七年级下册初一数学《生活中的轴对称》教案讲解.docx
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七年级下册初一数学《生活中的轴对称》教案讲解
生活中的轴对称
§5.1轴对称现象§5.2轴对称的性质
【知识梳理】
1.如果一个平面图形沿一条直线_________,直线两旁的部分能够__________,那么这个图形叫做_________________,这条直线叫做它的________,这时,我们也就说这个图形关于这条直线(或轴)________.
2.如果两个平面图形沿一条直线对折后能够___,那么称这两个图形__________,这条直线叫做这两个图形的___________.
轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状和位置关系。
而轴对称图形是对一个图形而言的,轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。
它们都有沿某条直线对折使直线两旁的图形能重合的特征。
轴对称
轴对称图形
图形
3、轴对称的性质
●如果两个图形关于某条直线对称,那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
●如果两个图形关于某条直线对称,那么对应线段、对应角都相等。
●轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
●轴对称图形的对应线段、对应角相等。
注意:
轴对称的两个图形一定是全等形,但两个全等的图形不一定是轴对称图形
【基础练习】
1.在图1-1中,是轴对称图形的是()
图1-1
2.下列图形中,是轴对称图形的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.在下列几何图形中,一定是轴对称图形的有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
4.如图,ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称,则∠B的度数为()
A.30°B.50°
C.90°D.100°
5.将一个正方形纸片依次按图1-4a,b的方式对折,然后沿图c中的虚线裁剪,成图d样式,将纸展开铺平,所得到的图形是图1-5中的()
图1-4
图1-5
【综合运用】
1.请分别画出下列各图的对称轴.
(1)正方形
(2)正三角形(3)相交的两个圆
2.如图,ΔABC中,AB=BC,ΔABC沿DE折叠后,点A落在BC边上的A'处,若点D为AB边的中点,∠A=70°,求∠BDA'的度数.
§5.3简单的轴对称图形
【等腰三角形】
等腰三角形是轴对称图形。
1、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
注意:
等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴,它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。
2、等腰三角形的两个底角相等,简写成“等边对等角”。
3、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法:
(1)两条边相等的三角形是等腰三角形;
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等相等,简写为“等角对等边”。
【等边三角形】
1、等边三角形是指三边都相等的三角形,又称正三角形,是最特殊的三角形。
2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形,所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴,三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
4、等边三角形的三边都相等,三个内角都是60o。
【基础练习】
1.等腰三角形中,若底角是65°,则顶角的度数是_____.
2.等腰三角形的周长为10cm,一边长为3cm,则其他两边长分别为_____________.
3.等腰三角形一个角为70°,则其他两个角分别是_____________.
4.等腰直角三角形的底边长为5cm,则它的面积是()
A.25cm2B.12.5cm2C.10cm2D.6.25cm2
5.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm,则它的周长是()
A.63cmB.51cmC.63cm和51cmD.以上都不正确
6.△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC,则∠A等于()
A.45°B.36°C.90°D.135°
【综合运用】
1.如图1,在ΔABC中,高AD、BE交于H点,若BH=AC,则∠ABC=______.
图1图2图3
2.如图2,ΔABC中,AB=AC,AD=BD,AC=CD,则∠BAC=______.
3.如图3,在ΔABC中,∠ABC=120°,点D、E分别在AC和AB上,且AE=ED=DB=BC,则∠A的度数为______°.
4.如右图,已知ΔABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分AC交
BC于D,垂足为E,若DE=2cm,则BC=________cm.
5.已知:
如图,ΔABC中,AB=AC,D、E在BC边上,且AD=AE.
求证:
BD=CE.
6.已知:
如图,D、E分别为AB、AC上的点,AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,求∠B的度数.
7.已知:
如图5-4,ΔABC中,AB=AC,D是AB上一点,延长CA至E,使AE=AD.试确定ED与BC的位置关系,并证明你的结论.
8.已知:
如图,RtΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,AE=BF.
求证:
(1)DE=DF;
(2)ΔDEF为等腰直角三角形.
【线段】
●线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。
●垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线。
●性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
【用尺规作线段的垂直平分线】
已知:
线段AB.求作:
线段AB的垂直平分线MN.
作法:
【基础练习】
1.如图,若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点,则
(1)ΔPAC≌__________;
(2)PA=__________;
(3)∠APC=_________;(4)∠A=__________.
2.ΔABC中,若AB-AC=2cm,BC的垂直平分线交AB于D点,且ΔACD的周长为14cm,则
AB=__________,AC__________.
3.如图,ΔABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于P点.
(1)若∠A=35°,则∠BPC=_________;
(2)若AB=5cm,BC=3cm,则ΔPBC的周长=_________.
【综合运用】
1.已知:
如图2-4,∠ABC及两点M、N.
求作:
点P,使得PM=PN,且P点到∠ABC两边的距离相等.
