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数学思想论文
微积分的历史、方法及哲学思想
摘要:
微积分是一门重要的学科,本文首先对微积分的思想萌芽进行了概括,其中包括中国在内的许多古代的思想中就包含了原始的微积分的思想,微积分的主要发展是在欧洲,在十七世纪的欧洲由于自然科学发展的需要,微积分开始了快速的发展,后来牛顿和莱布尼茨完成了在微积分工作中最重要的工作,使得当时的许多问题得到了圆满的解决。
由于当时微积分的基础并不完善,引发了许多的问题。
后来众多数学家完善了微积分的基础,使得微积分进一步严格化,并且引发了许多新的分支。
其次是对微积分计算中的方法进行了简单的总结,我分别对导数和积分进行了描述并且用了简单的例题进行了说明。
由于微分和导数相似所以就没有进行描述了。
最后是我对其中蕴涵的哲学思想进行的理解。
关键词:
微积分;导数;积分;哲学思想
引言
解析几何是代数与几何相结合的产物,它将变量引进了数学,使运动与变化的定量表述成为可能,从而为微积分的创立搭起了舞台。
微积分的思想萌芽,特别是积分学,部分可以追溯到古代。
我们已经知道,面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题,在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中,不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。
与积分学相比而言,微分学的起源则要晚得多。
刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。
古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试,如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法;阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线,等等。
但所有这些都是基于静态的观点,把切线看作是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”而与动态变化无干。
古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题,如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点)、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”)等问题,但东方学者以惯用的数值手段(“招差术”,即有限差分计算)来处理,从而回避了连续变化率。
总之,在17世纪以前,真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。
1微积分的发展史
1.1微积分的思想萌芽
微积分的思想萌芽,部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中,已不乏用朴素的极限思想,即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国,公元前5世纪,战国时期名家的代表作《庄子?
天下篇》中记载了惠施的一段话:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践,即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积,接着是正十二边形面积,然后依次加倍边数,则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说,就是:
“割之弥细,所失弥少。
割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。
”按照这种思想,他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积,得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后,南北朝时期的著名科学家祖冲之(公元429-500年)祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想,首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间,这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理:
“幂势既同,则积不容异。
”我们称之为“祖氏原理”,即西方所谓的“卡瓦列利原理”。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想,并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的“穷竭法”。
他在研究化圆为方问题时,提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积,从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来,安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。
之后,阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
他的方法通常被称为“平衡法”,实质上是一种原始的积分法。
他将需要求积的量分成许多微小单元,再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。
但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。
平衡法体现了近代积分法的基本思想,是定积分概念的雏形。
与积分学相比,微分学研究的例子相对少多了。
刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。
阿基米德、阿波罗尼奥斯(Apollonius,c.BC262-c.BC190)等均曾作过尝试,但他们都是基于静态的观点。
古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题,但多以惯用的数值手段(即有限差分计算)来处理,从而回避了连续变化率。
1.2半个世纪的酝酿
微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。
1400年至1600年的欧洲文艺复兴,使得整个欧洲全面觉醒。
一方面,社会生产力迅速提高,科学和技术得到迅猛发展;另一方面,社会需求的急需增长,也为科学研究提出了大量的问题。
这一时期,对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题,以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求,科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来,自然科学开始迈入综合与突破的阶段。
微积分的创立,首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题:
第一类是,已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急;第二类是,望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避;第三类是,确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决;第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等,又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
在17世纪上半叶,几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。
这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作。
德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中,论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。
他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积,如他认为球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和,这些圆锥的顶点在球心,底面则是球面的一部分;他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一()
