解方程的方法.docx

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解方程的方法

解方程的方法

篇一：

学校五班级解方程的方法详解

学校五班级解方程的方法详解

方程：

含有未知数的等式叫做方程。

如4x-3=21，6x-2（2x-3）=20方程的解：

使方程成立的未知数的值叫做方程的解。

如上式解得x=6解方程：

求方程的解的过程叫做解方程。

解方程的依据：

方程就是一架天平，“=”两边是平衡的，一样重！

1.等式性质：

（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍旧成立；

（2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍旧成立。

2.加减乘除法的变形：

（1）加法：

a+b=和则a=和－bb=例：

4+5=9则有：

4=9-55=9-4

（2）减法：

被减数a–减数b=差

则：

被减数a=差＋减数b被减数a－差=减数b例：

12-4=8则有：

12=8+412-8=4（3）乘法：

乘数a×乘数b=积

则：

乘数a=积÷乘数b乘数b=积÷乘数a例：

3×7=21则有：

3=21÷77=21÷3（4）除法：

被除数a÷除数b=商则：

被除数a=商×除数b除数b=被除数a÷商例：

63÷7=9则有：

63=9×77=63÷9

1

和－a

解方程的步骤：

1、去括号：

（1）运用乘法安排律；

（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。

2、移项：

法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；

法2——符号过墙魔法，越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。

留意两点：

（1）总是移小的；

（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。

3、合并同类项：

未知数的系数合并；常数加减计算。

4、系数化为1：

利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。

5、写出解：

未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如x=66、验算：

将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！

留意：

（1）做题开头要写“解：

”

（2）上下“=”要始终对齐

【例1】解方程：

x-5=13【例2】3（x+5）-6=18

【例3】解方程：

3（x+5）-6=5（2x-7）+2

2

解方程：

解方程练习（写出具体过程）：

（

1

）

4+x=7

（2）x+6=9（3）4+x=7+5

（

4

）

4+x-2=7x-6=9（

x-6=9+3（9）16+2x=24+x（

4x=16（12）4x+2=18

（13）24-x=15+2x6x-2=3x+10

（16）3（x+6）=2+5x30-4（x-5）=2x-16

（6）17-x=97

（8）9+3=17-x10

（11）15=3x（14）2+5x=18+3x（17）2（2x-1）=3x+103

5

）

）

）

（15）（18）（

（19）

2（x+4）-3=2+5x（20）100-3（2x-1）=3-4x（21）30+4（x-5）=2x-26（

20x-50=504）32-22

x=10

22

（23）28+64

x=88）

2（

篇二：

解函数方程的几种方法

绪论

在数学讨论的很多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了很多函数方程模型.函数方程因此始终受到广泛关注，是当今数学讨论的一个非常重要的课题.由于函数方程形式多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础学问.尤其是在中学数学教学中，函数方程是最基本、最易消失的问题，也是历年高考的重点.在中学教学和国内外数学竞赛中，常常遇到函数方程问题.这类题目一般是求解某一给定的函数方程，而数学上尚无一般方法可循.当然，较大一部分中同学在遇到这类问题时，经常没有比较清楚的解题思路.本文就着重以函数与方程的性质来商量函数方程在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述.

首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解以及解函数方程.

其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常消失的方法进行归纳并结合相应的例题解析.当然由于中学数学中考查点的不同，我们的商量也有所侧重.对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法，而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题的解题策略.

最终，就种种方法进行总结归纳.“法无定法”，关键在于人们对问题的观看、分析，进而选择最优的方法来解决问题.许多状况下，由于解决的途径并不唯一，所以在解决问题的时候一般采纳多种方法同步求解，以达到简化求解过程的目的.

1函数方程的一些相关概念

1.1函数方程的定义

含有未知函数的等式叫做函数方程.如f（x）?

f（?

x），f（?

x）?

f（x），f（x?

1）?

f（x）等，其中f（x）即是未知函数.

