函数极值问题的探讨综述.docx
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函数极值问题的探讨综述
函数极值问题的探讨
目录
1
引言……………………………………………………………………
1
2
一元函数极值问题的求解……………………………………………
1
2.1
极值的求解步骤………………………………………………………
2
2.2
极值的求法实例分析…………………………………………………
2
3
二元函数极值问题的求解……………………………………………
3
3.1
极值的求解步骤………………………………………………………
4
3.2
二元函数极值的矩阵求法……………………………………………
7
4
三角函数极值问题的求解
8
4.1
关于正弦,余弦函数极值的求法
8
4.2
关于正弦,余弦二次函数极值的求法
8
4.3
有条件制约的三角函数极值的求法
9
5
条件极值与拉格朗日乘数法
9
5.1
拉格朗日乘数法
10
5.2
条件极值的求法步骤
11
5.3
条件极值的求解方法及实例分析
11
6
极值问题在实际生活中的应用
13
6.1
极值理论拯救生命
13
6.2
极值理论在其他行业的应用
14
7
小结
14
参考文献
15
致谢
16
函数极值问题的探讨
理学院数学082本田睿指导师:
金云娟
摘要本文从一元函数极值,二元函数极值,三角函数极值,条件极值四个方面对函数极值问题的求法与应用展开讨论,通过以上讨论,旨在为以后的学习和实际工作带来一定的方便.
关键词极值;三角函数;一元函数;二元函数;条件极值
1引言
函数极值问题是数学课程的重要内容,是有关函数的一个重要研究课题,对于掌握函数有重要的作用.在有关函数极值的相关问题中,函数极值的求法是其中的重点和难点,因为不同的函数有不同的求解方法,所以受到人们的普遍关注,研究成果丰富.近些年来,有关的研究中都有关于函数极值问题的讨论,并在不少的学报及学术性论文中都有关于函数极值的有关见解,使得函数极值问题有了更大的发展.
本文主要研究一元函数,二元函数,三角函数极值,条件极值的求法以及应用,重点解决有关函数极值的求解方法和应用,在介绍方法时给出了例题,有助于对函数极值的理解,为更好的学习提供更好的帮助,能快速、清晰的解决数学问题.
2一元函数极值问题的求解
定义1
(一元函数极值的定义)设函数
在
的某个邻域有定义,如果对
该邻域的所有点,都有
,则
是函数
的一个极大值.如果该邻域的所有的点,都有
,则
是函数
的一个极小值.极大值和极小值统称为极值.
定理1
(费马定理)极值的必要条件设函数
在区间
有定义
(1)
在
可导;
(2)
是
的极值点;
则
定理2
(极值的第一充分条件)
设函数
在点
的某邻域内连续且可导(导数
也可不存在),
如果
,则
是
的极大值点;
如果
,则
是
的极小值点;
如果在
点的邻域内,
不变号,则
不是
的极值点.
定理3
(极值第二充分条件)
设函数
在
二阶可导,
,
则为极大值;
则为极小值.
定理4
(极值的第三充分条件)
设
在
的某领域内存在直到
阶导函数,在
处
阶可导且
则当n为偶数时,
在
处取得极值,且当
时取极大值,
时取极小值.
当n为奇数时,
在
处不取极值.
2.1极值的求解步骤
函数
的定义域;
并求
,并在定义域内求
的点(驻点)和
不存在的点;
对于驻点可利用极值的第一充分条件或极值的第二充分条件判定,对于导数不存在的点利用极值的第一充分条件确定函数的极值点;
④求出各极值点的函数值,得到函数的极值.
2.2极值的求法实例分析
例1
求
的极值点和极值.(极值第一充分条件)
解
在
上连续,且当
时,有
易见,
为
的稳定点,
为
的不可导点,这两点是否是极值点,需要做进一步讨论,现列表如下(表中
表示递增,表中
表示递减)
0
1
+
不存在
-
0
+
0
-3
例2求函数
的极值.(极值第二充分条件)
解
(1)
(2).令
求得驻点
(3)
(4).因
所以
在
处取得极小值,极小值为
.
(5).因
在
的左右邻域内
所以
在
处没有极值;同理,
在
处也没有极值.
例3试求函数
的极值.(极值第三充分条件)
解由于
因此
是函数的三个稳定点,
的二阶导数
由此得
所以
在
时取得极小值.求三阶导数,有
由于
为奇数,知
在
处不取极值.再求四阶导数
有
.因为
为偶数,故
在
取得极大值,综上所述,
在
为极大值,
为极小值.
3二元函数极值问题的求解
定义2
(二元函数极值的定义)
设函数
在点
的某个邻域内有定义,对于该邻域内任一异于
的点
如果
则称函数在点
处有极大值
;
如果
则称函数在点
处有极小值
;
定理5
极值的充分条件
设函数
在点
的某邻域
连续且有一阶与二阶连续偏导数,如果
设
则
当
时,
一定为极值,并且当A(或C)>0时,
为极小值;当A(或C)<0时,
为极大值;
当
时,
不是极值;
当
,还不能断定
是否为极值,须作进一步研究
对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆方法:
.
定理6
极值的必要条件
若函数
在点
存在偏导数且在
取极值,则有
.