图2-4
2.已知点A在直线l外,点P为直线l上的一个动点,探究是否存在一个定点B,当点P在直线l上运动时,点P与A、B两点的距离总相等.如果存在,请作出定点B;若不存在,请说明理由.
【角】
●角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴。
●性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
【用尺规作角平分线】
已知:
∠AOB.求作:
∠AOB的平分线OC.
作法:
【基础练习】
1.如图1,若OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论中错误的是()
A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PC
图1图2图3
2.如图2,在RtΔABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC于D,若CD=n,AB=m,则ΔABD的面积是()
A.
B.
C.mnD.2mn
3.已知:
如图3,在RtΔABC中,∠C=90°,沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC,使C点恰好落在AB边的中点D处,则∠A的度数等于_____.
4.已知:
如图,在ΔABC中,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,且BD、CE
交于点O,过O作OP⊥BC于P,OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,则OP、
OM、ON的大小关系为_____________.
5.如图,已知∠C=90°,AD平分∠BAC,BD=2CD,若点D到AB的距离等于
5cm,则BC的长为________cm.
6.已知:
如图,直线AB及其上一点P.
求作:
直线MN,使得MN⊥AB于P.
7.已知:
如图,△ABC.
求作:
点P,使得点P在△ABC内,且到三边AB、BC、CA的距离相等.
【综合运用】
1.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
求证:
DE=DF.
2.已知:
如图,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,CD、BE交于O,∠1=∠2.
求证:
OB=OC.
3.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,试在AC上找一点P,使P到斜边的距离等于PC.(画出图形,并写出画法)
4.已知:
如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个塔台,若要求它到三条公路的距离都相等,试问:
(1)可选择的地点有几处?
(2)你能画出塔台的位置吗?
5.已知:
如图,四条直线两两相交,相交部分的线段构成正方形ABCD.试问:
是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点?
若存在,请找出此点,这样的点有几个?
若不存在,请说明理由.
【轴对称变换及应用】
【例1】一次晚会上,主持人出了一道题目:
“如何把2+3=8变成一个真正的等式?
”过了很长时间,也没有人答出,小兰仅仅拿了一面镜子,就很快解决了这道题目。
你知道她是怎样做的吗?
(现实与镜中的像关于镜面成轴对称)
【例2】已知:
点A、B分别在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使PA+PB最短。
【例3】已知点A、B,在x轴和y轴上各找一点C、D,使四边形ACDB的周长最短。
例2图例3图
【基础练习】
1.从镜子中看到钟的时间是8点25分,正确的时间应是几点?
()
A.3点25分B.3点30分C.3点35分D.3点45分
2.小明衣服上的号码在镜子中如图,则小明衣服上的实际号码为.
3.一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是,则这辆汽车的牌照号码应为.
4.试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形.
5.如图所示,已知平行四边形ABCD及对角线BD,求作ΔBCD关于直线BD的对称图形.(不要求写作法)
6.如图所示,已知长方形纸片ABCD中,沿着直线EF折叠,求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形.(不要求写作法)
7.为了美化环境,在一块正方形空地上分别种植不同的花草,现将这块空地按下列要求分成四块:
(1)分割后的整个图形必须是轴对称图形;
(2)四块图形形状相同;
(3)四块图形面积相等,现已有两种不同的分法:
①分别作两条对角线(图①),②过一条边的四等分点作该边的垂线段(图②),(图②中的两个图形的分割看作同一种方法).请你按照上述三个要求,分别在图③的三个正方形中,给出另外三种不同的分割方法.(只画图,不写作法)
【综合运用】
1.已知:
如图,A、B两点在直线l的同侧,点A'与A关于直线l对称,连接A'B交l于P点,若A'B=a.
(1)求AP+PB;
(2)若点M是直线l上异于P点的任意一点,求证:
AM+MB>AP+PB.
2.已知:
A、B两点在直线l的同侧,试分别画出符合条件的点M.
(1)如图,在l上求作一点M,使得|AM-BM|最小;
(2)如图,在l上求作一点M,使得|AM-BM|最大;
(3)如图,在l上求作一点M,使得AM+BM最小.
3.
(1)如图,点A、B、C在直线l的同侧,在直线l上,求作一点P,使得四边形APBC的周长最小;
(2)如图,已知线段a,点A、B在直线l的同侧,在直线l上,求作两点P、Q(点P在点Q的左侧)且PQ=a,四边形APQB的周长最小.
4.
(1)已知:
如图,点M在锐角∠AOB的内部,在OA边上求作一点P,在OB边上求作一点Q,使得ΔPMQ的周长最小;
(2)已知:
如图,点M在锐角∠AOB的内部,在OB边上求作一点P,使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小.
5.如下图,由小正方形组成的L形图中,请你用三种方法分别在图中添一个小正方形,使它成为轴对称图形.
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