初中经典几何证明练习题含答案38544.docx
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初中经典几何证明练习题含答案38544
初中几何证明题
经典题
(一)
1、已知:
如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:
CD=GF.(初二)
2、已知:
如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD=∠PDA=15°。
求证:
△PBC是正三角形.(初二)
3、已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.
求证:
∠DEN=∠F.
经典题
(二)
1、已知:
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:
AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:
AH=AO.(初二)
2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.
求证:
AP=AQ.
3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF的中点,OP⊥BC
求证:
BC=2OP(初二)
证明:
分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N
∵OF=OD,DN∥OP∥FL
∴PN=PL
∴OP是梯形DFLN的中位线
∴DN+FL=2OP
∵ABFG是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90°
又∠BFL+∠FBL=90°
∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB
∴△BFL≌△ABM
∴FL=BM
同理△AMC≌△CND
∴CM=DN
∴BM+CN=FL+DN
∴BC=FL+DN=2OP
经典题(三)
1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:
CE=CF.(初二)
证明:
连接BD交AC于O。
过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC又EG⊥AC
∴BD∥EG又DE∥AC
∴ODEG是平行四边形
又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
∴EG=OD=
BD=
AC=
AE
∴∠EAG=30°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75°
又∠AFD=90°-15°=75°
∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC
∴CE=CF
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:
AE=AF.(初二)
证明:
连接BD,过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC,又EG⊥AC
∴BD∥EG又DE∥AC
∴ODEG是平行四边形
又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
∴EG=OD=
BD=
AC=
CE
∴∠GCE=30°
∵AC=EC
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:
PA=PF.(初二)
证明:
过点F作FG⊥CE于G,FH⊥CD于H
∵CD⊥CG∴HCGF是矩形
∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG
∴HCGF是正方形
∴CG=GF
∵AP⊥FP
∴∠APB+∠FPG=90°
∵∠APB+∠BAP=90°
∴∠FPG=∠BAP
又∠FGP=∠PBA
∴△FGP∽△PBA
∴FG:
PB=PG:
AB
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.
求证:
AB=DC,BC=AD.(初三)
证明:
过点E作EK∥BD,分别交AC、AF于M、K,取EF的中点H,
连接OH、MH、EC
∵EH=FH
∴OH⊥EF,∴∠PHO=90°
又PC⊥OC,∴∠POC=90°
∴P、C、H、O四点共圆
∴∠HCO=∠HPO
又EK∥BD,∴∠HPO=∠HEK
∴∠HCM=∠HEM
∴H、C、E、M四点共圆
∴∠ECM=∠EHM
又∠ECM=∠EFA
∴∠EHM=∠EFA
∴HM∥AC
∵EH=FH
经典题(四)
1、已知:
△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求∠APB的度数.(初二)
解:
将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ,连接PQ
则△BPQ是正三角形
∴∠BQP=60°,PQ=PB=3
在△PQC中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5
∴△PQC是直角三角形
∴∠PQC=90°
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
求证:
∠PAB=∠PCB.(初二)
证明:
过点P作AD的平行线,过点A作PD的平行线,
两平行线相交于点E,连接BE
∵PE∥AD,AE∥PD
∴ADPE是平行四边形
∴PE=AD,
又ABCD是平行四边形
∴AD=BC
∴PE=BC
又PE∥AD,AD∥BC
∴PE∥BC
∴BCPE是平行四边形
∴∠BEP=∠PCB
∵ADPE是平行四边形
∴∠ADP=∠AEP
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:
AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)
证明:
在BD上去一点E,使∠BCE=∠ACD
∵
=
∴∠CAD=∠CBD
∴△BEC∽△ADC
∴
∴AD·BC=BE·AC……………………①
∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE
即∠BCA=∠ECD
∵
=
∴∠BAC=∠BDC
△BAC∽△EDC
∴
∴AB·CD=DE·AC……………………②
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且
AE=CF.求证:
∠DPA=∠DPC.(初二)
证明:
过点D作DG⊥AE于G,作DH⊥FC于H,连接DF、DE
∴S△ADE=
AE·DG,S△FDC=
FC·DH
又S△ADE=S△FDC=
S□ABCD
∴AE·DG=FC·DH
又AE=CF
∴DG=DH
∴点D在∠APC的角平分线上
∴∠DPA=∠DPC
经典题(五)
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
≤L<2.
