高考理科数学一轮总复习等差数列及其前n项和学生版.docx

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高考理科数学一轮总复习等差数列及其前n项和学生版

2020年高考理科数学一轮总复习

等差数列及其前n项和

[基础梳理]

1．等差数列的有关概念

（1）定义：

①文字语言：

从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．

②符号语言：

an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）．

（2）等差中项：

数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝

，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

（1）通项公式：

an＝a1＋（n－1）d.

（2）前n项和公式：

Sn＝na1＋

d＝

.

3．等差数列的性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．

（4）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

1．两个重要技巧

（1）若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.

（2）若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

2．三个必备结论

（1）若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；②S偶－S奇＝nd，

＝

.

（2）若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝（2n＋1）an＋1；②

＝

.

（3）在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则满足

的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1＜0，d＞0，则满足

的项数m使得Sn取得最小值Sm.

3．两个函数

等差数列{an}，当d≠0时，an＝dn＋（a1－d），是关于n的一次函数；

Sn＝

n2＋（a1－

）n是无常数项的二次函数．

[四基自测]

1．（教材改编）已知数列{an}中，an＝3n＋4，若an＝13，则n等于（　　）

A．3　　　　　B．4

C．5D．6

2．已知等差数列{an}满足：

a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为（　　）

A．1　　　　　　　　B．2

C．3D．4

3．（教材改编）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8＝（　　）

A．18B．36

C．54D．72

4．在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．

5．已知等差数列5,4

，3

，…，则前n项和Sn＝________.

考点一　等差数列的性质及基本量的运算

角度1　用等差数列的基本量a1和d进行计算

[例1]　

（1）（2018·高考全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（　　）

A．－12　　　　　　B．－10

C．10D．12

（2）已知等差数列{an}的各项都为整数，且a1＝－5，a3a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝（　　）

A．70B．58

C．51D．40

角度2　用等差数列性质进行计算

[例2]　

（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝（　　）

A．3B．9

C．18D．27

（2）（2019·河北唐山第二次模拟）设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（　　）

A．2X＋Z＝3YB．4X＋Z＝4Y

C．2X＋3Z＝7YD．8X＋Z＝6Y

等差数列的计算技巧

方法

解读

适合题型

基本量法

用a1和d表示条件和所求，用方程思想求出a1和d

五个基本量，a1，d，Sn，n，an中知三求二

性质法　

用等差数列的性质将已知和所求联系起来，用性质表示an和Sn

当已知中有“an＋am”式的表达式

1．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为（　　）

A．－3B．－

C．－2D．－4

2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝（　　）

A．11B．10

C．7D．3

3．等差数列{an}中，3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24，则该数列的前13项和为（　　）

A．13B．26

C．52D．156

考点二　等差数列的判定与证明

角度1　用等差数列定义证明

[例3]　（2019·南京模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0（n≥2），a1＝

.

（1）求证：

是等差数列．

（2）求an的表达式．

角度2　用等差中项法证明

[例4]　已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.

（1）若S3，S9，S6成等差数列，求证：

a2，a8，a5成等差数列；

（2）若am＋2是am＋1和am的等差中项，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列吗？

判定数列{an}是等差数列的常用方法

（1）定义法：

对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．（证明用）

（2）等差中项法：

对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.（证明用）

（3）通项公式法：

数列的通项公式an是n的一次函数．

（4）前n项和公式法：

数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.

提醒：

判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．

　将本例1条件变为“数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），2Sn－nan＝n，”求证：

{an}为等差数列．

考点三　等差数列前n项和及综合问题

[例5]　

（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

①求{an}的通项公式；

②求Sn，并求Sn的最小值．

（2）已知数列{an}满足a1＝2，n（an＋1－n－1）＝（n＋1）（an＋n）（n∈N*）．

①求证数列

是等差数列，并求其通项公式；

②设bn＝

－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.

关于等差数列前n项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为：

（1）定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．

（2）定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法．

求和：

用哪个公式，需要哪些量．

②求Sn最值：

（ⅰ）借助Sn的二次函数法；

（ⅱ）借用通项的邻项变号法

a1>0，d<0，满足

Sn取得最大值Sm；

a1<0，d>0，满足

，Sn取得最小值Sm.

1．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（　　）

A．21　　　　　　B．20

C．19D．18

2．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*），它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝

an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．

数学建模——传统文化中的数列的学科素养

在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养.

[例1]　《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：

某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（　　）

A.

尺　　　　　　　　　B.

尺

C.

尺D.

尺

[例2]　中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：

“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：

把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（　　）

A.174斤B．184斤

C.191斤D．201斤

课时规范练

1．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝

，则a1＝（　　）

A．－1　　　　　　　　B．0

C.

D.

2．等差数列{an}中，a1＝1，an＝100（n≥3）．若{an}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为（　　）

A．3,7,9,15,100B．4,10,12,34,100

C．5,11,16,30,100D．4,10,13,43,100

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（　　）

A．5B．7

C．9D．11

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8－S4＝36，a6＝2a4，则a1＝（　　）

A．－2B．0

C．2D．4

5．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝（　　）

A．12B．13

C．14D．15

6．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）

A．100B．99

C．98D．97

7．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a

＝0，S2n－1＝38，则n等于__________．

8．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．

9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

（1）求a及k的值．

（2）已知数列{bn}满足bn＝

，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝

（n∈N*，n≥2），数列{bn}满足关系式bn＝

（n∈N*）．

（1）求证：

数列{bn}为等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式．