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01规划的隐枚举法
2013-2014
(2)专业课程实践论文
题目:
0-1规划的隐枚举法
一、算法理论
0—1规划在整数规划中占有重要地位,一方面因为许多实际问题,例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划,另一方面任何有界变量的整数规划都与0—1规划等价,用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题,所以不少人致力于这个方向的研究。
求解0—1规划的常用方法是分枝定界法,对各种特殊问题还有一些特殊方法。
线性模型中,当变量的取值只能是“0”或“1”时,称之为“0-1规划问题”。
有种极其简单的解法,就是将变量取值为0或1的所有组合列出,然后分别代入目标函数,选出其中能使目标函数最优化的组合,即为最优解。
但是真的这样会做很多无用功,浪费大量资源,所以,需要改进方法。
本文主要介绍隐枚举法的应用原理,意在剖析其“隐”在何处。
从而帮助读者更好地应用这种方法。
和线性规划问题一样,首先需要将模型标准化。
标准化对0-1规划问题提出四点要求:
1.目标函数为最小优化
2.目标函数中变量的系数都为正
3.在目标函数中,变量按系数值从小到大排列,则约束函数中,变量的排列次序也做相应改变。
4.所有变量均为0或1
0-1线性规划的基本形式是
二、算法框图
三、算法程序
function[intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0)
%目标函数系数向量,c
%不等式约束矩阵,A
%不等式约束右端向量,b
%初始整数可行解,x0
%目标函数取最小值时的自变量值,intx
%目标函数的最小值,intf
sz=size(A);
ifsz
(2)<3
[intx,intf]=Allprog(c,A,b);%穷举法
else
[intx,intf]=Implicitprog(c,A,b,x0);%隐枚举法
end
function[intx,intf]=Allprog(c,A,b)
sz_A=size(A);
rw=sz_A
(1);
col=sz_A
(2);
minf=inf;
fori=0:
(2^(col)-1)%枚举空间
x1=myDec2Bin(i,col);%十进制转化为二进制
ifA*x1>=b%是否满足约束条件
f_tmp=c*x1;
iff_tmp minf=f_tmp; intx=x1; intf=minf; else continue; end else continue; end end function[intx,intf]=Implicitprog(c,A,b,x0)%隐枚举法 sz_A=size(A); rw=sz_A (1); col=sz_A (2); minf=c*x0; A=[A;-c]; b=[b;-minf];%增加了一个限制分量 fori=0: (2^(col)-1) x1=myDec2Bin(i,col); ifA*x1>=b f_tmp=c*x1; iff_tmp minf=f_tmp; b(rw+1,1)=-minf;%隐枚举法与穷举法的区别在于此句 intx=x1; intf=minf; else continue; end else continue; end end functiony=myDec2Bin(x,n)%十进制转化为二进制 str=dec2bin(x,n); forj=1: n y(j)=str2num(str(j)); end y=transpose(y); 四、算法实现 例1.求解下面0-1规划 解: 在MATLAB命令框在输入下列命令: >>c=[12311]; >>A=[23547;11422]; >>b=[8;5]; >>x0=[1;1;1;1;1]; >>[intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0) 所得结果如下: 例2.求下面0-1线性规划 解: 在MATLAB命令框在输入下列命令: >>c=[-3,2,-5]; >>A=[-1,-2,1;-1,-4,-1;-1,-1,0;-4,0,-1]; >>b=[-2;-4;-3;-6]; >>x0=[1;0;0]; >>[intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0) 例3.求解下面0-1规划 解: 在MATLAB命令框在输入下列命令: >>c=[3,7,-1,1]; A=[2,-1,1,-1;1,-1,6,4;5,3,0,1]; b=[1;8;5]; >>x0=[1;1;1;1]; >>[intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0) 例4.求解下面0-1规划 解: 在MATLAB命令框在输入下列命令: >>c=[-6,-2,-3]; A=[-1,-2,-1;3,-5,1;-2,-1,-1]; b=[-3;2;-4]; x0=[1;0;0]; [intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0)
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