七年级数学下册第五章生活中的轴对称53简单的轴对称图形同步测试北师大版.docx
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七年级数学下册第五章生活中的轴对称53简单的轴对称图形同步测试北师大版
5.3简单的轴对称图形
一、单选题(共9题;共18分)
1.已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm,则它的周长为( )
A. 13cm
B. 17cm
C. 13或17cm
D. 10cm
2.如图,在等边△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于E,EF⊥BC于F,已知AB=8,则BF的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
3.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P到AB的距离是 ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
4.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,EP∥OA,交OB于点E,且EP=6.若点F是OP的中点,则CF的长是( )
A. 6 B. 3
C. 2
D. 3
5.在等腰△ABC中,AB=AC,其周长为16cm,则AB边的取值范围是( )
A. 1cm<AB<4cm
B. 3cm<AB<6cm
C. 4cm<AB<8cm
D. 5cm<AB<10cm
6.如图,在一个正方体的两个面上画两条对角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 135°
7.如图,在△ABC中,∠A=90°,BE平分∠ABC,DE⊥BC, 垂足为D,若DE=3cm,则AE=( )cm。
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 6
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为( )
A. 70° B. 80° C. 40° D. 30°
9.如图,一种电子游戏,电子屏幕上有一正六边形ABCDEF,点P沿直线AB从右向左移动,当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时,就会发出警报,则直线AB上会发出警报的点P有 ( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
二、填空题(共6题;共6分)
10.如图,△ABC中AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D.若AC+BC=10cm,则△DBC的周长为________
11.在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,则∠B=________
12.一个等腰三角形的边长分别是
和
,则它的周长是________cm.
13.如图5,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=5cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为________cm。
14.如图,在△ABC中,AB=10cm,AC=6cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,则△ACD的周长为 ________cm.
15.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:
4,则这个等腰三角形顶角的度数为________
三、解答题(共3题;共22分)
16.阅读下列材料,解答问题:
定义:
线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD(如图1),如果△ABD与△ACD均为等腰三角形,那么线段AD叫做△ABC的完美分割线.
(1)如图1,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,AD为△ABC的完美分割线,且BD (2)如图2,已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BE为△ABC的角平分线,求证: BE为△ABC完美分割线. (3)如图3,已知△ABC是一等腰三角形纸片,AB=AC,AD是它的一条完美分割线,将△ABD沿直线AD折叠后,点B落在点B1处,AB1交CD于点E,求证: DB1=EC. 17.利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线的位置关系,你发现了什么? 再换一个三角形试一试。 18.如图,点D、E在△ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE.求证: BD=CE. 四、作图题(共1题;共5分) 19.如图,铁路和公路都经过P地,曲线MN是一条河流,现欲在河上建一个货运码头Q,使其到铁路和公路的距离相等,请用直尺和圆规通过画图找到码头Q的位置.(注意: ①保留作图痕迹;②在图中标出点Q) 五、综合题(共1题;共10分) 20.如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,CE=CD, (1)求证: DB=DE. (2)在图中过D作DF⊥BE交BE于F,若CF=4,求△ABC的周长. 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】B 【解析】【解答】解: 当3cm为底时,其它两边都为7cm;3cm、7cm、7cm可以构成三角形,周长为17cm; 当3cm为腰时,其它两边为3cm和7cm;3+3=6<7,所以不能构成三角形,此种情况不成立; 所以等腰三角形的周长是17cm. 