开普勒考虑的另一个例子是由半径为R的圆围绕其所在平面上的与圆心距离为d的垂直轴旋转而形成的圆环,他证明这个圆环的体积等于该圆的面积与圆心经过的路程之积:
他推导这一公式的办法是:
用通过旋转轴的平面把圆环分成无穷多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片(图1),而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片。
先推导出每个圆片的体积是,其中是圆片最小厚度与最大厚度的平均值,亦即圆片在其中心处的厚度。
然后他进一步推算
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发展了系统的不可分量方法。
卡瓦列里认为线是由无限多个点组成;面是由无限多条平行线段组成;立体则是由无限多个平行平面组成.他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理,后以“卡瓦列里原理”著称:
两个等高的立体,如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比,那么这两个立体的体积之间也有同样的比。
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积,然而他对积分学创立最重要的贡献还在于.他后来(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等价于下列积分
的基本结果,使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡。
卡瓦列里考虑一平行四边形内线段的幂和与组成它的三角形内线段的幂和之间的关系.如图2,在平行四边形ACDF中,AF=a,其内任一平行于AF的截线GE被对角线分成两部分GH=x,HE=y。
先讨论一次幂和的关系。
因x+y=a,故(利用对称性),因此.按卡瓦列里的不可分量观点,应为△CAF的面积,则为□ACDF的面积.取正方形情形,就得到,亦即
接着考虑、、等。
例如,我们有,利用对称性得(*)另一方面,
但卡瓦列里在此前已得到,因此,
也就是说,代入前面的结果(*),得
或
取正方形情形就得到了,即
卡瓦列里使用类似方法一直推到了公式。
他还利用这方面的结果,计算出在单位区间[0,1]上,曲线y=(n为正整数)下的图形的面积A=,以及将这个图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积V=。
这些都说明卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法,因而也具有更大的威力。
笛卡尔“圆法”,求曲线过点P的切线,笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P处的法线与x轴的交点c的位置,然后作该法线的过点P的垂线,便可得到所求的切线。
如图3,过C点作半径为r=CP的圆,因CP是曲线在P点处的法线,那么点P应是该曲线与圆的“重交点”(在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P点附近的另一点).如果是多项式,有垂交点就相当于方程
+=
将以P点的横坐标x为重根.但具有重根x=e的多项式的形式必须是,笛卡儿把上述方程有重根的条件写成:
+
然后用比较系数法求得v与e的关系.代入e=x,就得到用x表示的v,这样过点P的切线的斜率就是。
以抛物线为例,,方程有重根的条件为
令x的系数相等,得k-2v=-2e,即v=e+。
代入e=x,于是次法距v-x=,求出抛物线过点的切斜率是
笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很大的影响,牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。
17世纪上半叶一系列先驱性的工作,沿着不同的方向向微积分的大门逼近,但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。
前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献,但他们的方法仍缺乏足够的一般性。
虽然有人注意到这些问题之间的某些联系,但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来,作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。
因此,在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论,成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。
1.3微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作
1.3.1牛顿的“流数术”
牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院,受教于巴罗。
对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深,正是这两那著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。
就在此时,牛顿首创了小○记号表示x的无限小且最终趋于零的增量.
据他自述,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月又建立了“反流数术”(积分法).1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以《流数简论》著称,当时虽未正式发表,但在同事中传阅.《流数简论》(以下简称《简论》)是历史上第一篇系统的微积分文献。
《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。
该文事实上以速度形式引进了“流数”(即微商)概念,虽然没有使用“流数”这一术语.牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下:
(a)设有两个或更多个物体A,B,C,…在同一时刻内描画线段x,y,z,…己知表示这些线段关系的方程,求它们的速度p,q,r,…的关系。
(b)已知表示线段x和运动速度p、q之比的关系方程式,求另一线段y。
牛顿对多项式情形给出(a)的解法.以下举例说明牛顿的解法。
已知方程,
牛顿分别以x+po和y+qo代换方程中的x和y,然后利用二项式定理,展开得,
消去和为零的项,得,
以o除之,得,
这时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”,略去这些无限小,得
即所求的速度p与q的关系。
牛顿对所有的多项式给出了标准的算法,即对多项式
问题(a)的解为
对于问题(b),牛顿的解法实际上是问题(a)的解的逆运算,并且也是逐步列出了标准算法。
特别重要的是,《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积,从而建立了所谓“微积分基本定理”牛顿在《简论》中是这样推导微积分基本定理的:
如图5,设ab=x,扇形abc=y为已知曲线下的面积,作de∥ab⊥ad∥be=p=1。
当垂线cbe以单位速度向右移动时,eb扫出面积□abed=x,变化率;cb扫出面积扇形abc=y,变化率。
由此得
,
这就是说,面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值.这就是微积分基本定理.利用问题(b)的解法可求出面积y。
作为例子,牛顿算出纵坐标为的曲线下的面积是;反之,纵坐标为的曲线其切线斜率为。
当然,《简论》中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明。
牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。
在牛顿以前,面积总是被看成是无限小不可分量之和,牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积.前面讲过,面积计算与求切线问题的互逆关系,以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出,但牛顿却能以足够的敏锐的能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来,并将其作为建立微积分普遍算法的基础.正如牛顿本人在《流数简论》中所说:
一旦反微分问题可解,许多问题都将迎刃而解.这样,牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分,并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体.这是他超越前人的功绩,正是在这样的意义下,我们说牛顿发明了微积分.