证明:
(1)将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF,连接PE,
∵BP=BE,∠PBE=60°
∴△PBE是正三角形。
∴PE=PB又EF=PC
∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA、PE、EF在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF的值最小(如图)
在△ABF中,∠ABP=120°∴AF=
∴L=PA+PB+PC≤
(2)过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G
则△ADG是正三角形
∴∠ADP=∠AGP,AG=DG
∵∠APD>∠AGP
∴∠APD>∠ADP
∴AD>PA…………………………①
又BD+PD>PB……………………②
CG+PG>PC……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG>PA+PB+PC
∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC>PA+PB+PC=L
∵AB=AC=1∴L<2
由
(1)
(2)可知:
≤L<2.
2、已知:
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
解:
将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF,连接PE,
则△BPE是正三角形
∴PE=PB
∴PA+PB+PC=PA+PE+EF
∴要使PA+PB+PC最小,则PA、PE、EF应该在一条直线上(如图)
此时AF=PA+PE+EF
过点F作FG⊥AB的延长线于G
则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°
∴GF=
,BG=
∴AF=
=
=
∴PA+PB+PC的最小值是
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
证明:
将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ
则△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=
PB=
×2a=2
a
又QC=AP=a
∴QP2+QC2=(2
a)2+a2=9a2=PC2
∴△PQC是直角三角形
∴∠BQC=135°
∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC
=PB2+PA2-2PB·PAcos135°
=4a2+a2-2×2a×a×(-
)
解得BC=
∴正方形的边长为
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=80°,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=30°,∠EBA=20°,求∠BED的度数.
解:
在AB上取一点F,使∠BCF=60°,CF交BE于G,连接EF、DG
∵∠ABC=80°,∠ABE=20°,∴∠EBC=60°,又∠BCG=60°
∴△BCG是正三角形∴BG=BC
∵∠ACB=80°,∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA
又∵∠A=∠A,AB=AC∴△ABE≌ACF∴AE=AF
∴∠AFE=∠AEF=
(180°-∠A)=80°
又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°
∴△EFG是等边三角形∴EF=EG,∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°
∵ACB=80°,∠DCA=30°∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50°
∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG
∠BGD=∠BDG=
(180°-∠ABE)=80°
∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°
又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°
∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG,DE=DE∴△EFD≌△EGD
∴∠BED=∠FED=
∠FEG=
×60°=30°
5、如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,若AC=6,BC=8,求线段PD的长。
解:
∵∠ACD=∠BCD∴
=
∴AD=BD
∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形
∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8∴AB=10
∴AD=AB·cos∠DAB=10×
=5
又AE⊥CD,∠ACD=45°
∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE=AC·cos∠CAE=6×
=3
在△ADE中,DE2=AD2-AE2∴DE2=
∴DE=
∴CD=CE+DE=3
+
=
∵∠PDA=∠PCD,∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴
∴PC=
PD,PA=
PD∵PC=PA+AC∴
PD=
PD+6解得PD=
1证明:
过点G作GH⊥AB于H,连接OE
∵EG⊥CO,EF⊥AB
∴∠EGO=90°,∠EFO=90°
∴∠EGO+∠EFO=180°
∴E、G、O、F四点共圆
∴∠GEO=∠HFG
∵∠EGO=∠FHG=90°
∴△EGO∽△FHG
∴
=
∵GH⊥AB,CD⊥AB
∴GH∥CD
∴
∴
∵EO=CO
∴CD=GF
2证明:
作正三角形ADM,连接MP
∵∠MAD=60°,∠PAD=15°
∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°
∵∠BAD=90°,∠PAD=15°
∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°
∴∠BAP=∠MAP
∵MA=BA,AP=AP
∴△MAP≌△BAP
∴∠BPA=∠MPA,MP=BP
同理∠CPD=∠MPD,MP=CP
∵∠PAD=∠PDA=15°
∴PA=
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