设椭圆的两个焦点分别为F1之欧阳育创编.docx
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设椭圆的两个焦点分别为F1之欧阳育创编
1、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△FlPF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( ) 2.设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 ( ) A.±2 B.± C.± D.± 3.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)‖x|<11,且|y|<9}内的椭圆个数为 ( ) A.43 B.72 C.86 D.904.设直线l与椭圆=1相交于A、B两点,l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点,C、D三等分线段AB,求直线l的方程 ( ) 5.设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(1)确定A的取值范围,并求直线AB的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的A,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?
并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)1.已知双曲线x2-=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且,则点M到x轴的距离为 ( ) 2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为(O为原点),则两条渐近线的夹角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90°1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( ) A.有且仅只有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 2.设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.
(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?
证明你的结论; (Ⅱ)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围. [考场错解] (Ⅱ),设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b,过点A、B的直线方程可写为y=与y=2x2联立得2x2+x-m=0.得x1+x2=-;设AB的中点N的坐标为(x0,y0)则x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m.由N∈l,得+m=-+b,于是b=即得l在y轴上截距的取值范围为[]. [专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m>,无法进一步求出b的范围,只好胡乱地把m当作大于或等于0. [对症下药]
(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1、y2不同时为0,∴上述条件等价于yl=y2x12=x22(x1+x2)(x1-x2)=0; ∵x1≠x2,∴上述条件等价于 x1+x2=0. 即当且仅当x1+x2=0时,l经过抛物线的焦点F。
(Ⅱ)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=-x+m,所以x1、x2满足方程2x2+x-m=0,得x1+x2=-; A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式+8m>0,即m>设AB的中点N的坐标为(x0,y0),则x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m 由N∈l,得+m=-+b,于是b=+m> 即得l在y轴上截距的取值范围为(,+∞).3.如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数. [考场错解]
(1)当y=时,x=又抛物线的准线方程为x=-P,由抛物线定义得,所求距离为 (Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0)故kPA= (x1≠x0).同理可得kpB=(x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2(yl+y2)故 设直线AB的斜率为kAB。
由y22=2px2,y21=2px1相减得(y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故kAB=将y1+y2=-y0(y0>0)代入得kAB=-故kAB是非零常数. [专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程,②计算不够准确. [对症下药]
(1)当y=时,x=,又抛物线y2=2px的准线方程为x=,由抛物线定义得,所求距离为-(-)= (Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB由y12=2px1,y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0),故kPA=(x1≠x0).同理可得kPB=(x2≠x0).由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB,即=-,所以yl+y2=-2y0,故=-2. 设直线AB的斜率为kAB由y22=2px2,y21=2pxl相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1),所以 将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得 所以kAB是非零常数. 4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).
(1)求△AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?
若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. [考场错解](Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则 ∵OAx1x2+yly2=0
(2)又点A、B在抛物线上,有y1=x12,y2=x22代入
(2)化简得xlx2=0或-1∴y=[(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+或3x2,故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+.[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时,△AOB不存在[对症下药](Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则 又点A、B在抛物线上,有y1=x12,y2=x22代入
(2)化简得xlx2=-1∴y=[(x1+x2)2-2x1x2]==3x2+所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+ (Ⅱ)S△AOB= 由
(1)得S△AOB= 当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时,等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值,最小值为1。
专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程,注意分类讨论思想。
凡涉及抛物线的弦长,弦的中点,弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。
解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。
∴(x1,yl-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2,由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,所以消去x2得 [专家把脉]
(1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0. [对症下药]