在《流数简论》的其余部分,牛顿将他建立的统一的算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题,展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。
1.3.2莱布尼茨的微积分
在微积分的创立上,牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉。
莱布尼茨(1646—1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭。
与牛顿流数论的运动学背景不同,莱布尼茨创立微积分首先是从出于几何问题的思考,尤其是特征三角形的研究。
莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形.据莱布尼茨后来在《微积分的历史和起源》中自述,他这项发现正是受到了帕斯卡论文《关于四分之一圆的正弦》的启发。
莱布尼茨当时还没有微积分的符号,他用语言陈述他的特征三角形导出的第一个重要结果:
“由一条曲线的法线形成的图形,即将这些法线(在圆的情形就是半径)按纵坐标方向置于轴上所形成的图形,其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比”。
莱布尼茨应用特征三角形确实很快发现了他后来才“在巴罗和格列高里的著作中见到的几乎所有定理”。
但是如果莱布尼茨就此而止,那么他也不会成为微积分的创立者.实际上,他在关于特征三角形的研究中认识到:
求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无限小时之比;而求曲线下的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和(纵坐标之和在这里是指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加,因而也相当于宽度为无限小的矩形面积之和)莱布尼茨还看出了这两类问题的互逆关系。
早在1666年,莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并得到许多重要结论,例如他考察了平方数序列:
0,1,4,9,16,25,36,…
及其一阶差1,3.5,7,9,11,…
与二阶差2,2,2.2,2,…
当时他注意到如果原来的序列是从0开始,那么一阶差的和就是原序列的最后一项,并且这里序列的求和运算与求差运算存在着互逆的关系。
大约从1672年开始,菜布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来。
借助于笛卡儿解析几何,莱布尼茨可以把曲线的纵坐标用数值表示出来,并想象一个由无穷多个纵坐标值y组成的序列,以及对应的x值的序列,而x被看作是确定纵坐标序列的次序.同时考虑任意两相继的y值之差的序列。
莱布尼茨首先着眼于求和,并从简单的情形y=x开始。
因为x表示相邻两项的次序,莱布尼茨取序数差为1,设l为两相邻项的实际差。
莱布尼茨用拉丁文omnia的缩写omn。
表示和,则有:
在y=x的条件下,如图11所示,对于无限小的l来说,yl的和等于.莱布尼茨在这里认为:
“从0起增长的直线,每一个用与它相应的增长的元素相乘,组成一个三角形”。
莱布尼茨后来做了大量工作,艰难地前进,从一串离散值过渡到任意函数y的增量.在1675年10月29日的一份手稿中,他决定用符号∫代替,∫显然是“sum”的首字母s的拉长.稍后,在11月11日的手稿中,菜布尼茨又引进了记号dx表示两相邻x的值的差,并探索∫运算与d运算的关系.无论如何,到1676年11月,莱布尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式。
他还着重指出:
“这种推理是一般的,而与x的序列可能是什么没有关系”.也就是说,x也可以是自变量的函数而不是自变量本身.这相当于宣称计算复合函数微分的链式法则.
1677年,莱布尼获在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理.给定一条曲线,其纵坐标为y,求该曲线下的面积,莱布尼茨假设可以求出一条曲线(他称之为“割圆曲线”),其纵坐标为z,使得莱布尼茨通常假设曲线z通过原点.这就将求积问题化成了反切线问题,即:
为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积,只需求出一条纵坐标为z的曲线,使其切线的斜率为.如果是在区间上,由上的面积减去上的面积,便得到:
1.4微积分的发展
1.4.1十八世纪微积分的发展
在牛顿和莱布尼茨之后,从17世纪到18世纪的过渡时期,法国数学家罗尔(1652-1779)在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理,也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。
微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布(1654-1705)和约翰(1667-1748),他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。
其中,约翰给出了求型的待定型极限的一个定理,这个定理后由约翰的学生罗比达(L’Hospital,1661-1704)编入其微积分著作《无穷小分析》,现在通称为罗比达法则。
18世纪,微积分得到进一步深入发展。
1715年数学家泰勒(1685-1731)在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理,即现在以他的名字命名的泰勒定理。
后来麦克劳林(1698-1746)重新得到泰勒公式在时的特殊情况,现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林”级数。
雅各布、法尼亚诺(1682-1766)、欧拉(1707-1783)、拉格朗日(1736-1813)和勒让德(1752-1833)等数学家在考虑无理函数的积分时,发现一些积分既不能用初等函数,也不能用初等超越函数表示出来,这就是我们现在所说的“椭圆积分”,他们还就特殊类型的椭圆积分积累了大量的结果。
18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。
这方面的贡献主要应归功于尼古拉?
