.
(1)求角B的余弦值;
(2)若b=,求△ABC的面积.
28.(2014•)△ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:
sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
29.(2014•)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.
(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.
30.(2014•启东市模拟)在△ABC中,A,B,C为三个角a,b,c为三条边,,且.
(Ⅰ)判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若,求的取值围.
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.(2015•二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的周长是( )
A.
18
B.
19
C.
16
D.
17
考点:
余弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
利用余弦定理列出关系式,把a,c,cosB的值代入求出b的值,即可确定出三角形ABC周长.
解答:
解:
∵△ABC中,a=3,c=8,B=60°,
∴b2=a2+c2﹣2accosB=9+64﹣24=49,即b=7,
则△ABC周长为3+8+7=18,
故选:
A.
点评:
此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
2.(2015•二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的周长是( )
A.
17
B.
19
C.
16
D.
18
考点:
余弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
利用余弦定理列出关系式,将a,b及cosB的值代入,得到关于c的方程,求出方程的解即可得到c的值.
解答:
解:
∵a=3,c=9,B=60°,∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,即:
b2=9+64﹣24,即b=7,
则a+b+c=18
故选:
D.
点评:
此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
3.(2014•模拟)在△ABC中,b2﹣a2﹣c2=ac,则∠B的大小( )
A.
30°
B.
60°
C.
120°
D.
150°
考点:
余弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
利用余弦定理表示出cosB,把已知等式变形后代入计算求出cosB的值,即可确定出B的度数.
解答:
解:
∵在△ABC中,b2﹣a2﹣c2=ac,即a2+c2﹣b2=﹣ac,
∴cosB==﹣,
则∠B=150°,
故选:
D.
点评:
此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
4.(2013•)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
不确定
考点:
正弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1,可得A=,由此可得△ABC的形状.
解答:
解:
△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,
即sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形,
故选B.
点评:
本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.
5.(2013•)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( )
A.
B.
C.
D.
考点:
正弦定理.菁优网所有
专题:
计算题;解三角形.
分析:
利用正弦定理可求得sinA,结合题意可求得角A.
解答:
解:
∵在△ABC中,2asinB=b,
∴由正弦定理==2R得:
2sinAsinB=sinB,
∴sinA=,又△ABC为锐角三角形,
∴A=.
故选D.
点评:
本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题.
6.(2013•二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°,B=105°,a=1.则c=( )
A.
﹣1
B.
.
C.
.
D.
.2
考点:
正弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
由已知可先求C,然后结合正弦定理可求
解答:
解:
∵A=30°,B=105°,
∴C=45°
∵a=1.
由正弦定理可得,
则c===
故选B
点评:
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用,属于基础试题
7.(2013•模拟)在钝角△ABC中,已知AB=,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
正弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
利用余弦定理列出关系式,把c,b,以及cosB的值代入求出a的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积.
解答:
解:
∵在钝角△ABC中,已知AB=c=,AC=b=1,∠B=30°,
∴由余弦定理得:
b2=a2+c2﹣2accosB,即1=a2+3﹣3a,
解得:
a=1或a=2,
当a=1时,a=b,即∠A=∠B=30°,此时∠C=120°,满足题意,△ABC的面积S=acsinB=;
当a=2时,满足a2=c2+b2,即△ABC为直角三角形,不合题意,舍去,
则△ABC面积是.
故选:
B.
点评:
此题考查了正弦定理,余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
8.(2013•一模)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为( )
A.
B.
3
C.
D.
7
考点:
余弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
由△ABC的面积S△ABC=,求出AC=1,由余弦定理可得BC,计算可得答案.
解答:
解:
∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×,
∴AC=1,
△ABC中,由余弦定理可得BC==,
故选A.
点评:
本题考查三角形的面积公式,余弦定理的应用,求出AC,是解题的关键.
9.(2013•浦东新区三模)已知△ABC中,AC=2,BC=2,则角A的取值围是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
余弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
知道两边求角的围,余弦定理得到角和第三边的关系,而第三边根据三角形的构成条件是有围的,这样转化到角的围.
解答:
解:
利用余弦定理得:
4=c2+8﹣4ccosA,即c2﹣4cosAc+4=0,
∴△=32cos2A﹣16≥0,
∵A为锐角
∴A∈(0,],
故选:
C.
点评:
此题属于解三角形题型,解题思路为:
利用余弦定理解答三角形有解问题,知道两边求角的围,余弦定理得到角和第三边的关系,而第三边根据三角形的构成条件是有围的,这样转化到角的围,有一定难度.
10.(2012•)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,,则AC=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
正弦定理.菁优网所有
专题:
计算题.
分析:
结合已知,根据正弦定理,可求AC
解答:
解:
根据正弦定理,,
则
故选B
点评:
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题
11.(2012•天河区三模)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
A.
30°
B.
45°
C.
135°
D.
45°或135°
考点:
正弦定理的应用.菁优网所有
专题:
计算题.
分析:
先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值,进而求出B,再由角B的围确定最终答案.
解答:
解:
由正弦定理得,
∴B=45°或135°
∵AC<BC,
∴B=45°,
故选B.
点评:
本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.正弦定理在解三角形中有着广泛的应用,要熟练掌握.
12.(2010•)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=( )
A.
﹣
B.
C.
﹣
D.
