版《试吧》高中全程训练计划数学文天天练27.docx

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版《试吧》高中全程训练计划数学文天天练27

天天练27　直线与平面的平行与垂直

小题狂练

一、选择题

1．[2019·湖北省重点中学一联]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

答案：

D

解析：

选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，平行，或垂直，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，因此D正确．故选D.

2．有下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案：

A

解析：

命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确．

3．[2019·泉州质检]已知直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：

B

解析：

因为直线a，b不一定相交，所以a∥β，b∥β不一定能够得到α∥β；而当α∥β时，a∥β，b∥β一定成立，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．

4．已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（　　）

A．0条B．1条

C．2条D．无数条

答案：

B

解析：

连接AC，A1C1，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD，故选B.

5．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是（　　）

A．PA⊥BCB．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PBD．PC⊥BC

答案：

C

解析：

由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，FA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B，D正确．

6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（　　）

A．2条B．4条

C．6条D．8条

答案：

C

解析：

如图，过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG内（其中D，E，F，G分别为三棱柱棱的中点），易知经过D，E，F，G中任意两点的直线共有C＝6条，故选C.

7．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝（　　）

A.B.

C.D.

答案：

D

解析：

连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.因为AD∥BC，AD＝BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.

8．[2019·四川资阳模拟]在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，AB＝AC＝1，PA＝，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（　　）

A.B.

C.D.

答案：

D

解析：

如图，∵PA⊥底面ABC，∴∠PAB＝∠PAC＝90°.又AB＝AC＝1，PA＝，∴△PAB≌△PAC（SAS），∴PB＝PC.

取BC中点D，连接AD，PD，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面PAD.

∴平面PAD⊥平面PBC.

过点A作AO⊥PD于点O，可得AO⊥平面PBC，

∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成的角．

在Rt△PAD中，AD＝ABsin30°＝，PA＝，PD＝＝，

sin∠APD＝＝.故选D.

二、非选择题

9．[2019·杭州模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.

答案：

解析：

根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.

10．已知α，β表示两个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，且m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：

①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∃n⊂α，m⊥n.

则上述结论正确的为______．（写出所有正确结论的序号）

答案：

②③

解析：

由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，则n⊂β或n∥β或n与β相交，所以①不正确；∀n⊂β，则由直线与平面垂直的性质定理，知m⊥n，②正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，③正确．

11．[2019·青岛模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）

答案：

DM⊥PC（或BM⊥PC等）（不唯一）

解析：

如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC（或BM⊥PC等）时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

12．[2019·河北定州中学模拟]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________（将符合题意的选项序号填到横线上）．

①AG⊥△EFH的在平面；②AH⊥△EFH所在平面；

③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．

答案：

①③④

解析：

根据条件AH⊥HE，AH⊥HF，所以AH⊥平面EFH，故AG不可能垂直平面EFH，所以①错误；②正确；③若HF⊥△AEF所在平面，则HF⊥AF，显然一个三角形中不能有两个直角，错误；④若HG⊥△AEF所在平面，则△AHG中有两个直角，错误，故填①③④.

课时测评

一、选择题

1．[2019·重庆六校联考]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案：

D

解析：

对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.

2．[2019·河北武邑月考]如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．PB⊥AC

B．PD⊥平面ABCD

C．AC⊥PD

D．平面PBD⊥平面ABCD

答案：

B

解析：

如图，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.

∵在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，

∴AO⊥PB，CO⊥PB.

∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC.

∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立．

对于选项B，∵AC⊥BD，AC⊥PB，BD∩PB＝B，∴AC⊥平面PBD.

设AC∩BD＝M，连接PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直．

对于选项C，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB.

∵AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，

∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立．

对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，

∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立，故选B.

3．[2019·长沙模拟]如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC、CF、BE、BF、CE（如图2），在折起的过程中，下列说法错误的是（　　）

A．AC∥平面BEF

B．B、C、E、F四点不可能共面

C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD

D．平面BCE与平面BEF可能垂直

答案：

D

解析：

A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，易证四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B、C、E、F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG、EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．综上，选D.

4．[2019·湖北八校联考]如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ACD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BCD

D．平面ACD⊥平面ABD

答案：

D

解析：

由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.

5．[2019·荆州模拟]如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（　　）

A．KB．H

C．GD．B′

答案：

C

解析：

取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM綊CC′綊KF，得四边形EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF，故与平面PEF平行的棱超过2条；HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H或P＝B′，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足条件；连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若P＝G，则AB，A′B′与平面PEF平行．故选C.

6．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是（　　）

A．当AE⊥PB时，△AEF一定是直角三角形

B．当AF⊥PC时，△AEF一定是直角三角形

C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定是直角三角形

D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定是直角三角形

答案：

B

解析：

由PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，BC⊥AE.又AE⊥PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，故A正确；当EF∥平面ABC时，因为EF⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，所以EF∥BC，故EF⊥平面PAB，AE⊥EF，故C正确；当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，故D正确．故选B.

7．[2019·广西南宁模拟]已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（　　）

A.B.

C.D.

答案：

A

解析：

如图，设△ABC的中心为E，M为AB的中点，过球心O作OD⊥PA，则D为PA的中点．由题意可得CM⊥平面PAB，∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成的角．

∵△ABC是边长为2的等边三角形，

∴OD＝AE＝CM＝.

∵π·OP3＝，

∴OP＝，∴PA＝2PD＝2＝.

∴PM＝＝.

∴tan∠CPM＝＝.故选A.

8.

如图，在以角C为直角顶点的三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，PA⊥平面ABC，F为PB上的点，在线段AB上有一点E，满足BE＝λAE.若PB⊥平面CEF，则实数λ的值为（　　）

A.B.

C.D.

答案：

C

解析：

∵PB⊥平面CEF，CE⊂平面CEF，∴PB⊥CE，又PA⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴PA⊥CE，而PA∩PB＝P，∴CE⊥平面PAB，∴CE⊥AB，∴λ＝＝＝＝.

二、非选择题

9.

如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，且A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．

答案：

MN∥平面BB1C1C

解析：

如图，连接AM并延长，交BB1的延长线于点P，连接CP，

则由已知可得AA1∥BB1，所以＝＝，又＝，所以＝＝，所以MN∥PC，故有MN∥平面BB1C1C.

10．[2019·黄冈质检]如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________．

答案：

①②③

解析：

①由于PA⊥平面ABC，因此PA⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，这与AF，AE有公共点A矛盾，故AE⊥平面PBC不成立．故正确的结论为①②③.

11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明：

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.

在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.

又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F.

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.

又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.

又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，

所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.