1.2函数方程的解

设某一函数f（x）对自变量在其定义域内的全部值均满足某已知方程，那么把f（x）就叫做已知函数方程的解.即能使函数方程成立的f（x）就叫做函数方程的解.函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解.如偶函数、奇函数、f（x）?

x?

1分别是上述各方程的解.

1.3解函数方程

求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程.即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，

或求出某些函数值，或证明这个函数所具有的其他性质.

2函数方程的常见解法

由于函数与方程的性质极多，解题的方法也形式多样，消失较为常见的有换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法、数学归纳法等等.

2.1换元法（代换法）

换元法又叫代换法或引进帮助未知数法或定义法.将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应留意使函数的定义域不发生改变），得到一个新的较为简洁的函数方程，然后挺直求解未知函数.但值得留意的是，某些换元会导致函数的定义域发生改变，这时就需要进行验证换元的可行性.

例2.1已知f（1?

cosx）?

sin2x,求f（x）.

分析此题是一个最基本的函数方程问题，要求解函数f（x）的表达式，就需要将1?

cosx和sin2x进行转化.当然，我们可以先用换元法把x,y用t代替，消去x,y，就得到一个关于t的解析式，再用x替代t，于是得解.但这里我们还给出了另外的解法，就是用y?

f（x）的参数表达式进行求解.

解法一令1?

cosx?

t,所以

x?

?

1t，cos

由于

?

1?

cosx?

1,

所以

0?

1?

cosx?

2,

即

0?

t?

2.

又由于

f（1?

cosx）?

sinx?

1?

cosx22,

所以

f（t）?

1?

（1?

t）?

?

t?

2t22，（0?

t?

2），

故

，（0?

x?

2）.

解法二设所求函数y?

f（x）的参数表达式x?

1?

cots，

2y?

sint，f（x）?

?

x?

2x2

即得

t?

?

1x，cos

（1）

2t?

y.sin

（2）

（1）?

（2），消去参数t，得

（1?

x）?

y?

1，22

整理，得

y?

?

x2?

2x，x?

[0,2]，

即

f（x）?

?

x?

2x2,x?

[0,2].

在本题中，由于三角函数可以相互转化，很简单看出1?

cosx与sin2x之间的联系，然后挺直利用换元法进行转化，但考虑到x（或t）的定义域，这个环节一般简单出错.故一般采纳后面介绍的参数法相对来说也就简洁多了.

2.2赋值法

赋值和代换是确定适合函数方程的函数性质的基本方法，依据所给条件，在函数定义域内赋与变量一个或几个特别值，使方程化繁为简，从而使问题获解.

例2.2.1函数f:

N?

N?

（N?

为非负整数），满足：

（i）对任意非负整数n，有f（n?

1）?

f（n）；

（ii）对任意m,n?

N?

，有f（n?

f（m））?

f（n）?

m?

1.

求f（2021）的值.

分析本题欲求f（2021）的值，则须了解f（n）有什么性质.由条件（i）、（ii）可以联想到f（0）的取值是本题的关键，而分别利用条件（i）、（ii）进行推导，并结合反证法推出冲突，得到f（0）的唯一值，进而得解.

解令f（0）?

k，其中k为非负整数.由（ii）得

f（n?

k）?

f（n）?

.

（1）1

若k?

0，则

f（n）?

f（n）?

1，

冲突.故k?

0，由（i）有

f（n?

k?

1）?

f（n?

k）?

f（n）?

1.

（2）若k?

1，则

n?

k?

1?

n?

1，

于是由（i），得

f（n?

k?

1）?

f（n?

1）?

f（n）?

1，（3）但

（2）与（3）冲突，故k?

1是惟一解.当k?

1时，式

（1）为

f（n?

1）?

f（n）?

1，

此函数满足条件（i）、（ii），所以得惟一解f（2021）?

2021.

例2.2.2解函数方程f（x?

y）?

f（x?

y）?

2f（x）cosy.

分析此题是函数方程里较为典型的一个问题，在许多文章中都有提到.本题中方程含有x,y两个未知数，对于一个方程，首先想到的就是消元，考虑到三角函数cosy的特别性质，可用一些比较特别的值分别去代换x,y，再求得f（x）的表达式.

