上海解析几何综合测试题附答案docx.docx
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上海解析几何综合测试题附答案docx
1.F1、F2是椭圆x2
y2
1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则
|PF1||PF2|的最大值是
.
4
2.若直线
2
2
没有公共点,则m、n满足的关系式为____________;
mx+ny-3=0与圆x+y=3
以(m,n)为点P的坐标,过点
P的一条直线与椭圆
x2
+y2
=1的公共点有_______个.
7
3
3.P是抛物线y2=x上的动点,Q是圆(x-3)2+y2=1的动点,则|PQ|的最小值为
.
4.若圆x2
y2
2ax
a2
1
0与抛物线y2
1x有两个公共点。
则实数a的范围为
.
2
5.若曲线
y
x2
4
与直线y
k(x2)+3
有两个不同的公共点,则实数
k的取值范围
是
.
6.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2),则圆C的方程为
____________.
2
2
2
2
x-y-4=0上的圆的方程为
7.经过两圆(x+3)+y=13和x+
(y+3)=37的交点,且圆心在直线
____________
2
2
的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的
8.双曲线x-y=1
变化范围是___________.
9.已知A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为一个焦点作过
A、B的椭圆,椭圆的另一个
焦点F的轨迹方程是___________.
10
.设
1(
2
,
2
)、P2(-
2
,-2
),M是双曲线y=1上位于第一象限的点,对于命题①
P
x
|MP2|-|MP1|=2
2;②以线段
MP1为直径的圆与圆
x2+y2=2相切;③存在常数b,使得M到直线
y=-x+b的距离等于
2
|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.
2
11.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为
5的点的轨迹是(
)
A.椭圆
B.AB所在直线
C.线段AB
D.无轨迹
12.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则
y
的最小值为(
)
x
2
A.1
B.-1
2
3
D.以上都不对
C.-
3
13已知F1(-3,0)、F2(3,0)是椭圆x2
+y2
=1的两个焦点,P是椭圆上的点,当∠F1PF2=
m
n
2π时,△F1PF2的面积最大,则有(
)
3
A.m=12,n=3
B.m=24,n=6
3
D.m=12,n=6
C.m=6,n=
2
14.P为双曲线C上一点,F1、F2是双曲线C的两个焦点,过双曲线
C的一个焦点F1作∠F1PF2的平分
线的垂线,设垂足为
Q,则Q点的轨迹是(
)12.
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
三、解答题
15.(满分10分)如下图,过抛物线
y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)
(y0>0),作两条直分交抛物于
A(x1,y1)、B(x2,y2).
(1)求抛物上坐
p的点到其焦点
F的距离;
2
(2)当PA与PB的斜率存在且斜角互,
求
y1y2
的,并明直AB的斜率是非零常数.
y0
16.(分10分)如下,O坐原点,直l在x和y上的截距分是
a和b(a>0,b≠0),
2
且交抛物y=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
(1)明:
1
+
1
=
1;
(2)当a=2p,求∠MON的大小.
y1
y2
b
(15
)
(16)
x2
y2
x2
y2
17.(分10分)已知C的方程
2
+
2
=1(a>b>0),双曲
2-
b
2=1的两条近
a
b
a
l1、l2,C的右焦点F作直l,使l⊥l1,又l与l2交于P点,l与C的两个交点由上至下依次A、B.(如下)
(1)当l1与l2角60°,双曲的焦距4,求
C的方程;
(2)当
FA=λ
AP,求λ的最大
.
y
A
y
l
B
P
l2
A
x
OF
x
O
B
l1
(17)
(18)
18.(分10分)在平面直角坐系
xOy中,抛物y
x2
上异于坐原点O的两不同点A、B
足AO
BO(如上).
(Ⅰ)求
AOB得重心G(即三角形三条中的交点)的迹方程;
(Ⅱ)
AOB的面是否存在最小?
若存在,求出最小;若不存在,明理由.
19.(分12分)抛物y2=4px(p>0)的准与x交于M点,点M作直l交抛物于A、
B两点.
(1)若段AB的垂直平分交x于N(x0,0),求:
x0>3p;
(2)若直l的斜率依次p,p2,p3,⋯,段AB的垂直平分与x的交点依次N1,
N2,N3,⋯,当
0
1
1
1
的.
+
+⋯+
|N1N2||N2N3|
|N10N11|
20.(分12分)A、B是3x2
y2
上的两点,点
N(1,3)是段AB的中点,段
AB的垂直平分与相交于
C、D两点.
(Ⅰ)确定
的取范,并求直
AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的
,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?
并说明理由.
解析几何综合题
1.F1、F2是椭圆x2
y2
1的左、右焦点,点
P在椭圆上运动,则|PF1||PF2|的最大值是
.
4
1答案:
4
简解:
|PF1|
|PF2
|≤(|PF1|
|PF2|)2
a2
4
2
2.若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,则
m、n满足的关系式为____________;以(m,
n)为点P的坐标,过点
P的一条直线与椭圆
x2
y2
+
=1的公共点有____________个.
