量子力学导论第4章答案参考资料.docx
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量子力学导论第4章答案参考资料
第四章力学量用算符表达与表象变换
F均可
11
4.1)设A与B为厄米算符,则—ABBA和AB一BA也是厄米算符。
由此证明,任何一个算符
22i
分解为f=F.•iFF与F_均为厄米算符,且
证:
i)1ABBA
1-ABBA为厄米算符。
ii)扌AB一BA
111
二—BA-AB二丄BA-AB二丄AB-BA-2i2i2i
二1(AB-BA)也为厄米算符。
iii)令F二AB,则F二AB=BA;=BA,
由i),ii)得F.=F,F_=F_,即卩F和F_皆为厄米算符。
则由
(1)式,不难解得FiF
4.2)设F(x,p)是x,p的整函数,证明
整函数是指F(X,p)可以展开成F(X,p)=vCmnXmpn。
m,n=0
证:
(1)先证p,xmL-mixm4,X,pn]二nipn/。
p,xm]=xm4lp,x「p,xm4x
ixm4xm^ip,xkp,xmQx2
--2ixm4xm:
b,x殳2b,xm;x3
=-3ixm4■'p,xm^x3二…
=-m-1i乂心■b,xm—zxm_
--m-1ixm4-ixmJ二mixm4
同理,
X,pn.1-pn二X,pZ-X,pnJIp
=i*pn'+pn~IX,p】p+X,pn~】p2
=2i%n」+k,pn,】p
2
=n卷pn」
现在,
Ip,F]=|P,hCmnX”
=送Cmnb,XmIp"
Cmn-mixmJpn
m,n兰
:
F7
而-i——Cmn-mixmJpn。
-Xm,n£
「°o
X,F丄X,VCmnXm|m,n=0
二'CmnXmnid」
m,n=0
CmnXmnipn°
m,n=0
&,FI-i亠F
cp
4.3)定义反对易式A,^-ABBA,证明
Ab,c亠aB,c-A,Cl.BA,BC-A,Bl.c-b'-a,c1.
证:
Ab,c丄aB,c〔-A,cB
=ABC-ACBACB-CAB二ABCCB-ACCAB
二aB,cI-A,c1B
A,BCI-A,BCBA,cl-ABC-BACBAC-BCA
-iABBAC-BACCA1=A,B丨C-B〔A,C1.
4.4)设A,B,C为矢量算符,A和B的标积和矢积定义为
AB="A
:
■,:
=x,y,z,;一:
为Levi-civita符号,试验证
ABC二AB--AB|C
(1)
&
ABCLAB_C一ABC
(2)
'-ABC〔.=ABC-ABC(3)
证:
(1)式左端二ABC二AxByCz-ByCzAyBzCx-BxCzAzBxCy-ByCx
电冷A^BpCY
(1)式右端也可以化成ABC.la.B:
C。
(1)式得证。
(2)式左端二ABCI.=ABC-ABC■(:
=1,'=2,=3)
=A,;B-.C:
…B-:
C-A、.”BC-B-.C=A’B-.CAB-.C…A-B-ABC-.
(2)式右
端二AB.C-ABC.
=ABC:
A-:
B:
C-:
AB-C-A:
.B:
C:
-A-:
BC:
-ABC:
=A:
B:
C:
AB.C-A:
B:
ABC:
故
(2)式成立。
(3)式验证可仿
(2)式。
4.5)设A与B为矢量算符,F为标量算符,证明
F,AB=F,ABAF,B〔
(1)
F,AB」F,A】BAF,B】
(2)
证:
(1)式右端二FA-AFBAFB-BF
二FAB-AFBAFB-ABF
二FAB-ABF二F,ABL
(1)式左端
(2)式右端二:
FA-AFBAFB-BF
—r—*>—*■―b-—S-—*>—*■—is-
二FAB-AFBAFB-ABF
二FAB-ABF二F,AbL
(2)式左端
4.6)设F是由r,p构成的标量算符,证明
证:
L,fLLFp_"兰
即cr
F1Lx,FiLy,FljlLz,Fk
Lx,FI-〔ypz—zpy,N-yIpz,Nly,F血-zp,N-lz,FIpy
(4.2题).:
f•:
F:
F
-hyFiFpzizF-i
z;:
y;y
z
;F
.Py-Pz
cF
・!