解在原方程中令x?

0,y?

t得

f（t）?

f（?

t）?

2f（0）cost，

（1）再令x?

?

2?

t,y?

?

2得

f（?

?

t）?

f（t）?

0，

（2）又再令x?

?

2,y?

?

2?

t得

f（?

?

t）?

f（?

t）?

?

2f（?

2）sint，（3）

（1）+

（2）-（3）得

f（t）?

f（0）cost?

f（?

2）sint.

令a?

f（0），b?

f（）并将t换成x得2?

f（x）?

acosx?

bsinx,（a,b均为任意常数）.

代入

（1）式验证

f（x?

y）?

f（x?

y）

?

acos（x?

y）?

bsin（x?

y）?

acos（x?

y）?

bsin（x?

y）?

2acosxcosy?

2bsinxcosy

?

2cosy（acosx?

bsinx）

?

2f（x）cosy.

所以f（x）是函数方程

（1）的解.

赋值法是很特别的一种方法，首先它考验人们的“视力”，即依据所给出的式子找出其规律；其次，就是“笔力”即计算方面的力量，所赋的值即某些特别值要有助于解题；最终，不难看出赋值法其实就是与代换法、消元法等方法相结合的一种方法.如例2.2.1就是赋值法与反证法相结合，例2.2.2是赋值法、代换法、消元法结合的典型.

2.3迭代周期法（递推法）

函数迭代是一类特别的函数复合形式.一般由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法.

例2.3.1对任意正整数k，令f（k）定义为k的各位数字和的平方，求2021f（11）.

分析本题是迭代的简洁运用题，由“f（k）定义为k的各位数字和的平方”入手，可以找出11与函数方程以及函数值之间的关系，结合数列相关学问通过n次迭代从而求解.

解由已知有f1（11）?

（1?

1）2?

4，

f（11）?

f（f（11））?

f（4）?

16，

f（11）?

f（f（11））?

f（16）?

（1?

6）?

49，

f（11）?

f（f（11））?

f（49）?

（4?

9）?

169

542

6524323222，f（11）?

f（f（11））?

f（169）?

（1?

6?

9）?

256，f（11）?

f（f（11））?

f（256）?

（2?

5?

6）?

169，

?

从而当n为大于3的奇数时，

f（11）?

256，n

当n为大于3的偶数时，

f（11）?

169，n

故

f2021（11）?

256.

例2.3.2设f（x）定义在自然数集N上，且对任意x,y?

N，都满足,f（x?

y）?

f（x）?

f（y）?

xy，求f（x）.f

（1）?

1

解令y?

1,得

f（x?

1）?

f（x）?

x?

1，

再依次令x?

1,2?

n?

1,有

f

（2）?

f

（1）?

2，

f（3）?

f（2?

），

?

f（n?

1）?

f（n?

2）?

n（?

，1

f（n）?

f（n?

1）?

，n

依次代入，得

f（n）?

f

（1）?

2?

3?

?

?

（n?

1）?

n?

n（n?

1）

2，

所以

f（x）?

x（x?

1）

2，（x?

N?

）.

前面的例2.3.1仅是迭代的入门题，可以挺直依据函数方程找出函数值之间的关系，然后通过n次迭代进行求解.而在迭代问题中，很大一部分题目并不是仅借助迭代的思想来解决的，而是综合所学学问进行求解.如例4.2就是给予一些特别值，再利用递推法简化问题，从而求解.

2.4待定系数法

待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，且已知所求函数解析式的类型，可先设出一个含有特定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）而求出待定系数的值，或者消退这些待定系数，使问题得以解决.

例2.4.1已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]?

4x?

1,求f（x）.

解由于f（x）是一次函数，不妨设f（x）?

ax?

b（a?

0），又由于

f[f（x）]?

4x?

1，

所以

f（ax?

b）?

a（ax?

b）?

b?

4x?

1,

即

ax?

ab?

b?

4x?