故选: B. 【分析】因为边为3cm和7cm,没说是底边还是腰,所以有两种情况,需要分类讨论. 2.【答案】C 【解析】【解答】解: ∵在等边△ABC中,D是AB的中点,AB=8,∴AD=4,AC=8,∠A=∠C=60°, ∵DE⊥AC于E,EF⊥BC于F, ∴∠AFD=∠CFE=90°, ∴AE= AD=2, ∴CF=8﹣2=6, ∴CF= CE=3, ∴BF=5, 故选C. 【分析】根据等边三角形的性质得到AD=4,AC=8,∠A=∠C=60°,根据直角三角形的性质得到AE= AD=2,于是得到结论. 3.【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件利用角平分线的性质可得,点P到AB的距离等于点P到AC的距离PE=1. 【解答】点P到AB的距离等于PE=3. 故选A. 【点评】此题主要考查角平分线的性质: 角平分线上的任意一点到角的两边距离相等.题目比较简单,直接利用角平分线的性质就可以了. 4.【答案】D 【解析】【解答】解: ∵EP∥OA, ∴∠DEP=∠AOB=60°, ∵PD⊥OB, ∴PD= PE= ×6=3 , ∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB, ∴PC=PD=3 , ∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°, ∴∠POC= ×60°=30°, ∴OP=2PC=6 , ∵点F是OP的中点, ∴CF= OP= ×6 =3 . 故选D. 【分析】根据两直线平行,同位角相等求出∠DEP,再求出PD,然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD,再求出∠POC=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答. 5.【答案】C 【解析】【解答】解: ∵在等腰△ABC中,AB=AC,其周长为16cm, ∴设AB=AC=xcm,则BC=(16﹣2x)cm, 解得4cm<x<8cm. 故选: C. 【分析】设AB=AC=x,则BC=16﹣2x,根据三角形的三边关系: 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列不等式组,即可得出结论. 6.【答案】A 【解析】【分析】根据正方体的概念和特性可知AB,AC和左面上的对角线形成一个等边三角形. 【解答】由于是正方体,那么它上面所有的正方形的对角线都是相等的.AB,AC,再加上左面的正方形的对角线,正好组成一个等边三角形. ∴这两条对角线的夹角为60度. 故选A. 【点评】本题的关键是把已知的两条线段组合进规则图形中. 7.【答案】A 【解析】【分析】从已知条件进行思考,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE=3cm. 【解答】∵BE平分∠ABC,DE⊥BC,EA⊥AB, ∴DE=AE,又DE=3cm, ∴AE=3cm. 故选A. 【点评】本题考查了角平分线的性质;此题很简单,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答,属于基础题 8.【答案】D 【解析】【解答】∵等腰△ABC中,AB=AC,∠A=40°, ∴∠ABC=∠C= =70°, ∵线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E, ∴AE=BE, ∴∠ABE=∠A=40°, ∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°. 故答案为: D. 【分析】依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABC的度数,接下来,根据线段垂直平分线的性质可得到AE=BE,然后依据等边对等角的性质可求得∠ABE的度数,最后,再依据∠CBE=∠ABC﹣∠ABE求解即可. 9.【答案】C 【解析】 【分析】先根据正六边形的特点,判断出此六边形中相互平行的边及对角线,再根据线段垂直平分线的性质确定不同的点即可. 【解答】如图,分别以一顶点为定点,连接其与另一顶点的连线,在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知,CD∥BE∥AF,ED∥FC∥AB,EF∥AD∥BC,EC∥FB,AE∥BD,AC∥FD, 根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知,相互平行的一组线段的垂直平分线相等,在这五组平行线段中,AE、BD与AB垂直,其中垂线必与AB平行,故无交点. 故直线AB上会发出警报的点P有: CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分线与直线AB的交点,共五个. 故答案为C. 二、填空题 10.【答案】10cm 【解析】【解答】解: ∵MN垂直平分AB, ∴DA=DB. ∴△DBC的周长=BC+BD+DC =BC+DA+DC=BC+AC=10cm. 故答案为: 10cm. 11.【答案】40° 【解析】【解答】解: ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵∠A=100°, ∴∠B= =40°. 故答案为: 40. 【分析】如图,依题意可知该三角形为等腰三角形∠A=100°,利用等腰三角形的性质得另外二角相等,结合三角形内角和易求∠B的值. 12.【答案】15或18 【解析】【解答】解: ①当腰是4cm,底边是7cm时,能构成三角形, 则其周长=4+4+7=15cm; ②当底边是4cm,腰长是7cm时,能构成三角形, 则其周长=4+7+7=18cm. 故答案为: 15cm或18cm. 13.