(cF
cF、
一Py
-I舟
y
-z——
印z/
创)
同理可证,
Ly,FLj-
将式(3)、
cF-
点Pyz
(4)、(5)代入式
(2),
-i
-i
-;:
Fr
旨丿y
;:
F
r
&丿;
是
(1)式得证。
(i)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.7)证明
pLLp二2ip
ipL-Lp二L2,p1。
+
■■
z
L
y
y
z
L
z
p
y
L
+
y
L
z
p
-
LJTX
L:
-,pP:
Li;:
:
p
利用基本对易式
即得pLLpx=2ipx。
因此pLLp=2ip
其次,由于Px和Lx对易,所以
=i-pzLy-LypzpyLzLzPy
-PyLz-PzLy-LyPz-LzPy
LJrx
因此,i州庄L2,;]
222
4.8)证明L=rp-:
rpAirp
TT22一一
Lpi=!
pLi=」LppLLp
(2)
—lpLLp=L2p24'2p2
(3)
LpLp=-iLp
(4)
证:
(i)利用公式,A.(BxC)=(AxB)C,有
L2=—prrpprHpprrL〔prrIp
二pr2P_prrp
山fcn—►
其中pr2=r2p-T\r2二r2p—2「r
>*ff-1-—t-*—k-
pr二rp「i一ir二rp「3i
因此L2二r2p2_rp2irp
(2)利用公式,Lp・p=L・pp=O(△)
可得-'LppL=」Lpp「L
二Lpp1Lpp〔L=Lp2一0L=L2p2L,p2Lo①
Cr2
pLpLp二L」pLpl
二Lp2L一pLpLL2p2L,p2Lo②
pL$二pLpL二〔pLp】L
=Lp2_pLp】L=L2p2③
由①②③,则
(2)得证。
(3)—pLLp47)⑴pLpL-2i'p
=pL_2ipLp
空L2p2-2「2ip-Lpp^^L2p242p2
(4)就此式的一个分量加以证明,由4.4)
(2),
ABCB:
.C-ABC.
■LpLp[=;LpLxplLpLpx,
其中LxP二pLx「Pzez-Pyey
(即Lx,PxiPyjPzk」0「Pzj—「Pyk)
■LpLp!
二LppLxrLpPzez-Pyey—〔LpLd样!
J吨WLGRx
JiLp2x=—iLxp2
类似地。
可以得到y分量和z分量的公式,故(4)题得证。
4.9)定义径向动量算符Pr
J),
0r.丿
证明:
a
+
pr-pr,
r,pj=i,
A厂ic
12r
:
r汀
证:
a
ABC=CBA,
Pr
1•
2rrp
「-
lr丿
■‘1十一十1
J」r
即Pr为厄米算符。
b
PP
r
r
'■
2
c
-1
「r
r
r>
/
.r
Pr
卫丿<r
r
-T
r
3r
cr2 i—rr 2Hr : r '2 1 r: : r -1 : rr 1 r\r\ 2J一r一 2 : r : r r 2 ■.2「. (e据4.8) (1),L2=r2p2—G,p)+"rp。 .: r 22 -rp .: r2 4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。 2 解: 一维谐振子能量E^=-p^—m■2x2。 2m2 _-bo 又xxe「xdx=0奇,: 二m-,Px=0, 3a (由(3.8)、(3.9)题可知 x=0,Px=o) Px二Px 一Px=Px, 由测不准关系, xPx Px 二2x。 Ex 2m J2x丿 dEx ■2 dx 8m =0,得 2m E0x 2m1 8m\、、_ li 1■ 2 E°z 同理有E°y 谐振子(三维)基态能量 E。 =E°x'E0y -E0z 4.11)利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解: 类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似,只是把氢原子中有关公式中的核电荷数•e换成•ze (z为氢原子系数)而u理解为相应的约化质量。 故玻尔轨迹半径a°=与/2,在类氢原子中变为a=ayZ。 类氢原子基态波函数屮100=JZ^e^a,仅是r的函数。 \na : p^r~-,类氢原子径向能量为: dd1d,故只考虑径向测不准关系 dr"rdrsinrd: 2 ze 。 r 4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。 证: 设定态波函数的空间部分为即),则有H|屮)=EW) 为求p的平均值,我们注意到坐标算符Xj与H的对易关系: 从,HPjPj2uVx二iPi.u。 ILj 这里已用到最基本的对易关系Xj,PjLp,',ij,由此 =詈細XiH叫—俚|HXi呵) 这里用到了H的厄米性。 这一结果可作一般结果推广。 如果厄米算符C可以表示为两个厄米算符A和B的对易子C二iA,B,则在A 或B的本征态中,C的平均值必为0。 4.13)证明在的本征态下,Lx=Ly=0。 (提示: 利用LyLz-LzLy二ilx,求平均。 ) 证: 设|屮)是Lz的本征态,本征值为m办,即Lz屮)=m幷屮) Lz^Lx」LzLx-LxLz=i'Ly, □昭LzLy叩 )—^|LzLy叩)-m«空|Ly时)=0同理有: Ly-0。 4.14)设粒子处于Yimf状态下,求“Lx2和厶Ly2解: 记本征态Ym为Im),满足本征方程 L2Im)=1(1+1严Im),Lz|lm)=m^lm),〈lm|Lz=m^Im), 利用基本对易式LL=il, 可得算符关系「Lx2二「LxLx二LyLz-LzLyLx二LyLzLx-LzLyLx 二LyLxLziLy-LzLyLx/Ly2LyLxLz-LzLyL: 将上式在I耐态下求平均,因Lz作用于Im)或(lm后均变成本征值m办,使得后两项对平均值的贡献互相抵消, 因此.'Lx2 Ly2 又; Lx -Lz2.: =l丨1-m212 l丨1-m^'2 上题已证: LxyfLy;=0。 22 上LxLx-LxLx-Lx=L 2L2-L2 X_Lx-Lx 同理'■■-Ly2ll1-m22。 2 4.15)设体系处于屮-GYm+C2丫20状态(已归一化,即G +C2 2“ =1),求 (a)Lz的可能测值及平均值; (b)L2的可能测值及相应的几率; (c)Lx的可能测值及相应的几率。 解: L2Y11=22Y11,L2Y20=6一2丫20; Lz丫11二Y11,LzY20=0丫20。 (a) 由于.已归一化,故Lz的可能测值为',0,相应的几率为 C1 C2 。 平均值Lz=G办。 (b) -22 L2的可能测值为2炉,6呼,相应的几率为C 2,C2 (c) 若G,C2不为0,则Lx(及Ly)的可能测值为: 2一, 0, *0 1 2h 1)Lx在丨=1的空间,L,Lz对角化的表象中的矩阵是— ‘010、 1 'a'' 101 b =A b e10丿 lc」 求本征矢并令一=1,则1 V2 得,b=、2a,ac=2b,b i)取,=0,得b=0,c二-a,本征矢为 ,归一化后可得本征矢为 1 0 -1 a ii)取人=1,得b=y/2a=v2c,本征矢为v'2a,归一化后可得本征矢为 a」 iii)取,=-1,得b=-2a=--2c,归一化后可得本征矢为 2 在C1Y11=C10态下, l0, Lx取0的振幅为&100 -1 Lx取0的几率为 1 —丘。 1 C1 的振幅为C11001 2 Lx取-一的振幅为C11 2)Lx在丨=2的空间, 利用 jm1jx jm—1jx 22jx21)=1, '0 1 0 32 0 1 V2"= ,相应的几率为 1 -..2 C1 ,相应的几率为 C1 。 总几率为 C1 (L2,Lz对角化表象中的矩阵 jm=2J(j_mIj+m+1) jm=\jmj-m1 〈21jx20 3,20jx2「 2—1jx2—2=1 0 32 0 32 0 本征方程 i),=0,b=0,a=_ '0 1 0 身, 0 0 0 0 0 0 0 f_、 fn\ a a 0 b b 0 c : —? 匕 c 1 d d 0 o 0 0 ■=0,_1,_2。 寺,d“,…导本征矢为 。 