1，2

于是有

篇三：

学校解方程方法及练习题-特别好

学校四班级解方程的方法详解

方程：

含有未知数的等式叫做方程。

如4x-3=21，6x-2（2x-3）=20方程的解：

使方程成立的未知数的值叫做方程的解。

如上式解得x=6解方程：

求方程的解的过程叫做解方程。

解方程的依据：

方程就是一架天平，“=”两边是平衡的，一样重！

1.等式性质：

（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍旧成立；

（2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍旧成立。

2.加减乘除法的变形：

（1）加法：

a+b=和则a=和－bb=和－a

例：

4+5=9则有：

4=9-55=9-4

（2）减法：

被减数a–减数b=差则：

被减数a=差＋减数b被减数a－差=减数b

例：

12-4=8则有：

12=8+412-8=4（3）乘法：

乘数a×乘数b=积则：

乘数a=积÷乘数b乘数b=积÷乘数a

例：

3×7=21则有：

3=21÷77=21÷3（4）除法：

被除数a÷除数b=商则：

被除数a=商×除数b除数b=被除数a÷商

例：

63÷7=9则有：

63=9×77=63÷9解方程的步骤：

1、去括号：

（1）运用乘法安排律；

（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。

2、移项：

法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。

留意两点：

（1）总是移小的；

（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。

3、合并同类项：

未知数的系数合并；常数加减计算。

4、系数化为1：

利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。

5、写出解：

未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如x=66、验算：

将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！

留意：

（1）做题开头要写“解：

”

（2）上下“=”要始终对齐

1

【例1】

x-5=13x-5=13

法1解：

x-5+5=13+5法2解：

x=13+5x=18x=18

【例2】

3（x+5）-6=183（x+5）-6=18

法1解:

3x+3×5-6=18法2解：

3x+3×5-6=183x+15-6=183x+15-6=183x+9=183x+9=18

【例3】

解:

3x+9-9=18-93x=18-9

3x=93x=9

3x÷3=9÷3x=9÷3x=3x=33（x+5）-6=5（2x-7）+2

1.去括号：

3x+3×5-6=5×2x-5×7+23x+15-6=10x-35+23x+9=10x-33

2.移项：

33+9=10x-3x（留意：

移小的，如-33,3.合并同类项：

42=7x

4.系数化为1：

42÷7=7x÷76=x5.写出解：

x=6

6.验算：

3×（6+5）-6=5（2x6-7）+2

3×11-6=5×5+2

27=27√

2

3x）

解方程练习（写出具体过程）：

4+x=7x+6=94+x=7+5

4+x-2=7x-6=917-x=9

x-6=9+3

4x=16

24-x=15+2x

3（x+6）=2+5x

2（x+4）-3=2+5x

20x-50=50

9+3=17-x15=3x2+5x=18+3x2（2x-1）=3x+10100-3（2x-1）=3-4x28+6x=883

16+2x=24+x4x+2=186x-2=3x+1030-4（x-5）=2x-1630+4（x-5）=2x-2632-22x=10

24-3x=310x×（5+1）=6099x=100-x

36÷x=18x÷6=1256-2x=20

36÷x-2=16

4y+2=6

16+8x=40

8x-3x=105

2（x+3）+3=13

56x-50x=30

32y-29y=3

x÷6+3=9x+32=762x-8=8x-6×5=42+2x12x-9x=95x=15（x-5）5（x+5）=154

56-3x=20-x3x+6=184x-3×9=292x+5=7×36x+18=4878-5x=2889–9x=80

100-20x=20+30x55x-25x=6076y÷76=1

23y÷23=234x-20=080y+20=100-20y

53x-90=162x+9x=1112（y-1）=24

80÷5x=100

19y+y=40

42x+28x=140

80y-90=70÷309÷（4x）=1

51y-y=100

7x÷8=1425-5x=153x-1=8-2x78y+2y=16020x=40–10x85y+1=y+865

65x+35=10079y+y=8090y-90=90-90y88-4x=80-2x65y-30=10045x-50=40-45x

《解方程的方法》由：

创业找项目整理

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