【答案】24 【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线 ∴AE=CE=5cm,AD=CD ∴AC=10cm ∵△ABD的周长为14cm ∴AB+BD+CD=14cm ∴△ABC的周长=14+10=24cm 【分析】根据线段的垂直平分线的性质,得到DA=DC,AE=EC=5cm,由AB+BD+AD=14cm,得到AB+BD+DC=14cm,所以有AB+BC+AC=14cm+10cm=24cm,从而得到结论. 14.【答案】16 【解析】【解答】解: ∵DE是BC的垂直平分线, ∴CD=BD, ∵AB=10cm,AC=6cm, ∴△ACD的周长为: AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB=6+10=16(cm). 故答案是: 16. 【分析】根据线段垂直平分线的性质,可得CD=BD,继而可得△ACD的周长为: AC+AB,则可求得答案. 15.【答案】120°或20° 【解析】【解答】解: 设两个角分别是x,4x ①当x是底角时,根据三角形的内角和定理,得x+x+4x=180°,解得,x=30°,4x=120°,即底角为30°,顶角为120°; ②当x是顶角时,则x+4x+4x=180°,解得,x=20°,从而得到顶角为20°,底角为80°; 所以该三角形的顶角为120°或20°. 故答案为: 120°或20°. 【分析】设两个角分别是x,4x,根据三角形的内角和定理分情况进行分析,从而可求得顶角的度数. 三、解答题 16.【答案】 (1)36º;72º (2)证明: ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C= ∵BE为△ABC的角平分线 ∴ ∴∠ABE=∠A ∴AE=BE∵∠BEC=180º–∠C–∠CBE=72º ∴∠BEC=∠C ∴BE=BC ∴△ABE、△BEC均为等腰三角形 ∴BE为△ABC的完美分割线. (3)证明: ∵AD是△ABC的一条完美分割线 ∴AD=BD,AC=CD ∴∠B=∠BAD,∠CAD=∠CDA ∵∠B+∠BAD+∠ADB=180º,∠ADB+∠CDA=180º ∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD ∴∠CAD=2∠BAD ∵∠BAD=∠B1AD ∴∠CAD=2∠B1AD ∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE ∴∠B1AD=∠CAE ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠B=∠B1 ∴∠B1=∠C ∵AB=AB1 ∴AB1=AC ∴△AB1D≌△ACE ∴DB1=CE 【解析】【解答】解: (1)∵AB=AC,∠BAC=108°,∴∠B= =36°,∵AD为△ABC的完美分割线,BD 72°. 故答案为72°. 【分析】 (1)不难得出△ABD与△ACD是等腰三角形,由BD (2)求出△ABE和△BCE中每个角的度数,根据等角对等边,证明它们都是等腰三角形即可证得;(3)要证DB1=CE,可先证△AB1D≌△ACE;不难得到∠B1=∠B=∠C,AB1=AB=AC,则只需要证∠B1AD=∠CAE即可,根据AD是△ABC的一条完美分割线,可得AD=BD,AC=CD,则通过角的数量关系得到∠B1AD=∠CAE. 17.【答案】解: 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点. 【解析】【分析】根据垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等,三角形的三条边的垂直平分线相交于一点. 18.【答案】证明: 如图,过点A作AP⊥BC于P. ∵AB=AC, ∴BP=PC; ∵AD=AE, ∴DP=PE, ∴BP﹣DP=PC﹣PE, ∴BD=CE. 【解析】【分析】要证明线段相等,只要过点A作BC的垂线,利用三线合一得到P为DE及BC的中点,线段相减即可得证. 四、作图题 19.【答案】解: 如图所示: 【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质,作出铁路与公路所形成的角的角平分线,与河流的交点即为所求作的货运码头点Q. 五、综合题 20.【答案】 (1)解: 证明: ∵△ABC是等边三角形,BD是中线, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∠DBC=30°(等腰三角形三线合一). 又∵CE=CD, ∴∠CDE=∠CED. 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED, ∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°. ∴∠DBC=∠DEC. ∴DB=DE(等角对等边); (2)解: ∵∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°,DF⊥BE. ∴∠CDF=30°, ∵CF=4, ∴DC=8, ∵AD=CD, ∴AC=16, ∴△ABC的周长=3AC=48. 【解析】【分析】 (1)根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°,再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED,根据等角对等边即可得到DB=DE; (2)根据直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半DC=8,AC=16,即可求得△ABC的周长.
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- 七年 级数 下册 第五 生活 中的 轴对称 53 简单 图形 同步 测试 北师大