(1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组 有两个不同的实数解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x+2a2x-2a2=0所以解得0且e≠,即离心率e的取值范围为()∪(). (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2,由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,所以x2=-,消x2,得-,由a>0,所以a= 2.给定抛物线C:
y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点
(1)设l的斜率为1,求与夹角的大小;(Ⅱ)设,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围. [考场错解]
(1)设与夹角为α;由题意l的方程为了y=x-1,将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1,y1)B(x2,y2)则有x1+x2=6,x1x2=1.易得•=x1x2+y1y2=-3,cosα=∴α=-arccos(Ⅱ)由题意知,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为A'、B'. ∴|FB|=|BB'|,|AF|=|AA'|∴|BB’|=λ|AA'|,λ∈[4,9]设l的方程为y=k(x-1)由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0 ∴x=∴|AA'|=+l= |BB'|= [专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义.(Ⅱ)思路不清晰.[对症下药]
(1)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为了y=x-1.将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有xl+x2=6,x1x2=1. =(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3. 所以与夹角的大小为π-arccos(Ⅱ)由题设得(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1),即由②得y22=λ2y21.∵y21=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1③联立①、③解得x2=λ,依题意有λ>0,∴B(λ,2 )或B(λ,-2 ),又9(1,0),得直线
(2)当|PF1|=|F1F2|时,同理可得解得e2=3于是λ=1-3=-2. (3)当|PF2|=|F1F2|时,同理可得=4c2解得e2=1 于是λ=1-1=0综上所述,当λ=或-2或0时△PF1F2,F2为等腰三角形. [专家把脉]
(1)没有注意到因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|
(2)没有注意到椭圆离心率的范围. [对症下药]
(1)证法一:
因为A、B分别是直线l:
y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(-)(0,a). 由 所以点M的坐标是(-c,),由得(-c+)=λ(,a). 即 证法二:
因为A、B分别是直线l:
y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(-,0),(0,a),设M的坐标是(x0,y0),由得(), 所以因为点M在椭圆上,所以=1, 即e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0,解得e2=1-λ 即λ=1-e2. (Ⅱ)解法一:
因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即|PF1|=c. 设点F1到l的距离为d,由|PF1|=d, =,得 =e.所以e2=,于是λ=1-e2=.即当λ=时,△PF1F2为等腰三角形.解法二:
因为PF1⊥l,所以,∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0,y0),则解得由|PF1|=|FlF2|得=4c2,两边同时除以4a2,化简得=e2.从而e2=于是λ=l-e2=.即当λ=时,△PF1F2为等腰三角形. 4.抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1). (Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线AB上一点M满足=λ,证明线段PM的中点在y轴上(Ⅲ)当A=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围. [考场错解]
(1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(,0)准线方程为x=- (Ⅲ)∵P(-1,1)在y=ax2上,故a=-1∴y=-x2由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2,y2=(k2+1)2,因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1-1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k21+2k1-1)于是=(k1+2,k21+2k1),=(2k1,4k1),2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,故必有•<0易得k1的取值范围是k1<-2或 (1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(0,),准线方程为y=-. (Ⅱ)证明: 设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0).点P(x0,y0)和•点A(x1,y1)的坐标是方程组 的解.将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0,于是x1+x0=,故x1=-x0③又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组 的解.将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0=,故x2=-x0,由已知得,k2=-λkl,则x2=⑥设点M的坐标为(xM,yM),由=λ,则xM=.将③式和⑥式代入上式得x0,即xM+x0=0.所以线段PM的中点在y轴上. (Ⅲ)因为点P(1,-1)在抛物线y=ax2上,所以a=-1,抛物线方程为y=-x2.由③式知x1=-k1-1,代入y=-x2得y1=-(k1+1)2.将λ=1代入⑥式得x2=k1-1,代入y=-x2得y2=-(k2+1)2.因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1,-1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k12+2k1-1).于是=(k1+2,k12+2k1),=(2K1,4K1),=2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,故必有<0.求得k1的取值范围是k1<-2或- 命题角度5对轨迹问题的考查 1.(典型例题)已知双曲线的中心在原点,离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合,则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( ) A.2 B. C.18+12 D.21[考场错解] C [专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻. [对症下药] B 设双曲线方程为=1,由题意得则a=b=,则双曲线方程为=1,由得A(3,2),故交点到原点的距离为 2.(典型例题)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足=x2,则点P的轨迹是 (Ⅱ)直线l1: kx-y=0 直线l2: kx+y=0由题意得 •=d2即=d2 ∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0 (Ⅲ)略 [专家把脉] 没有很好地理解题意,第二问出现两解,致使第三问过于复杂难以完成.