伯努利(1687-1759)、欧拉和拉格朗日等数学家。
另外,函数概念在18世纪进一步深化,微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论,将函数放在中心地位,是18世纪微积分发展的一个历史性转折。
在这方面,贡献最突出的当数欧拉。
他明确区分了代数函数与超越函数、显函数与隐函数、单值函数与多值函数等,发现了函数和函数,并在《无限小分析引论》中明确宣布:
“数学分析是关于函数的科学”。
而18世纪微积分最重大的进步也是由欧拉作出的。
他的《无限小分析引论》(1748)、《微分学原理》(1755)与《积分学原理》(1768~1770)都是微积分史上里程碑式的著作,在很长时间内被当作标准教材而广泛使用。
1.4.2微积分严格化的尝试
牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的,特别在使用无限小概念上的随意与混乱,这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。
欧洲大陆的数学家们则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难。
在18世纪,这方面的代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。
达朗贝尔在他为《科学,艺术和工艺百科全书》撰写的“微分”(1754)等条目中,讨论他所谓的“微分演算的形而上学”,即微分学的基础。
他在这里发展了牛顿的首末比方法,但用极限概念代替了含糊的“最初比”与“最终比”.达朗贝尔定义量Y的极限为X,如果“量Y可任意逼近x,这就是说,Y与X之间的差可任意小”。
他指出微分演算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限”,并认为“这也许是关于微分学的最精确、最简洁的定义”;欧拉在《微分学》中提出了关于无限小的不同阶零的理论,欧拉认为无限小就是零,但却存在着“不同阶的零”,也就是不同阶的无限小,而“无限小演算只不过是不同无限小量的几何比的研究。
“他断言如果采取了这种观点,“在这门崇高的科学中,我们就完全能保持最高度的数学严格性”;拉格朗日则在《解析函数论》(1797)一书中,主张用泰勒级数来定义导数:
函数的导数被定义为展开式
中i的系数,以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“纯粹的代数分析艺术”我们可以说。
欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点,而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。
19世纪的分析严格化,正是这些不同方向融会发展的结果。
1.5微积分的应用与新分支的形成
18世纪的数学家们一方面努力探索在微积分中注入严密性的途径,一方面又不顾基础问题的困难而大胆前进,极大地扩展了微积分的应用范围,尤其是与力学的有机结合,其紧密程度是数学史上任何时期都无法比拟的,它已成为18世纪数学的鲜明特征之一。
微积分的这种广泛应用成为新思想的源泉,从而也使数学本身大大受益,一系列新的数学分支在18世纪逐渐成长起来。
1.5.1常微分方程
常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的。
从17世纪末开始,摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程,这些问题在当时以挑战的形式被提出而在数学家之间引起激烈的争论。
牛顿、莱布尼茨和伯努利兄弟等都曾讨论过低阶常微分方程,到1740年左右,几乎所有的求解一阶方程的初等方法都已经知道。
1728年,欧拉的一篇论文引进了著名的指数代换将二阶常微分方程化为一阶方程,开始了对二阶常微分方程的系统研究。
1743年,欧拉给出了n阶常系数线性齐次方程的完整解法,这是高阶常微分方程的重要突破。
1774—1775年间,拉格朗日用参数变易法解出了一般n阶变系数非齐次常微分方程,这一工作是18世纪常微分方程求解的最高成就。
在18世纪,常微分方程已成为有的自己的目标和方向的新数学分支。
1.5.2偏微分方程
微积分在弦振动等力学问题中的应用则引导出另一门新的数学分支:
偏微分方程。
一般将达朗贝尔的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》(1747)看做偏微分方程论的发端。
该论文推导出弦振动所满足的偏微分方程,并给出了其通解。
1753年,丹尼尔?
伯努利(1700-1782)也发表了他的《弦振动问题新思考》,他假定所有可能的初始曲线均可表为正弦级数,从而弦振动问题所有可能的解都是正弦周期模式的迭加。
欧拉、拉格朗日等在研究鼓膜振动与声音传播时还导出了二维和三维波动方程。
1.5.3变分法
在18世纪出现的数学新分支中,变分法的诞生最富有戏剧性。
变分法起源于“最速降线”和其它—些类似的问题。
所谓最速降线问题,是要求出两点
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