反之,若函数
在点
满足(7.1)式,则称点
为f的稳定点或驻点.
3.1极值的求解步骤
3.1.1二元显函数极值的求解步骤
对于二元显函数的自由极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:
步骤1.定义多元函数
步骤2.求解正规方程
得到驻点
步骤3.对于每一个驻点
求出二阶偏导数
步骤4.对于每一个驻点
计算判别式
如果
则该驻点是极值点,当
为极小值,
为极大值;,如果
判别法失效,需进一步判断;如果
则该驻点不是极值点.
3.1.2二元隐函数极值的求解步骤
对于隐函数
确定的函数的极值求解步骤归纳如下:
利用隐函数求导方法求出
.
求出函数的定义域内特殊的点:
导数等于零的点(驻点),即
不存在的点,
存在的点;有的隐函数还测你在同时即是导数等于零的点又是导数(如例3中的(0,0)点),即
的点,
对于
的点一般用第二充分条件判断;对于
,用反证法说明或从函数方程来考虑,对于
的点只能从函数本身来考虑.
3.1.3极值的求法实例分析
例4求函数
的极值.
解先解方程组
求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2).
再求出二阶偏导数
.
在点(1,0)处,
又
,所以函数在
处有极小值
;
在点(1,2)处,
,所以
(1,2)不是极值;
在点(-3,0)处,
,所以
(-3,0)不是极值;
在点(-3,2)处,
又
所以函数在(-3,2)处有极大值
(-3,2)=31.
例5
某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告,收入
万元与电视广告费
万元及报纸广告费
万元之间的关系为:
.
⑴在广告费用不限的情况下,求最佳广告策略;
⑵若提供的广告费用为总额1.5万元,求相应最佳广告策略.
解⑴利润函数为
,
求函数L的各个偏导数,并令它们为0,得方程组:
解得
,
.则
为
惟一的驻点.
又由题意,
可导且一定存在最大值,故最大值必在这惟一的驻点处达到.所以最大利润为
万元.
因此,当电视广告费与报纸广告费分别为
万元和
万元时,最大利润为
万元,此即为最佳广告策略.
⑵求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略,即为在约束条件
下,求
的最大值.作拉格朗日函数
.
求函数
的各个偏导数,并令它们为0,得方程组
并和条件
联立解得
,
.这是惟一的驻点,又由题意,
一定存在最大值,故
万元为最大值.
注:
本题也可由
,解得
,代入目标函数转换成一元函数求解.
3.2二元函数极值的矩阵求法
定理7
设
是
的一个稳定点,
在a处的何塞矩阵.如果H是定值,则
在
处达到极小值,如果H是负定的,则
在
处到达极大值,如果H不是定值,则
在
处既不是极小值也不是极大值.
3.2.2极值的求解步骤
求稳定点;
判断在稳定点处何塞矩阵的正定性;
根据何塞矩阵的正定性判断稳定点是否为极值点;
④若极值存在求出相应极值点处的极值
3.2.3极值的求法实例分析
例6求
的值.
解
稳定点(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)
.
矩阵
正定,所以
为其极小值.
同理可求,
为其极大值;而(1,2),(-3,0)处何塞矩阵不定,所以这两个点为其鞍点.
例7
某厂生产两种产品,价格分别为
,产品分别为
成本函数为
问改厂该如何生产才能使获得利润最大?
解该厂收入函数
于是利润函数为
利用一阶偏导数等于零可求稳定点是(1,1),
在(1,1)处何塞矩阵负定,所以
为其最大值.
4三角函数极值
三角函数极值是极值问题的一个重要部分,这类问题的求解往往涉及到多方面的知识,因此
重视这方面的内容,提高解决问题和综合运用知识的能力.
4.1关于正弦,余弦函数极值的求法
形如
主要弄清
;
形如
.
解因为
所以
当
时,
当
时,
.
形如
.
若
时,当
时,
;
当
时,
.
若
时,当
时,
;
当
时,
.
若
时,
.
4.2关于正弦,余弦二次函数极值的求法
形如
可化为二次代函数式解之.
例8求
的极值.
解
.
所以当
即
时,
;
当
时,即
时,
.
形如
解
.
所以当
时,
.
4.3有条件制约的三角函数极值的求法
例9在锐角
中,求
的极值.
解因为
所以
.
因为ABC是锐角三角形,用轮换关系推得
时,
.
求三角函数式的极值问题,主要掌握
或
,及迭加
的形式,其他三角函数式的极值均可可以用三角恒等变形的关系转化为上述两式后解之.
5条件极值与拉格朗日乘数法
定义3
(条件极值的定义)
前面在求二元函数
的极值时,自变量只在定义域内变化,而对自变量没有其它的限定条件,这样的极值叫无条件极值但有时会遇到对自变量有附加条件的极值.如在
的条件下求二元函数
的极值,象这种对自变量有附加条件的极值叫条件极值.
5.1拉格朗日乘数法
构造辅助函数
求偏导数
令
求出此方程组的解
,则点
就是函数
在
的条件下的可能极值点.这种方法叫拉格朗日乘数法.
注:
拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件,因此按照这种方法求出来的点是否为极值点,还需要加以讨论.不过在实
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