考点:
正弦定理.菁优网所有
分析:
根据正弦定理先求出sinB的值,再由三角形的边角关系确定∠B的围,进而利用sin2B+cos2B=1求解.
解答:
解:
根据正弦定理可得,
,
解得,
又∵b<a,
∴B<A,故B为锐角,
∴,
故选D.
点评:
正弦定理可把边的关系转化为角的关系,进一步可以利用三角函数的变换,注意利用三角形的边角关系确定所求角的围.
13.△ABC的角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列,则的取值围是( )
A.
(0,+∞)
B.
(0,2+)
C.
(1,+∞)
D.
(1,2+)
考点:
正弦定理;等比数列的通项公式.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
设==q,则由任意两边之和大于第三边求得q的围,可得的取值围
解答:
解:
设==q,则==q+q2,则由,求得<q<,
∴<q2<,∴1<q+q2<2+,
故选:
D.
点评:
本题考查数列与三角函数的综合应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意三角形三边关系的灵活运用
14.(2014•)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为( )
A.
﹣
B.
C.
1
D.
考点:
余弦定理;正弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论.
解答:
解:
∵3a=2b,∴b=,
根据正弦定理可得===,
故选:
D.
点评:
本题主要考查正弦定理的应用,比较基础.
15.(2014•三模)在△ABC中,若,则∠B等于( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
考点:
正弦定理.菁优网所有
专题:
计算题.
分析:
根据所给的等式和正弦定理,得到要求角的正弦和余弦相等,由根据这是一个三角形的角得到角的度数只能是45°.
解答:
解:
∵,
又由正弦定理知,
∴sinB=cosB,
∵B是三角形的一个角,
∴B=45°,
故选B.
点评:
本题考查正弦定理,是一个基础题,解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时,一定要说清楚这个角的围,这样好确定角度.
16.(2014•萧山区模拟)在锐角△ABC中,若C=2B,则的围( )
A.
B.
C.
(0,2)
D.
考点:
正弦定理;函数的值域.菁优网所有
专题:
计算题.
分析:
由正弦定理得,再根据△ABC是锐角三角形,求出B,cosB的取值围即可.
解答:
解:
由正弦定理得,∵△ABC是锐角三角形,∴三个角均为锐角,
即有,0<π﹣C﹣B=π﹣3B<
解得,又余弦函数在此围是减函数.故<cosB<.
∴<<
故选A
点评:
本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是B角的围确定不准确.
17.(2014•模拟)在△ABC中,如果,B=30°,那么角A等于( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
120°
考点:
正弦定理;余弦定理.菁优网所有
分析:
本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理,由在△ABC中,如果,我们根据正弦定理边角互化可以得到a=c,又由B=30°,结合余弦定理,我们易求出b与c的关系,进而得到B与C的关系,然后根据三角形角和为180°,即可求出A角的大小.
解答:
解:
∵在△ABC中,如果
∴a=c
又∵B=30°
由余弦定理,可得:
cosB=cos30°===
解得:
b=c
则B=C=30°
A=120°.
故选D.
点评:
余弦定理:
a2=b2+c2﹣2bccosA,b2=a2+c2﹣2accosB,c2=a2+b2﹣2abcosC.余弦定理可以变形为:
cosA=(b2+c2﹣a2)÷2bc,cosB=(a2+c2﹣b2)÷2ac,cosC=(a2+b2﹣c2)÷2ab
18.(2014•广西模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠A:
∠B=1:
2,且a:
b=1:
,则cos2B的值是( )
A.
﹣
B.
C.
﹣
D.
考点:
正弦定理;二倍角的余弦.菁优网所有
分析:
根据正弦定理得到sinA:
sinB,因为∠A:
∠B=1:
2,利用二倍角的三角函数公式得到A和B的角度,代入求出cos2B即可.
解答:
解:
依题意,因为a:
b=1:
,
所以sinA:
sinB=1:
,
又∠A:
∠B=1:
2,则cosA=,
所以A=30°,B=60°,cos2B=﹣
故选A
点评:
考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题的能力,以及灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值的能力.
19.(2014•鄂尔多斯模拟)在△ABC中,∠A=60°,b=1,△ABC的面积为,则边a的值为( )
A.
B.
C.
D.
3
考点:
正弦定理.菁优网所有
专题:
解三角形.
分析:
根据正弦定理的面积公式,结合题中数据算出边c=4,再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子算出a2=13,即可算出边a的长度.
解答:
解:
∵△ABC中,∠A=60°,b=1,
∴可得△ABC的面积为S=bcsinA=×1×c×sin60°=
解之得c=4
根据余弦定理,得
a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×cos60°=13,所以a=(舍负)
故选C
点评:
本题给出三角形一边、一角和面积,求边a的长度.着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦定理解三角形等知识,属于基础题.
20.(2014•文登市二模)△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+csinC+asinC=bsinB,则∠B( )
A.
B.
C.
D.
考点:
正弦定理.菁优网所有
专题:
计算题;解三角形.
分析:
由已知结合正弦定理可得,,然后利用余弦定理可得,cosB==﹣,可求B
解答:
解:
∵asinA+csinC+asinC=bsinB,
∴由正弦定理可得,
由余弦定理可得,cosB==﹣
∵0<B<π
∴B=.
故选:
D.
点评:
本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用,属于基础题.
二.解答题(共10小题)
21.(2014•)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
考点:
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