在C2Y20=C2 态下,测得Lx=0 '3 的振幅为C200100 0 ■■3 0 ii)■=1, —b, d=e,本征矢为 C2001 iii) -1 I-1 b--a,c=0,d--b, e二-d,本征矢为 iv)■=2,b=2a,c=.6a, c d=2e=2a,e=—— J6 一“1的振幅为C200100- 4 V) C2 £三。 几率为 2 -1 一1丿 -1 -1 本征矢为 在C2丫20态下,测得Lx 在C2丫20态下,测得Lx =的振幅为 在C2丫20态下, 测得Lx=2 2 .6 _2,b=-2a,c=〔6a, 3 几率为-C —C2。 几率为 4 '331! 2 2 _+-+—|C2 — C2 。 1884丿 3C 本征矢为 -2 .6 -2 ,在C2丫20态下,测得 Lx=-2一的 在「-Ci^iC2Y20态中,测Lx(和Ly)的可能值及几率分别为: 4.16)设属于能级 E有三个简并态’-;1,匸2和'-: 3,彼此线形独立,但不正交,试利用它们构成一组彼此正交归 一的波函数。 解: : 一1屮 1 「1「1 2^'-;2 1' -,「2二•’「2, >2浮2) 3」3 1' 一「1「3「1一: 2「3「2,「——,'3。 .: 3,「3 ;1,: 2,;: 3是归一化的。 「1「2二1'US-厂2「1,「11", 严2严2) J,'US-f3「1,「1-「2「3「1,「21=0, 3,3 ;2,;3=1'「2上3-「1,5: 2「1一: 2「3「2J2^0。 「3「3 ■它们是正交归一的,但仍然是简并的(可验证: 它们仍对应于同一能级)。 4.17)设有矩阵A,B,C,S等,证明 detAB=detAdetB,detS」AS二detA, TrAB二TrBA,TrS’AS二TrA,TrABC=TrBCA=TrCAB, detA表示矩阵A相应的行列式得值,TrA代表矩阵A的对角元素之和。 证: (1)由定义detA=7Pi^'ina1ha2^"ani 12 故上式可写成: detA二'PhinPj1jn&第兀2a^, i「in 其中j/jn是1…n的任意一个置换。 八Pi1…inVaij! bj1iia2j2bj2i^'Oinbjnin il…injl…jn —区aijia2j2…anjnP(il…inbjiiibj2i2…bjninj"In」i"n Pji…Jnaij’a2j2…anjn|•Ph…inPji…jnbjiiibj2i2bjninji'jn|ii…in 二detAdetB (2)detS」AS二detS,detAdetS二detS」detSdetA 二detS」SdetA=detA (3)TrAB='耳山八bkiaik=TrBA ikik (4)TrS」AS二TrS」AS丨=Tr〔ASS」TrASS」二TrA (5)TrABC八aijbjkCki-'=TrBCA-'bjk=TrCAB ijkijkijk 15 以下无正文 仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。 Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse. 仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途 Nurfurdenpers? nlichenfurStudiescFong,zukommerziellenZweckenverwendetwerden. Pourl'etudeetlarechercheuniquementadesfinspersonnelles;pasadesfinscommerciales. 仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途 to员bkog^A.nrogeHKOTOpMeno^b3ygoiflCH6yHeHuac^egoBuHHuefigo^^HM ucno员B30BaTbCEbKOMMepqeckuxqe员ex. Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse
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