2
2
7
3
2答案:
0 简解: 将直线 mx+ny-3=0变形代入圆方程 x2+y2=3,消去x,得 (m2+n2)y2-6ny+9-3m2=0. 令<0得m2+n2<3. 又m、n不同时为零,∴0 由0 3 ,|m|< 3, 再由椭圆方程a= 7,b= 3可知公共点有2个. 3.P是抛物线y2=x上的动点,Q是圆(x-3) 2+y2=1的动点,则|PQ|的最小值 为. 3.答案: 11 -1 2 简解: 将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值 4.若圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y2 1x有两个公共点。 则实数 a为 . 2 4.答案: a 17或 1 a 1 8 简解: 将圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线 y21x联立,消去y, 2 得x2 (2a 1)x a2 1 0 (x 0). 2 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根。 0 2a 1 0 或 0 解之 2 2 1 0. a2 a 1 0. 5.若曲线 y x2 4与直线y k(x 2)+3 有两个不同的公共点,则实数 k的取值范围 是 . 5.答案: 1k 3 4 简解: 将曲线y x2 4转化为x2 y2 4时考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点 (2,-3)且与 渐近线y x平行的直线与双曲线的位置关系。 6.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2),则圆C的方程为 ____________. 6.答案: (x-2)2+(y+3)2=55. 简解: ∵圆C与y轴交于A(0,-4),B(0,-2), ∴由垂径定理得圆心在 y=-3这条直线上. 又已知圆心在直线 2x-y-7=0上, ∴联立 y=-3, 解得x=2, 2x-y-7=0. ∴圆心为(2,-3), 半径r=|AC|= 22 [ 3 ( 4)]2= 5. 2 2 ∴所求圆C的方程为(x-2) +(y+3)=5. 2 2 2 2 x-y-4=0上的圆的方程为 7.经过两圆(x+3)+y=13和x+(y+3)=37的交点,且圆心在直线 ____________.. 7.答案: (x+ 1)2 +(y+ 7)2 = 89 2 2 2 简解: 因为所求的圆经过两圆( x+3)2+y2=13和x+2(y+3)2=37的交点, 所以设所求圆的方程为( x+3)2+y2-13+λ[x2+(y+3)2-37]=0. 展开、配方、整理,得( x+ 3 ) 2 3 2 4 28 9(1 2) +(y+ 1 ) = + ) 2. 1 1 (1 圆心为(- 3,- 3 ),代入方程x-y-4=0,得λ=-7. 1 1 故所求圆的方程为( x+1)2 +(y+ 7)2 = 89 . 2 2 2 8.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点) ,则直线PF的斜率 的变化范围是___________. 8.答案: (-∞,0)∪(1,+∞) 简解: 解析: 数形结合法,与渐近线斜率比较. 9.已知A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为一个焦点作过 A、B的椭圆,椭圆的另一个 焦点F的轨迹方程是___________. 2 9.答案: .y2-x=1(y≤-1) 48 简解: 由题意|AC|=13,|BC|=15, |AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2. 故F点的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2的双曲线下支.又c=7,a=1,b2=48,所以轨迹方程为 2x2 =1(y≤-1). y- 48 10.设 (2, 2)、P(- 2,-2),M是双曲线y=1上位于第一象限的点,对于命题① P1 2 x |MP2|-|MP1|=22;②以线段 MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切;③存在常数 b,使得M到直线 y=-x+b的距离等于 2 |MP1|.其中所有正确命题的序号是____________. 2 10答案: ①②③ 简解: 由双曲线定义可知①正确,②画图由题意可知正确,③由距离公式及 |MP1|可知正确. 11.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为 5的点的轨迹是( ) A.椭圆 B.AB所在直线 C.线段AB D.无轨迹 11.答案: C 简解: 数形结合易知动点的轨迹是线段 4 AB: y=x,其中0≤x≤3. 3 12.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则 y 的最小值为( ) x 2 A.1 B.-1 C.- 2 D.以上都不对 3 3 12.答案: C 简解: y 的几何意义是椭圆上的点与定点( 2,0)连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得 x 2 最值,设直线 y=k(x-2)代入椭圆方程( 4+k2)x2-4k2x+4k2-4=0. 令 =0,k=±2 3.∴kmin=- 2 3. 3 3 13..已知F1(-3,0)、F2(3,0)是椭圆 x2 y2 + =1的两个焦点,P是椭圆上的点,当∠F1PF2 m n =2π时,△F1PF2的面积最大,则有( ) 3 A.m=12,n=3 B.m=24,n=6 C.m=6,n= 3 D.m=12,n=6 2 13.答案: A 简解: 由条件求出椭圆方程即得m=12,n=3. 14.P为双曲线C上一点,F1、F2是双曲线 C的两个焦点,过双曲线 C的一个焦点 F1作∠F1PF2的平分 线的垂线,设垂足为Q,则Q点的轨迹是 ( )12. A.直线B.圆 C.椭圆 D.双曲线 14.答案: B 简解: 延长F1Q与PF2相交点R,根据双曲线的定义,R在以F2为圆心的圆上,利用代入法得 15.如下图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2). y P OAx (1)求该抛物线上纵坐标为 p的点到其焦点 F的距离; B 2 (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时, 求y1y2 的值,并证明直线AB的斜率是非零 y0 常数. 解: (1)当y=p时,x=p. 2 8 又抛物线y2=2px的准线方程为 x=-p, 2 由抛物线定义得 所求距离为p-(-p)=5p . 8 2 8 (2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB. 22 由y1=2px1,y0=2px0, 相减得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0), 故kPA=y1 y0= 2p (x1≠x0). x1 x0 y1 y0 2p (x2≠x0). 同理可得kPB= y0 y2 由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB, 即 2p =- 2p ,所以y1+y2=-2y0, y0 y0 y1 y2 y1 y2 =-2. 故 y0 设
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