[对症下药] 解: (I)W1={(x,y)|kx kx-y=0直线l2: kx+y=0,由题意得•=d2,即=d2,由P(x,y)∈W,知k2x2-y2>0,所以=d2,即k2x2-y2-(k2+1)d2=0,所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0; (Ⅲ)当直线J与,轴垂直时,可设直线J的方程为,x=a(a≠0).由于直线l,曲线C关于x轴对称,且l1与l2关于x轴对称,于是M1M2,M3M4的中点坐标都为(a,0),所以△OM1M2,△OM3M4的重心坐标都为(a,0),即它们的重心重合,当直线l1与x轴不垂直时,设直线J的方程为y=mx+n(n≠0).由,得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0在△QF1F2中故有x2+b2=a2(x=±a) (Ⅲ)C上存在M(x0,y0)使s=b2的充要条件是: 又=(-C-x0-y0),=(c-x0,y0)由•=x02-c2+y20=a2-c2=b2即cos∠F1MF2=b2又s=sin∠FlMF2得tan∠FlMF2=2 [专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式 (2)思考问题不够全面.[对症下药] (1)证法一: 设点P的坐标为(x,y).由P(x,y)在椭圆上,得 2由|x|≤a,知a+≥-c+a>0,所以=a+x.新课标第一网证法二: 设点P的坐标为(x,y).记 则r1=,r2=.由r1+r2=2a,r21-r22=4cx,得=r1=a+.证法三: 设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程a+=0.由椭圆第二定义得即 由x≥-a,知a+≥-c+a>0,所以=a+ (Ⅱ)解法一: 设点T的坐标为(x,y).当=0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上.当且时,由=0,得又,所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中,=a,所以有x2+y2=a2综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2解法二: 设点T的坐标为(x,y).当||=0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上.当且时,由又||=||,所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为(x',y'),则因此①由=2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②将①代入②,可得x2+y2=a2.综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2 (Ⅲ)解法一: C上存在点M(x0,y0)使S=b2的充要条件是 由③得,|y0|≤a,由④得,|y0|≤,所以,当a≥时,存在点M,使S=b2;当a<时,不存在满足条件的点M.当a≥时,=(-c-c0,-y0),=(c-c0,-y0),由•=x02-c2+y20=a2-c2=b2, 解法二: C上存在点M(x0,y0)使S=b2的充要条件是 由④得|y0|,上式代入③得x20=a2-=(a-)(a+)≥0.于是,当a≥时,存在点M,使s=b2;当a<时,不存在满足条件的点M.当a≥时,记k1=kF1M= 由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°,所以tan∠F1MF2==2.专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来,实质上是一个翻译过程,故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键,往往和研究曲线几何性质,讨论直线与曲线位置关系等联系在一起. (2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除. 故舍去综上所述: 当x=时d取得最小值 [专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性,致使思路不清晰,计算繁琐. [对症下药] [解] (1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4) 设点P(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y),由已知可得 则2x2+9x-18=0,x=或x=-6.由于y>0,只能x=,于是y= 点P的坐标是() (2)直线AP的方程是x-+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.于是=|m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有,d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15,由于-6≤m≤6,∴当x=时,d取得最小值 2.如图,直线y=x严与抛物线y=x2-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q. (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值. [考场错解] (1)略(Ⅱ)由 (1)得Q(5,-5) 直线OQ的方程为x+y=0设P(x, -4)∵点P到直线OQ的距离d= ∵-4≤x≤8.∴S△OPQ最大值=|(-4+4)2-48|=15 [专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法. [对症下药] (1)解方程组,得即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1),由,得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5). (2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,-4),∵点P到直线OQ的距离d= ∵P为抛物线上位于线段AB下方点,且P不在直线OQ上.∴-4≤x<4-4或4-4 (Ⅰ)动点户的轨迹方程; (Ⅱ)的最小值与最大值. [考场错解] (1)①若l的斜率存在,设为k,则l: y=kx+1代入4x2+y2=4中得,(k2+4)x2+2kx-3=0 ∴x1+x2= i)A=0时,x=0 y=1,∴P(0,1) ii)k≠0时,k=∴P点的轨迹为: x2+y2-y=0(y≠O)②若l不存在斜率,∴A、B为上、下顶点.∴P(0,0) (2)解: ∵N(),i),∵k不存在时P(0,0),ii)k=0时P(0,1). iii)k≠0时x2+(y-)2=。 又∵N()max=2r=1 ∴min=0. [专家把脉] 思路不清晰.[对症下药] (1)解法一: 直线l过点M(0,1),设其斜率为A,则J的方程为y=kx+1.记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组的解.将①代入②并化简得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 于是 设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得4x2+y2-y=0. ③当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0解法二: 设点P的坐标为(x,y),因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上,所以 ④⑤④-⑤得所以(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0当x1≠x2时,有⑥并且⑦将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧当x1=x2时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点p的坐标为(0,0)也满足⑧,所以点P的轨迹方程为 (Ⅱ)解法: 由点P的轨迹方程知x2≤。 即-≤x≤所以 故当x=时,取得最小值,最小值为,当x=时,取得最大值,最大值为 由消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③则 的取值范围是[2,+∞]. [专家把脉] (1)没有注意“杂点”的去除;(Ⅱ)没有注意利用重要不等式时等号成立的条件. [对症下药] 解法: (1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0),依题意x1≠0,yl>0,y2>0.由y=x2,①得y'=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1,∵x1=0不
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- 椭圆 两个 焦点 分别 F1 欧阳 创编